倪沈俠 閻少宏 吳宇航

【摘要】本文關(guān)注的是It型隨機系統(tǒng)（確定性系統(tǒng)添加隨機干擾）的穩(wěn)定性問題.簡單介紹了隨機系統(tǒng)的類型，起源和發(fā)展，以及在分析其穩(wěn)定性過程中用到的一些方法.

【關(guān)鍵詞】It積分;布朗運動;隨機微分方程

【基金項目】中國自然科學基金（No.11601151）.

一、隨機系統(tǒng)研究背景

著名的股票價格Black Scholes模型可以用一個標量線性隨機微分方程（SDE）dy（t）=αy（t）dt+σy（t）dB（t）來描述，其中α是增長率，σ是波動率.此時，平均股價x（t）=Ey（t）滿足微分方程dx（t）=αx（t）dt，因此，當α>0時平均股價將呈指數(shù)增長.但有趣的是，若σ足夠大，單個價格y（t）將以概率為1傾向于零.也就是說盡管股票價格整體增長，但個人仍有可能在大幅度波動下失去財富.這個實例表明隨機波動率可以影響系統(tǒng)原有的穩(wěn)定程度.

現(xiàn)實生活中存在許多隨機現(xiàn)象，例如，天氣、物價、生產(chǎn)制造系統(tǒng)等都具有不確定性，都存在或多或少的干擾因素.這些干擾可能會影響原本事物的功能或發(fā)展，用傳統(tǒng)的方法幾乎無法解決.隨著隨機現(xiàn)象廣泛存在，越來越多的學者開始用隨機的觀點來分析和解決問題.

二、隨機系統(tǒng)基礎

1969年，Kozin把隨機系統(tǒng)分為隨機參數(shù)為高斯白噪聲型與隨機參數(shù)為非高斯白噪聲型兩大類.目前關(guān)注最多的是前者，其數(shù)學模型是It型SDEdx（t）=f（t，x（t））dt+g（t，x（t））dB（t），其中f是漂移項，g是擴散項也是布朗運動引導的隨機擾動項.我們研究SDE的穩(wěn)定性也就是研究SDE解的穩(wěn)定性.對SDE的解，它的存在唯一定理只需滿足一致Lipschitz條件和線性增長條件.關(guān)于SDE的基礎知識可在毛教授的著作中獲得[1].

我們強調(diào)的隨機系統(tǒng)大致可以分為兩類.一類是確定性系統(tǒng)加上隨機噪音，可通過調(diào)整隨機噪音的強度來使整個受控系統(tǒng)變得穩(wěn)定.還有一類是系統(tǒng)自身帶有隨機性或不確定性，從控制的角度說，較高效的方法是設計一個控制器來鎮(zhèn)定它.這樣分類也存在缺陷，因為實際中到處存在隨機事物，這是一個持續(xù)發(fā)展的動態(tài)問題，并沒有十分清晰的界限.本文提到的隨機系統(tǒng)默認為確定性系統(tǒng)添加隨機噪音類型的隨機系統(tǒng).

三、隨機系統(tǒng)發(fā)展歷程

（一）隨機干擾

隨機干擾早已擺脫了人們對它的負面看法.許多學者引入隨機干擾來影響系統(tǒng)的性能.隨機干擾能夠壓制或促進系統(tǒng)解的指數(shù)增長，緩解系統(tǒng)指數(shù)增長過程中的爆炸可能性，還可以鎮(zhèn)定系統(tǒng)，使系統(tǒng)變得穩(wěn)定等.穩(wěn)定性，鎮(zhèn)定和穩(wěn)定化這些詞語之間有什么區(qū)別呢？穩(wěn)定性是系統(tǒng)的某個性質(zhì)或判斷系統(tǒng)狀態(tài)的一個指標;鎮(zhèn)定是使系統(tǒng)達到穩(wěn)定狀態(tài)的一種手段或方法;而穩(wěn)定化描述的是調(diào)整系統(tǒng)狀態(tài)的過程，它的最終目標是使系統(tǒng)變得穩(wěn)定.

（二）隨機系統(tǒng)

在討論隨機系統(tǒng)前有必要指出隨機系統(tǒng)和隨機神經(jīng)系統(tǒng)之間的關(guān)系.隨機神經(jīng)系統(tǒng)可以看作是隨機系統(tǒng)的特殊形式，比一般的隨機系統(tǒng)結(jié)構(gòu)復雜些.眾所周知，隨機干擾不但能夠使不穩(wěn)定的系統(tǒng)變得穩(wěn)定，也能使穩(wěn)定系統(tǒng)變得更穩(wěn)定.近些年來，越來越多的學者開始關(guān)注隨機系統(tǒng)的穩(wěn)定問題.這個問題的起始工作是由Hasminskii完成的.后來，Arnold等人表明，當且僅當a的跡小于零時，零均值平穩(wěn)參數(shù)噪聲可以鎮(zhèn)定多維線性系統(tǒng).對非線性系統(tǒng)，若它滿足局部Lipschitz條件，則可以通過隨機干擾使其穩(wěn)定.

由于測量漂移或參數(shù)不確定性等原因，系統(tǒng)的時間延遲是不可避免的，時滯是系統(tǒng)不穩(wěn)定的來源之一.時滯隨機系統(tǒng)可以用隨機泛函微分方程（SFDE）或隨機延遲微分方程來描述.由于時間延遲給系統(tǒng)帶來的復雜性，在討論穩(wěn)定性的過程中會出現(xiàn)很多阻礙，因此，我們需要尋求新的方法.例如，像帶有時變時滯的非線性隨機系統(tǒng)的前饋控制問題[2]等都是眾多學者的研究成果.

還有一種系統(tǒng)在運行過程中受瞬間干擾時系統(tǒng)狀態(tài)發(fā)生突然變化，進而系統(tǒng)運行變得更為復雜，就是切換隨機系統(tǒng).其中有些跳躍系統(tǒng)，像poisson跳變系統(tǒng)，Markovian跳變系統(tǒng)[3]等都有文獻來介紹.

我們還應該注意到，無論是非線性隨機系統(tǒng)、時滯隨機系統(tǒng)和跳躍系統(tǒng)等或者是帶有它們其中兩個或兩個以上因素的隨機系統(tǒng)，都有較多的文獻來說明隨機系統(tǒng)穩(wěn)定性的發(fā)展成果.這些成果推動了工業(yè)、科學等領(lǐng)域的發(fā)展，并產(chǎn)生了深遠影響.

（三）隨機神經(jīng)網(wǎng)絡系統(tǒng)

1982年，Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡被引入.作為神經(jīng)網(wǎng)絡的特殊形式，它可以用一個常微分方程來描述.上世紀90年代，毛教授等學者率先研究了隨機神經(jīng)網(wǎng)絡的穩(wěn)定性，標志著隨機神經(jīng)網(wǎng)絡穩(wěn)定性發(fā)展的開端.之后，同一般隨機系統(tǒng)一樣，在時滯隨機神經(jīng)系統(tǒng)、切換隨機神經(jīng)系統(tǒng)等領(lǐng)域都有不少成果.

到目前為止，隨機神經(jīng)網(wǎng)絡的發(fā)展主要經(jīng)歷了模型改進、研究系統(tǒng)性能、創(chuàng)新證明方法等過程.此外，許多學者對隨機神經(jīng)系統(tǒng)其他形式的穩(wěn)定性進行了研究，如幾乎必然指數(shù)穩(wěn)定、漸進穩(wěn)定和矩指數(shù)穩(wěn)定等，并且得到了大量的研究成果.隨著國內(nèi)外學者深入研究，相信將會有更多更好的成果出現(xiàn).

四、結(jié)束語

本文主要介紹了It型隨機系統(tǒng)的多種形式，以及分析隨機系統(tǒng)穩(wěn)定性的一些方法.若本文有描述不恰當?shù)牡胤秸堊x者批評指正，不勝感激.今后，筆者將繼續(xù)對It型隨機系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題展開深入研究.

【參考文獻】

[1]Mao X.Stochastic differential equation and applications[M].Elsevier，2007.

[2]L.Liu，X.J.Xie.State feedback stabilization for stochastic feedforward nonlinear systems with time-varying delay[J].Abstract and Applied Analysis，2014（4）：936-942.

[3]Feng L，Li S，Liu Z，et al.Robust stability of a class of stochastic functional differential equations with Markovian switching[J].Advances in Difference Equations，2016（1）：205.