付夕聯(lián)

(山東理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,山東 淄博 255049)

1 問(wèn)題的提出

本文研究下面的三維不可壓MHD方程

(1)

式中：u,b分別表示流速矢量和磁場(chǎng)矢量;p表示壓力;v表示黏性系數(shù);η表示磁擴(kuò)散系數(shù);u0和b0是給定的初始速度和初始磁場(chǎng)，并且·u0=·b0=0。如果v=η=0，式(1) 被稱(chēng)為理想MHD方程。

對(duì)于三維MHD方程弱解的正則性，文獻(xiàn)[2-3]數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明在解的正則性理論中速度場(chǎng)比磁場(chǎng)發(fā)揮著更重要的作用。近期這一事實(shí)得到了驗(yàn)證，何成等[4]獲得了MHD方程由速度場(chǎng)u刻畫(huà)的正則性準(zhǔn)則

(2)

最近， Ji等[5]得到了下述結(jié)論：

并且

(3)

近期還有其他的關(guān)于三維 MHD方程正則性準(zhǔn)則的刻畫(huà)[6-7]。

定義1[1]三維 MHD方程的弱解(u,b)在[0,T)×H1(R3)是正則的，即(u,b)∈L(0,T;H1(R3))。

主要結(jié)論如下：

(4)

則(u,b)在[0,T]上是光滑的。

注記因?yàn)?/p>

2 預(yù)備知識(shí)

首先，給出Morrey-Campanato空間的定義及性質(zhì)，它在研究偏微分方程解的正則性中起著重要作用[8-11]。

定義2 對(duì)于1

容易驗(yàn)證

(5)

(6)

(7)

容易驗(yàn)證

(8)

引理2[12]對(duì)于0

(9)

式中C 僅依賴(lài)于r。

3 定理的證明

通過(guò)定義1，僅需證明(u,b)∈L(0,T;H1(R3))。因此，證明分為如下兩步：

第一步L2估計(jì)

式(1)第一、二個(gè)方程分別與u,b作內(nèi)積，并將所得到的方程分部積分,相加得

〈(-u·u+b·b),u〉+〈(-u·b+b·u),b〉=0

(10)

對(duì)式(10)關(guān)于0到T積分，有

(u,b)∈L

第二步H1估計(jì)

(11)

(12)

則式 (11)及式(12)可化簡(jiǎn)為

(13)

(14)

式(13)與式(14)相加得

(15)

首先將I1分解為如下兩部分：

(16)

(17)

對(duì)于I12，同理可得

(18)

對(duì)于I13，類(lèi)似于I11，由散度自由條件及分部積分公式，得

(19)

將式(17)—式(19) 代入式 (16), 得

同理，得

將I1—I4的估計(jì)代入式(15), 對(duì)k(1≤k≤3)求和, 得到

(20)

即得

(21)

由Gronwall不等式,得

u,b∈L([0,T);H1)∩L2([0,T);H2)

完成定理證明。