郭 語,陸 慶,孫志峻,宋愛國
(1.東南大學 儀器科學與工程學院,江蘇 南京 210096;2.金陵科技學院 機電工程學院,江蘇 南京 211169;3.南京航空航天大學 機械結(jié)構(gòu)動力學與控制國家重點實驗室,江蘇 南京 210016)
球形超聲電機是一種多自由度超聲電機,因其具有響應(yīng)快,定位精度高,斷電自鎖,抗干擾能力強及結(jié)構(gòu)簡單,易集成化等優(yōu)點,受到越來越多的關(guān)注。它具有類似于球關(guān)節(jié)的結(jié)構(gòu)形式,非常適合應(yīng)用于機器人關(guān)節(jié)、人工眼球等領(lǐng)域,許多研究學者從不同結(jié)構(gòu)形式、驅(qū)動控制機理和應(yīng)用方式對其開展了相關(guān)研究。
球形超聲電機的轉(zhuǎn)子一般為球形,定子可采用不同的結(jié)構(gòu)形式和激勵方式。MASHIMO等[1]提出了一種3個環(huán)形行波定子共同夾持驅(qū)動1個球轉(zhuǎn)子的球形超聲電機,但尺寸和輸出力矩較小。TING等[2]將一系列彎曲壓電陶瓷沿半球形定子表面直線布置,通過在相鄰壓電陶瓷上施加適當?shù)南辔徊罘蛛妷盒盘?,在定子上產(chǎn)生行波并驅(qū)動球轉(zhuǎn)子的多自由度運動。LU等[3]提出了一種三明治結(jié)構(gòu)的多自由度球形超聲電機,利用兩個壓電振子夾持1個球轉(zhuǎn)子,利用定子激發(fā)出的5個振動模態(tài)使球轉(zhuǎn)子具有3個轉(zhuǎn)動自由度。趙淳生等[4]針對圓柱-球體多自由度超聲電機的定子進行優(yōu)化設(shè)計,保證定子的一階縱振和二階彎振的固有頻率基本一致。張健滔等[5]提出了一種利用二階面內(nèi)振動模態(tài)工作的多自由度駐波超聲電機,可實現(xiàn)球轉(zhuǎn)子的3個轉(zhuǎn)動自由度,但定、轉(zhuǎn)子間的預壓力僅通過球轉(zhuǎn)子的自身重力提供,因此具有一定的應(yīng)用局限性。SHI等[6]研制了一種面向人工眼球應(yīng)用的球形超聲電機,利用復合定子激發(fā)的軸向彎曲模態(tài)和面內(nèi)非軸對稱模態(tài),通過4個驅(qū)動足產(chǎn)生的3種橢圓運動使球轉(zhuǎn)子具有3個旋轉(zhuǎn)自由度。王劍等[7]基于柔性板簧設(shè)計的三自由度球形超聲電機具有多定子與球轉(zhuǎn)子之間的自適應(yīng)對心調(diào)節(jié)能力。
本文提出一種具有同步調(diào)心底座的球形超聲電機,由3個環(huán)形行波型定子共同夾持驅(qū)動1個球轉(zhuǎn)子,采用類似三爪卡盤的面螺紋機構(gòu)實現(xiàn)3個定子的同步調(diào)心。利用有限元仿真軟件對定子進行動力學分析與優(yōu)化設(shè)計,對定子試制件進行了定掃頻實驗。
球形超聲電機主要由三爪卡盤底座、定子及其支架、球轉(zhuǎn)子組成(見圖1)。球轉(zhuǎn)子被3個定子夾持,3個定子及其支架水平圓周均勻分布,每個支架內(nèi)裝有碟形彈簧、微型壓力傳感器等零部件,微型壓力傳感器用以檢測定、轉(zhuǎn)子間的預壓力?,F(xiàn)有采用類似結(jié)構(gòu)的球形超聲電機需要單獨調(diào)節(jié)定子支架以改變預壓力,操作繁瑣且難以保證調(diào)節(jié)過程中轉(zhuǎn)子球心的位置精度,本文采用的三爪卡盤底座在保證3個定子與球轉(zhuǎn)子預壓力同步調(diào)節(jié)的同時,實現(xiàn)轉(zhuǎn)子的自定心。
圖1 球形超聲電機結(jié)構(gòu)
3個定子在與球轉(zhuǎn)子接觸位置作用有3個驅(qū)動力矩矢,分別為M1、M2、M3,3個力矩矢相交于球心處,根據(jù)矢量合成關(guān)系,可以合成為一個過球心的合力矩矢M0。通過改變3個超聲電機定子的驅(qū)動作用,即改變M1、M2、M3的大小,從而在三維空間中改變M0的方向和大小,使球轉(zhuǎn)子繞M0的方向轉(zhuǎn)動。圖2為1號定子與球轉(zhuǎn)子的安裝結(jié)構(gòu)示意圖。定子中心軸線與水平面夾角為α,則球轉(zhuǎn)子所受的M0與M1、M2、M3之間的關(guān)系為
(1)
圖2 單定轉(zhuǎn)子安裝結(jié)構(gòu)
每個定子與球轉(zhuǎn)子的接觸部位為定子內(nèi)緣一狹窄圓環(huán)面,設(shè)接觸圓半徑為rs,球轉(zhuǎn)子半徑為r,預壓力為N,μ為定、轉(zhuǎn)子間的摩擦系數(shù),則第i個定子對球轉(zhuǎn)子的理想驅(qū)動力矩為
(2)
考慮帶載驅(qū)動時,定、轉(zhuǎn)子間接觸的粘滑效應(yīng),實際驅(qū)動力矩為
(3)
式中:ωsi為第i個定子表面質(zhì)點橢圓運動的平均切向速度對應(yīng)的轉(zhuǎn)子角速度;ωri為實際球轉(zhuǎn)子角速度矢量在第i個定子中心軸上的投影大小;cdi為第i個定、轉(zhuǎn)子間和相對速度有關(guān)的動態(tài)庫倫摩擦系數(shù),由于接觸力學的非線性,難以確定實際值。式(1)、(3)表明,球形超聲電機的輸出力矩主要受單個定子的性能及定、轉(zhuǎn)子間的接觸力學影響。由于定、轉(zhuǎn)子間接觸力學的非線性和復雜性,因此,本文主要通過對定子的優(yōu)化設(shè)計提高球形超聲電機的性能。
本文設(shè)計的球形超聲電機定子為圓環(huán)結(jié)構(gòu),由錫青銅材質(zhì)的金屬基體和d33效應(yīng)的PZT-4壓電陶瓷組成。由于圓環(huán)結(jié)構(gòu)具有軸對稱性,因此,定子存在兩相同頻正交模態(tài)。在環(huán)形定子底部黏貼有兩相極化分區(qū)的壓電陶瓷片,通過施加空間與時間上分別相差1/4波長和周期的激勵電壓,激起定子彈性體的行波,從而使定子表面質(zhì)點產(chǎn)生橢圓運動,在摩擦力的作用下驅(qū)動球轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動。本文選擇B07模態(tài)作為定子的工作模態(tài),齒數(shù)定為工作模態(tài)中行波數(shù)的整數(shù)倍,以保證不同驅(qū)動點速度方向的一致性。該模態(tài)有7個波,因此齒數(shù)定為42,是波數(shù)的6倍。定子基體的參數(shù)化尺寸如圖3所示,中間圓板通過3個螺紋孔與固定支架連接。為了減小固支對圓環(huán)振動體的影響,中間圓板和圓環(huán)振動體之間的連接厚度小于1 mm。圓環(huán)振動體上開有齒槽形成一定高度的齒,用來提高定子的驅(qū)動效果。圖3中,h為總高,R為外環(huán)半徑,h1為固定板厚度,p1為連接板厚度,p2為齒高,p3為齒寬,p4為齒槽寬,p5為齒外緣斜角。
圖3 定子參數(shù)化結(jié)構(gòu)
不同于常規(guī)圓環(huán)形行波超聲電機定子主要依靠上端面實現(xiàn)驅(qū)動圓板轉(zhuǎn)子,該定子通過其內(nèi)緣的狹窄圓環(huán)面驅(qū)動球轉(zhuǎn)子,因此多出p5這一結(jié)構(gòu)參數(shù)。h、h1和R根據(jù)外形尺寸及定、轉(zhuǎn)子間的安裝關(guān)系確定并為固定值,在確定優(yōu)化參數(shù)變化范圍且應(yīng)保證各參數(shù)變動時,結(jié)構(gòu)內(nèi)不產(chǎn)生干涉、尺寸負值等現(xiàn)象,固定尺寸和初定各優(yōu)化參數(shù)初值及其范圍如表1所示。
表1 固定尺寸、優(yōu)化參數(shù)初值及其取值范圍
定子能否正常工作且滿足性能要求,取決于以下幾方面因素:
1) 工作模態(tài)是否遠離干擾模態(tài)。
2) A、B兩相頻率是否一致。
3) 定子彈性體表面所激發(fā)行波的振幅和形態(tài)是否理想。因此,需要對環(huán)型定子進行模態(tài)分析以確定其工作模態(tài)和諧振頻率,同時通過結(jié)構(gòu)參數(shù)的調(diào)整,使工作模態(tài)與干擾模態(tài)盡量遠離,這是超聲電機設(shè)計中的關(guān)鍵。
4) 通過諧響應(yīng)分析可以確定工作模態(tài)頻率激勵下產(chǎn)生的最大振幅。利用有限元軟件對超聲電機定子進行結(jié)構(gòu)分析是目前最常用的手段。定子材料的相關(guān)屬性如表2所示。
表2 定子材料主要參數(shù)
在ANSYS中建立初始參數(shù)尺寸的定子模型,劃分網(wǎng)格、設(shè)置邊界條件(內(nèi)圈3個沉頭孔施加固定約束、外圈自由)后進行模態(tài)分析,解算得到前100階定子模態(tài)的頻率和振型,并從中篩選出B07模態(tài)及其鄰近模態(tài),如表3所示。
表3 B07模態(tài)及其鄰近模態(tài)
研究表明,工作模態(tài)與干擾模態(tài)頻率相差大于2 kHz,干擾模態(tài)不會影響電機的正常工作[8]。根據(jù)模態(tài)分析結(jié)果,工作模態(tài)的兩個簡并模態(tài)共振頻率較一致,和相鄰前1階干擾模態(tài)頻率差僅有782 Hz,和后1階干擾模態(tài)頻率約有1.2 kHz的差值,易產(chǎn)生模態(tài)混疊,影響定子的工作性能。因此,需要對環(huán)形定子的結(jié)構(gòu)進行優(yōu)化,使其工作模態(tài)盡量遠離干擾模態(tài)。
在對定子進行模態(tài)分析后,通過諧響應(yīng)分析可檢驗定子在工作頻率附近的簡諧電壓激勵下的振幅大小,即定子的幅頻特性。在諧響應(yīng)分析中需添加壓電陶瓷的壓電耦合關(guān)系,其壓電本構(gòu)方程為[9]
T=cES-eE
(4)
D=eTS+εSE
(5)
式中:T為應(yīng)力張量;D為電場強度張量;S為應(yīng)變張量;E為電場強度張量;cE為恒電場下的彈性系數(shù)矩陣;e為壓電常數(shù)矩陣;εS為介電常數(shù)矩陣。利用ANSYS軟件模擬壓電陶瓷驅(qū)動定子系統(tǒng)動力學方程為[10]
(6)
式中:Qu為節(jié)點位移矢量;Qφ為節(jié)點電勢矢量;M為質(zhì)量矩陣;Cs為單元結(jié)構(gòu)阻尼矩陣;Cd為單元介電阻尼矩陣;Ks為剛度矩陣;Kd為介電常數(shù)系數(shù)矩陣;Kp為壓電耦合矩陣;Fu為節(jié)點力矢量;Fφ為電荷矢量。對壓電陶瓷施加激勵電壓峰-峰值為120 V,根據(jù)表3的數(shù)據(jù),頻率設(shè)為44~47 kHz,得到定子系統(tǒng)的幅頻特性曲線,如圖4所示。
圖4 定子系統(tǒng)幅頻特性
由圖4可知,定子驅(qū)動面的最大響應(yīng)振幅約為1.7 μm。根據(jù)定子表面質(zhì)點周向位移函數(shù)[2]:
uc(x)=(πWh0/λ)cos(ωt-nx)
(7)
式(7)對時間求導可得定子周向速度函數(shù):
(8)
式中:W為縱向振幅;h0為定子彈性體基板厚度;λ為振動波長;ω為角頻率;n為波數(shù)。式(8)表明,如果定子振幅較小,會造成周向速度低,縱向振幅過小甚至可能出現(xiàn)無法克服轉(zhuǎn)子表面粗糙度而停轉(zhuǎn)。因此,在進一步的優(yōu)化設(shè)計中,需要盡量提高定子振幅。
超聲電機定子的設(shè)計通常采用參數(shù)分析法,這種方法是一種試誤法,需要較多時間來尋找合適的參數(shù)集。如果輸入?yún)?shù)很多,那么要檢查的配置數(shù)量可能非常龐大,且設(shè)計結(jié)果是次優(yōu)的[11]。
響應(yīng)面法是獲得給定目標隨輸入?yún)?shù)變化的有效方法,在給定輸入變量上提供性能的連續(xù)變化,精度可控制,有利于進一步優(yōu)化?;陧憫?yīng)面法的優(yōu)化設(shè)計原理是:首先確定每個設(shè)計變量的合理變化范圍(設(shè)計空間),利用概率采樣挑選設(shè)計空間中的若干點并建立響應(yīng)面模型(最佳擬合面),最后采用優(yōu)化算法進行全局優(yōu)化[12]。
根據(jù)前述分析,確定定子設(shè)計的兩個優(yōu)化目標:
1) 工作模態(tài)頻率盡量遠離相鄰干擾模態(tài)頻率。
2) 定子表面質(zhì)點振幅最大。
為了更有效地進行優(yōu)化設(shè)計,在確定最終設(shè)計變量前應(yīng)進行結(jié)構(gòu)參數(shù)的靈敏度分析,以確定影響定子優(yōu)化目標的關(guān)鍵因素。結(jié)合模態(tài)分析和諧響應(yīng)分析結(jié)果及表1中所列參數(shù),5個設(shè)計參數(shù)分別對定子振幅、工作模態(tài)頻率、干擾模態(tài)頻率1(相鄰前1階)、干擾模態(tài)頻率2(相鄰后1階)的靈敏度分析結(jié)果如圖5所示。
圖5 設(shè)計參數(shù)的靈敏度
由圖5可知,p1對振幅、工作模態(tài)頻率和干擾模態(tài)頻率2的靈敏度都較低。p2對振幅和模態(tài)頻率的靈敏度都很高,且對工作模態(tài)的靈敏度高于干擾模態(tài)。p3對振幅和干擾模態(tài)頻率1的靈敏度比工作模態(tài)頻率和干擾模態(tài)頻率2大,而p4對振幅的靈敏度較模態(tài)頻率略大,p5對振幅的靈敏度較低,但對模態(tài)頻率靈敏度有一定貢獻。根據(jù)以上現(xiàn)象,最終的設(shè)計變量排除p1,保留p2、p3、p4和p5。建立對應(yīng)的兩個優(yōu)化目標函數(shù),為使目標函數(shù)尺度接近,進行了比例縮放并轉(zhuǎn)換為無量綱數(shù)。
(9)
(10)
式中:Fw、Ff、Fb分別為工作模態(tài)頻率、前1階干擾模態(tài)頻率、后1階干擾模態(tài)頻率。設(shè)定工作頻率為40~48 kHz,則最終的優(yōu)化模型為
(11)
采用非參數(shù)回歸法建立優(yōu)化參數(shù)的響應(yīng)面模型,利用稀疏網(wǎng)格自適應(yīng)加密抽取采樣點,最終得到設(shè)計變量與目標響應(yīng)的響應(yīng)面模型。選取靈敏度較高的兩個參數(shù)p2、p3分別對應(yīng)G1、G2的響應(yīng)面如圖6所示。響應(yīng)面的擬合質(zhì)量可由誤差決定系數(shù)反映,圖6中的G1、G2響應(yīng)面誤差決定系數(shù)分別為98.93%和98.84%,表明所構(gòu)造的響應(yīng)面模型具有較高精度,可作為優(yōu)化的近似對象模型。
圖6 部分結(jié)構(gòu)參數(shù)對目標函數(shù)G1,G2的三維響應(yīng)面
優(yōu)化算法選擇多優(yōu)化目標的迭代遺傳算法(MOGA),該方法是一種全局優(yōu)化算法,適合于多目標優(yōu)化問題[13]。種群大小設(shè)置為100,最大進化代數(shù)取200。優(yōu)化得到的Pareto前沿如圖7所示。
圖7 Pareto前沿
由圖7可知,兩個優(yōu)化目標在較大范圍內(nèi)相互制約,需要根據(jù)不同的策略選擇最終的非劣解。本文在選擇優(yōu)化結(jié)果時,以側(cè)重模態(tài)分離為原則挑選優(yōu)化參數(shù),表4為優(yōu)化前、后及修正結(jié)果的對比。
表4 優(yōu)化前、后及修正結(jié)果對比
試制了一個定子并黏貼好壓電陶瓷片,利用二維激光測振儀對其進行定掃頻實驗,所加交變電壓峰-峰值為120 V,電流為0.3 A,測試結(jié)果如圖8所示。
圖8 定子定掃頻振動測試結(jié)果
由圖8可知,定子B07模態(tài)A、B兩相頻率均為42.7 kHz,具有很好的模態(tài)一致性。定子縱向振幅約2.3 μm,具有良好的振動表現(xiàn)。模態(tài)頻率值和有限元分析結(jié)果相差約0.6 kHz,誤差較小。定頻實驗結(jié)果表明,在42.7 kHz頻率下,均能激勵出良好的A、B兩相駐波,模態(tài)較純,證明設(shè)計的定子結(jié)構(gòu)合理可靠,可以產(chǎn)生良好的行波。
創(chuàng)新性的將三爪卡盤自動定心的特點應(yīng)用在球形超聲電機的夾持機構(gòu)中。建立了單個定子對球形電機輸出力矩的數(shù)學模型。運用有限元分析軟件對定子結(jié)構(gòu)參數(shù)進行靈敏度分析、模態(tài)分析和諧響應(yīng)分析,并建立了基于響應(yīng)面模型的多目標優(yōu)化模型。優(yōu)化結(jié)果成功實現(xiàn)了定子模態(tài)分離要求,并提高了表面振幅。定子試制件的定掃頻實驗測試結(jié)果也表明,本文設(shè)計定子所采用的優(yōu)化方法是有效的,為多自由度球形超聲電機的實現(xiàn)奠定了良好基礎(chǔ)。