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      關(guān)于一類數(shù)字半群的Frobenius問題

      2020-03-14 07:43:54孫廣人
      關(guān)鍵詞:常設(shè)生成元奇數(shù)

      吳 琳,孫廣人,凌 燕,潘 萍

      (安慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,安徽安慶246133)

      19世紀(jì)末,德國數(shù)學(xué)家Frobenius根據(jù)硬幣問題提出了著名的Frobenius問題:給定一組正整數(shù)系數(shù)l1,l2,…,lp( p ∈?+),求出使不定方程Y =l1x1+l2x2+…+lpxp沒有非負(fù)整數(shù)解的最大正整數(shù)Y。這個最大正整數(shù)Y則稱為相對于l1,l2,…,lp的Frobenius數(shù)。同時,F(xiàn)robenius還證明了當(dāng)方程系數(shù)l1,l2,…,lp的最大公約數(shù)等于1時,F(xiàn)robenius數(shù)就一定存在。之后,隨著Frobenius問題研究的深入,進(jìn)而產(chǎn)生了數(shù)字半群這一新概念。

      下面給出數(shù)字半群的基本概念[1]。令?是所有非負(fù)整數(shù)構(gòu)成的集合,若?的子集S在加法下封閉,0 ∈S且?S有限,則稱S是數(shù)字半群。給定?的一個非空子集A,用A 表示由A生成的( )?,+ 的一個幺子半群,即

      此外,A 為數(shù)字半群當(dāng)且僅當(dāng)集合A中的所有元素的最大公約數(shù)為1。對于數(shù)字半群S,若S滿足條件S= A ,則稱A是S的生成元系,集合A中的元素稱為S的生成元;若A的任意真子集都不能生成S,則稱A是S的極小生成元系。每個數(shù)字半群S都有唯一的一個極小生成元系并且這個極小生成元系中的元素個數(shù)也都是有限的,也就是說每個數(shù)字半群都是有限生成的[2],數(shù)字半群S的極小生成元系中的元素個數(shù)稱為S的嵌入維數(shù),用e( )S 表示;對于不能用數(shù)字半群的極小生成元系線性表示的最大正整數(shù),即不屬于S的最大正整數(shù),稱為數(shù)字半群S的Frobenius數(shù),用F(S) 表示。由此可知,F(xiàn)robenius問題的數(shù)字半群形式為給定數(shù)字半群的一組生成元,求出只和生成元系有關(guān)的F(S)計算公式。數(shù)字半群的Frobenius問題是一個經(jīng)典問題[3-7]。目前,嵌入維數(shù)為2的數(shù)字半群Frobenius問題及許多相關(guān)問題已經(jīng)得到了解決[8]。但是,對于嵌入維數(shù)不小于3的數(shù)字半群,這些問題都是N-P問題[9],因此一些特殊數(shù)列生成的數(shù)字半群一直是研究熱點(diǎn)[2,10-11]。

      對于固定的n ∈?,Thabit數(shù)字半群T( n )是由數(shù)列3·2n+i-1( i ∈? )生成的,若將數(shù)列通項公式中的系數(shù)3變成任意的一個奇數(shù)2m-1(m ∈?且m ≥1),此時新的數(shù)列( 2m-1 )·2n+i-1( i ∈? )生成的數(shù)字半群就是數(shù)字半群T( m,n )[12]。文獻(xiàn)[12]中已經(jīng)確定了T( m,n )的極小生成元系并且求出了Frobenius數(shù)的計算公式,解決了T( m,n )的Frobenius問題,而本文將對數(shù)字半群T( m,n )更加一般的數(shù)字半群繼續(xù)研究同樣的問題。對于固定的n ∈?,m ∈? 且m ≥1,將數(shù)列( 2m-1 )·2n+i-1( i ∈? )系數(shù)中的1 變成任意的奇數(shù)k并且規(guī)定1≤k <2m-1,這時生成的數(shù)字半群為T( m,k,n )=通過一系列的歸納論證探究了新數(shù)字半群T( m,k,n )的極小生成元系,嵌入維數(shù)和Apéry集等方面的性質(zhì),又針對k=2m-1 和k=2t-1(t ∈? 且t ≥1)這兩種特殊情況,研究了T( m,k,n )的Frobenius 數(shù),求出了這兩種情況下的數(shù)字半群T( m,k,n )的Frobenius數(shù)計算公式。

      1 嵌入維數(shù)e( T( m,k,n))

      令m,n為兩個正整數(shù)且2 ≤m ≤2n,令k是奇數(shù)且1≤k <2m-1,則

      引理1[12]令S是由非空集合A生成的數(shù)字半群,則下列條件等價:

      (1)?a ∈A,2a+1∈S;(2)?s ∈S{ 0 },2s+1∈S。

      在引理1的基礎(chǔ)上可以得到下面的結(jié)論。

      引理2 若m,k,n ∈?,2 ≤m ≤2n,k為奇數(shù)且1≤k <2m-1,則T( m,k,n )=

      證 明 令S′= { s0,s1,…,sn+m-1},顯 然S′?T( m,k,n )。接 下 來 要 證 明T( m,k,n )?S′,若i ∈{ 0,1,…,n+m-2 },則2si+1=si+1∈S′。對于i=n+m-1,有

      根據(jù)引理1,可得對于?s′∈S′{ 0}(這里用s′表示數(shù)字半群S′中的任意一個元素),有2s′+1∈S′。

      綜上可得,對于i ≥m,有sn+i∈S′,即T( m,k,n )?S′。同時可知{ s0,s1,…,sn+m-1}是數(shù)字半群T( m,n,k )的生成元系,下面在此基礎(chǔ)上證明{ s0,s1,…,sn+m-1}是T( m,k,n )的極小生成元系。

      引理3 若m,k,n ∈?,2 ≤m ≤2n,k為奇數(shù)且1≤k <2m-1,則sn+m-1?

      證明 證明方法過程與文獻(xiàn)[12]中引理2.3相同。

      根據(jù)引理3確定了T( m,k,n )的極小生成元系,再由嵌入維數(shù)的概念便得到了定理1。

      定 理1 若m ,k ,n ∈? ,2 ≤m ≤2n,k 為 奇 數(shù) 且1≤k <2m-1,則e( T( m,k,n ))=n+m 且{s0,s1,…,sn+m-1}是T( m,k,n )的極小生成元系。

      證明 根據(jù)引理2和引理3即證。

      2 T( m,k,n )的Apéry集

      下面主要探究數(shù)字半群T( m,k,n )的Apéry集方面的一些性質(zhì)。

      令S 是數(shù)字半群,x ∈S{ 0 },定義S 中x 的Apéry 集[1]為Ap( S,x )={ s ∈S |s-x ?S },而Ap( S,x )集合的勢等于x,記Ap( S,x )={ ω( 0 ),ω( 1 ),…,ω( x-1 )}。這里,對?i ∈{ 0,1,…,x-1 },ω( i )是S中與i模x同余的最小元素。

      注1 用A( r )表示所有元素( a1,a2,…,ar)∈{ 0,1,2}r的集合且元素( a1,a2,…,ar)滿足條件:若1≤i <j <r,aj=2, 則ai=0。

      引理5 若m,k,n ∈?,2 ≤m ≤2n,k為奇數(shù)且1≤k <2m-1,令T( m,k,n )是由{ s0,s1,…,sn+(m-1)}極小生成的數(shù)字半群,則

      證明 證明過程[12]中引理3.1相同。

      引理6[10]在常設(shè)符號下,若m,k,n ∈?,2 ≤m ≤2n,k 為奇數(shù)且1≤k <2m-1,若x′∈T( m,k,n ),x′≡0 mod s0不成立,則x′-1∈T( m,k,n )。

      引理7[10]在常設(shè)符號下,若m,k,n ∈?,2 ≤m ≤2n,k 為奇數(shù)且1≤k <2m-1,令ω( i )是T( m,k,n )中與i模s0同余的最小元素,則?i ∈{ 0,1,…,s0-1 },ω( 0 )<ω( 1 )<…<ω( s0-1 )。

      上述引理5并沒有得到T( m,k,n )的一個確切Apéry集,而且當(dāng)k不同時,數(shù)字半群T( m,n,k )對應(yīng)的Apéry集都不相同,情況比較復(fù)雜。因此下面將針對k=2m-1-1和k=2t-1(t ∈?且t ≥1)這兩種特殊情況,探究使引理5等號成立的條件,確定這兩種情況下的T( m,k,n )的Apéry集,進(jìn)而求出Frobenius數(shù)計算公式。

      3 k=2m-1 -1時,T( m,k,n )的Frobenius數(shù)

      這里,令k=2m-1-1,則2m-k=2m-1+1,所以

      且e( T( m,k,n ))=n+m,而對于?i ∈?,這里si= ( 2m-1+1 )·2n+i-1∈T( m,k,n )。

      注2 (1)設(shè)X是一個非空集合,P為條件,因此定義#X表示集合X的勢;X |P是指滿足條件P的X的子集。

      (2)令r是正整數(shù),( a1,a2,…,ar),( b1,b2,…,br)∈A( r ),在A( r )上定義如下關(guān)系:

      ( a1,a2,…,ar)≤r( b1,b2,…,br)??m′>0,am′=bm′或?m′>0,?i <m′,am′<bm′,ai=bi,

      由此可知≤r是A( r )上的全序。

      引理8 在常設(shè)符號下,若m,k,n ∈?,2 ≤m ≤2n,k=2m-1-1,則max( Ap( T( m,k,n ),s0))≤sn+sn+(m-1)。

      根據(jù)引理8,可以得到如下結(jié)論。

      引理9 在常設(shè)符號下,若m,k,n ∈?,2 ≤m ≤2n,k=2m-1-1,則

      (1)2sn+m-1?Ap( T( m,k,n ),s0);

      (2)對?i ∈{ 0,1,…,n+m-1 },sn+sn+m-1+si?Ap( T( m,k,n ),s0)。

      注3 現(xiàn)定義R( n+m-1 )是滿足下列條件序列( a1,a2,…,an+m-1)∈A( n+m-1 )的集合:

      ①an+m-1∈{ 0,1 };

      ②若n <i <n+m-1,an=an+m-1=1,則ai=0,同時,令( a′1,a′2,…,a′n-1)∈A( n-1 ),則R( n+m-1 )= A( n+m-1 )|( a1,a2,…,an+m-1)≤n+m-1( a′1,a′2,…,a′n-1,1,0,…,0,1 )。

      引理10 在常設(shè)符號下,若m,k,n ∈?,2 ≤m ≤2n,k=2m-1-1,則

      證明 下面分成2種情況進(jìn)行討論。

      (1)若( a1,…,an+m-1)∈R( n+m-1 ),2 ?{ a1,…,an+m-1},則對于?i ∈{ 1,2,…,n-1 },ai∈{ 0,1 }。

      又因?yàn)? an,an+1,…,an+m-2,an+m-1)≤m( 1,0,…,0,1 ),所以

      ①當(dāng)( an,an+1,…,an+m-2,an+m-1)<m( 1,0,…,0,1 )時,#R( n+m-1 )=2n-1·( 2m-1+1 );

      ②當(dāng)( an,an+1,…,an+m-2,an+m-1)= ( 1,0,…,0,1 )時,#R( n+m-1 )=1。

      因此,# R( n+m-1 )|2 ?{ a1,…,an+m-1}= ( 2m-1+1 )·2n-1+1=2n+m-2+2n-1+1。

      (2)若( a1,…,an+m-1)∈R( n+m-1 ),2 ∈{ a1,…,an+m-1},則

      ①當(dāng)2 ∈{ an,…,an+m-1}時,# R( n+m-1 )|2 ∈{ an,…,an+m-1}=2m-1-1;

      所以# R( n+m-1 )|2 ∈{ a1,……,an+m-1}=2n+m-2+2n-1-2m-1-1+2m-1-1=2n+m-2+2n-1-2

      因此,綜合上述有#R( n+m-1 )=2n+m-1+2n-2+1 = ( 2m-1+1 )·2n-1。

      根據(jù)上述引理的證明,得到了如下當(dāng)k=2m-1-1時,引理5等號成立時的情況。

      定理2 在常設(shè)符號下,若m,k,n ∈?,2 ≤m ≤2n,k=2m-1-1,令T( m,k,n )是由{ s0,s1,…,sn+(m-1)}極小生成的數(shù)字半群,則

      令S 是數(shù)字半群,x ∈S{ 0 },已知F( S )=max Ap( S,x )-x[1],因此可以得到如下關(guān)于T( m,k,n )的Frobenius數(shù)計算公式。

      推論1 在常設(shè)符號下,若m,k,n ∈?,2 ≤m ≤2n,k=2m-1-1,則

      4 k=2t -1( t ≥1 )時,T( m,k,n )的Frobenius數(shù)

      這里,k=2t-1(這里t ∈?且t ≥1),則2m-k >0,故m ≥t+1,所以

      引理11[12]令r是正整數(shù),則#A( r )=2r+1-1。

      引理13 在常設(shè)符號下,若m,k,n ∈?,k=2t-1(t ∈?且t ≥1),t+1≤m ≤2n,則

      證明 對?i ∈?,有si=+2i-1,

      引理14 在常設(shè)符號下,若m,k,n ∈?,k=2t-1(t ∈?且t ≥1),t+1≤m ≤2n,則

      此時分2種情況進(jìn)行討論:

      因此,綜合上述有

      根據(jù)上述引理證明,可以得到關(guān)于k=2t-1(t ∈?且t ≥1)時T(m,k,n) 的確切的Apéry集。

      定理3 在常設(shè)符號下,若m,k,n ∈?,k=2t-1(t ∈? 且t ≥1),t+1≤m ≤2n,令T(m,k,n) 是由{s0,s1,…,sn+(m-1)}極小生成的數(shù)字半群,則

      推論2 常設(shè)符號下,若m,k,n ∈?,k=2t-1(t ∈?且t ≥1),t+1≤m ≤2n,則

      例2 令t=2,則k=3,所以令m=4時,T( 4,3,n )=13·2n+i-1 |i ∈?,再令n=2,則根據(jù)定理1 可知51,103,207,415,831,1663是T( 4,3,2 )的極小生成元系,e( T( 4,3,2 ))=6。根據(jù)引理14 可得

      所以根據(jù)定理3可知

      5 結(jié)束語

      本文在Gu等人研究的數(shù)字半群基礎(chǔ)上,研究了新數(shù)字半群T( m,k,n )的Frobenius問題,但由于不同k的取值導(dǎo)致數(shù)字半群T( m,k,n )的Frobenius數(shù)的計算公式也不同,情況多而復(fù)雜,所以這里只探討其中兩類情況。而對于k的其他取值情況下,數(shù)字半群T( m,k,n )的Frobenius問題仍然有待于我們繼續(xù)深入探究。

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