孫傳松，張東煥，周繼磊

(山東理工大學(xué) 交通與車輛工程學(xué)院, 山東 淄博 255049)

面對材料力學(xué)教學(xué)體系的改革，對于傳統(tǒng)的材料力學(xué)四大實驗，在創(chuàng)新實驗的新環(huán)境背景下，顯得孤木難支[1]。故學(xué)生實驗教學(xué)形式需要進一步改進，尤其是新形式的創(chuàng)新性實驗和多角度校核的要求顯得更為迫切。

針對上述問題，國內(nèi)諸多學(xué)者從不同角度和形式對彎曲梁實驗進行了研究和拓展，其中包括理論與實驗的校核、材料力學(xué)與彈性力學(xué)解的對比[2]、實驗與有限元仿真的結(jié)合、不同梁與不同加載形式的豐富組合等等。陳玉驥[3]推導(dǎo)了單跨超靜定梁在均布載荷作用下的彈性力學(xué)解析解，利用半逆解法，求出研究對象的應(yīng)力和位移。張偉等[4]就集中載荷作用下兩端固支的超靜定梁進行了彈性力學(xué)解的推導(dǎo)，利用半逆解法研究了彎曲梁的應(yīng)力和位移的多項式解，為工程設(shè)計以及彈性力學(xué)教學(xué)提供了重要參考。何曉婷等[5]就不同模量簡支梁在均布載荷下的彈性力學(xué)解進行了推導(dǎo)，研究表明，不同的彈性模量，應(yīng)力分布差異較大，且材料力學(xué)中的最大正應(yīng)力會被低估。魯華賓等[6]通過有限元軟件Abaqus對純彎曲梁進行了實驗?zāi)M。王曉琴等[7]研究和推導(dǎo)了均布載荷作用下懸臂梁的彈性力學(xué)解，研究表明，與彈性力學(xué)理論解相比，材料力學(xué)對于深梁的計算結(jié)果存在較大誤差。盧玉林等[8]就中間受到集中力作用時的彎曲梁正應(yīng)力進行了理論推導(dǎo)和實驗研究，不僅對材料力學(xué)解進行了校核，更加深了學(xué)生對理論公式的理解。Eroglu[9]對功能梯度材料(FGM)制成的平面彎曲梁任意平面內(nèi)的偏轉(zhuǎn)進行了研究。Anup等[10]應(yīng)用Euler-Bernoulli理論的運動學(xué)假設(shè)分析雙向功能梯度(FG)圓形梁的彎曲。蔡瑜瑋[11]對材料力學(xué)實驗教學(xué)改革進行了有益探索，闡述了學(xué)生為主體、教師為主導(dǎo)的觀念，讓學(xué)生自主性開發(fā)組合設(shè)計實驗的形式。通過以上的研究和探索不難發(fā)現(xiàn)，目前對材料力學(xué)彎曲梁實驗，越來越注重多角度校核和新形式的探索。

本文從現(xiàn)有的最普遍的彎曲梁實驗器材出發(fā)，以傳統(tǒng)的純彎曲梁實驗為例對傳統(tǒng)純彎曲梁實驗設(shè)備進行改造，設(shè)計橫向力四點彎曲梁的物理模型。通過推導(dǎo)任意載荷位置下梁的彈性力學(xué)解析解、ABAQUS數(shù)值仿真的模擬值與實驗結(jié)果進行校核[12-13]，分析梁在移動載荷作用下的應(yīng)力、應(yīng)變分布情況，為進一步了解空間梁的力學(xué)特性提供幫助。

1 模型的建立及解析解推導(dǎo)

將現(xiàn)有純彎曲梁實驗的儀器進行改造，由原來加載位置不變的兩個對稱橫向力變成可以任意移動的非對稱橫向力。實驗通過移動連桿完成對梁上不同位置的載荷施加，實現(xiàn)梁中間位置的應(yīng)力狀態(tài)由純彎曲狀態(tài)到橫力彎曲狀態(tài)的轉(zhuǎn)變，且可自主改變載荷加載位置，測量設(shè)備示意圖如圖1所示。

圖1 測量設(shè)備示意圖

圖2 橫力四點彎曲梁的物理模型

假設(shè)梁的長度為l，截面高度為h，寬度為k，加載的載荷為P。橫力四點彎曲梁的物理模型如圖2所示。依據(jù)正應(yīng)力邊界條件，切應(yīng)力在y=±h/2時大小為零，故設(shè)應(yīng)力函數(shù)為φ=xf1(y)+f2[14]，將其帶入相容方程4φ=0，得到待定函數(shù)

(1)

由(1)式得到每一段梁應(yīng)力的應(yīng)力函數(shù)表達式為

φ=x(Aiy3+Biy2+Ciy)+Hiy3+Kiy2

(2)

根據(jù)載荷所加載的位置，將橫力四點彎曲梁分為3段，其中每一段梁載荷施加處的應(yīng)力函數(shù)分量為通式。待定系數(shù)利用下標(biāo)i代表梁的位置，實驗中A處載荷作用點在x=a處，B處載荷作用點在x=l-b處，故i= 1，2，3，其每一段梁應(yīng)力函數(shù)的應(yīng)力分量表達式為

(3)

載荷加載處的切應(yīng)力如圖3所示，其各處的受力關(guān)系為[8]

圖3 A、B兩處受力點的狀態(tài)

(4)

在圖2所示的物理模型中，無論施加的力在何處位置，梁的上下兩面的切應(yīng)力均為零，即切應(yīng)力在y=±h/2時大小為零。因此3段梁應(yīng)力分量的待定常數(shù)Bi=0,Ci=-3kh2Ai/4 應(yīng)是一致的，由此可推出3段梁中應(yīng)力函數(shù)的系數(shù)為

(5)

每段應(yīng)力分量就可以化簡為

(6)

最后獲得簡支梁集中載荷下的理論應(yīng)力解為

(7)

(8)

(9)

當(dāng)a=b，且l>2a時，即純彎曲實驗,得

(10)

(11)

(12)

由公式(7)～(12)可知,當(dāng)梁受距離兩端相等的兩個力時，在x=a或者x=(l-b)時正應(yīng)力相等且最大，與梁在x=a～(l-b)段的正應(yīng)力保持一致，切應(yīng)力為0。即

(13)

當(dāng)l=2a時，即該簡支梁僅在l/2處受一個力，該處的正應(yīng)力表達式與公式(10)～(12)完全相同。證明該彈性力學(xué)正應(yīng)力公式與材料力學(xué)最大正應(yīng)力公式

(14)

完全吻合。

2 數(shù)值、實驗驗證與誤差分析

為了更好地分析物理模型測試點的應(yīng)力分布情況，通過實驗研究和數(shù)值模擬進行驗證。

實驗試樣為低碳鋼，材料屬性和尺寸見表1。采用圖1所示實驗形式，取a=150 mm，b=100 mm，加載機構(gòu)對彎曲梁依次加載500 N、1 500 N、2 500 N、3 500 N、4 500 N的載荷。應(yīng)變片的位置處在梁的中間位置(如圖2所示)，其具體位置見表1。取梁的中間截面為研究對象，應(yīng)變片處獲得的實驗數(shù)據(jù)見表2。

采用本文推導(dǎo)的理論解析公式得到該處的應(yīng)力情況。

表1 梁的材料屬性、尺寸及應(yīng)變片位置Tab.1 Beam material properties, dimensions, and strain gauge locations

材料彈性模量E/GPa高度h/mm寬度k/mm距離l/mm應(yīng)變片至中性層的距離/mmY1Y2Y3Y4Y5低碳鋼21040205000-101020-20

表2 實驗數(shù)據(jù)Tab.2 Experimental data

載荷/N電阻應(yīng)變片讀數(shù)Y1Y2Y3Y4Y5PΔPεdΔεdεdΔεdεdΔεdεdΔεdεdΔεd500110-11-24231 5001 0000-13828-40-29-81-5676532 5001 000006426-69-29-138-56131553 5001 0000-19127-96-27-195-57185544 5001 0002211827-125-29-251-5623955Δ-P=1 000Δ-ε1=0Δ-ε2=27Δ-ε3=-28.5Δ-ε4=-56.25Δ-ε5=54.25

下面通過有限元軟件ABAQUS 6.14對上述實驗結(jié)果進行模擬，模型材料為低碳鋼，泊松比為0.3，長度、寬度、高度參數(shù)見表2。在集中力施加處設(shè)參考點，將受力處節(jié)點設(shè)置為結(jié)點集并均勻地耦合在參考點上。模型的右端在中性層處施加鉸接的邊界條件，左端中性層部分施加限制2、3方向的轉(zhuǎn)動與平動的邊界條件。在施加載荷處施加2方向-P/2=-500 N的力。網(wǎng)格采用結(jié)構(gòu)型網(wǎng)格畫法，C3D20R單元:二十結(jié)點二次六面體單元。所得結(jié)果如圖4所示。

圖4 模型正應(yīng)力分布圖

取中間中性層為對稱面，在Y軸方向上下各采集4個節(jié)點進行數(shù)據(jù)與繪圖分析，結(jié)果如圖5所示。

將實驗結(jié)果、理論解析與數(shù)值模擬進行匯總和比較，結(jié)果見表3。由表3可知，橫力四點彎曲梁的物理模型理論解析解結(jié)果與模擬仿真結(jié)果誤差近乎0%。理論結(jié)果、數(shù)值結(jié)果與實驗結(jié)果除中性層外平均誤差為2.3%。證明了該實驗理論的正確性。

圖5 應(yīng)變片橫截面數(shù)值模擬

表3 三者結(jié)果對比及誤差分析Tab.3 Comparison of expenimental,theoratical and numerical results and error analysis

應(yīng)變片位置Y4Y3Y1Y2Y5實驗結(jié)果/MPa-11.39-5.6705.9911.87理論結(jié)果/MPa-11.72-5.8605.8611.72數(shù)值結(jié)果/MPa-11.72-5.8605.8611.72誤差(實驗/理論)/%2.73.202.11.2誤差(理論/模擬)/%00000

3 結(jié)束語

本文將現(xiàn)有受固定載荷作用的純彎曲梁實驗設(shè)備拓展為兩處受移動載荷作用的橫向力四點彎曲梁實驗設(shè)備。推導(dǎo)了任意載荷位置下彎曲梁的彈性力學(xué)解析解，并通過數(shù)值模擬和實驗驗證了實驗結(jié)果與理論推導(dǎo)結(jié)果基本一致。本研究豐富了材料力學(xué)彎曲梁的實驗形式，完成了材料力學(xué)彎曲梁實驗深層次的探究和認識，促進了學(xué)生對理論公式的理解，加深了學(xué)生對力學(xué)中各角度分析的意識，可為后續(xù)的力學(xué)相關(guān)實驗教學(xué)提供參考。