高剛，張金鵬，李群生

中國空空導(dǎo)彈研究院，河南洛陽471009

高超聲速飛行器因其能夠快速全球可達(dá)，具有巨大的軍事價(jià)值和潛在的經(jīng)濟(jì)價(jià)值，近年來成為各國發(fā)展的重點(diǎn)，如中國的WU-14及美國的HTV-2。相對(duì)于普通飛行器，高超聲速飛行器具有巨大的速度優(yōu)勢，更強(qiáng)的載荷攜帶能力，以及可能重復(fù)使用的特性。另一方面，就軍事目的而言，高超聲速飛行器優(yōu)越的機(jī)動(dòng)性大大增加了其攔截難度。

在采用輕質(zhì)材料的情況下，高超聲速飛行器在快速飛行過程中由于氣流擾動(dòng)等因素，可能發(fā)生氣動(dòng)彈性振動(dòng)。考慮沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)與機(jī)體的融合構(gòu)型和高超聲速飛行器彈性機(jī)體，推進(jìn)系統(tǒng)及氣動(dòng)力學(xué)之間存在強(qiáng)耦合作用。與此同時(shí)，高超聲速飛行器具有高馬赫數(shù)飛行特性，參數(shù)快時(shí)變特征。上述特點(diǎn)使得高超聲速飛行器控制具有巨大的挑戰(zhàn)性[1,2]。

高超聲速飛行器控制研究集中于具有X-33或X-38構(gòu)型無動(dòng)力高超聲速飛行器(NHV)的再入控制[3,4]，及具有錐體加速器或X-30 構(gòu)型吸氣式高超聲速飛行器(AHV)的巡航控制[5,6]。

吸氣式高超聲速飛行器方面，現(xiàn)有參考文獻(xiàn)涉及三個(gè)主要的飛行器模型。其一是美國航空航天局（NASA）蘭利研究中心提出的剛性NASA-LRC模型，主要考察一個(gè)具有錐體加速器構(gòu)型高超飛行器的縱向動(dòng)態(tài)[5,7]。利用計(jì)算流體力學(xué)，第二個(gè)包含彈性模態(tài)的CSULA-GHV是由加州州立大學(xué)多學(xué)科飛行動(dòng)態(tài)及控制實(shí)驗(yàn)室提出，它描述了一個(gè)全尺寸X-30 構(gòu)型高超聲速飛行器的縱向動(dòng)態(tài)[8,9]。利用Lagrange 方程，對(duì)于一個(gè)X-30 構(gòu)型飛行器的縱向動(dòng)態(tài)，美國空軍研究實(shí)驗(yàn)室推導(dǎo)了第三個(gè)具有彈性模態(tài)的AFRLOSU模型[6,10]。

本文研究基于AFRL-OSU模型，其中部分動(dòng)力學(xué)描述是系統(tǒng)狀態(tài)及控制輸入的隱函數(shù)，不具有通?？刂破髟O(shè)計(jì)所要求的相對(duì)規(guī)范的形式。利用曲線擬合方法，幾位作者給出了AFRL-OSU模型的曲線擬合形式[6,11-13]，大大降低了控制分析的難度，同時(shí)保留了原模型的基本動(dòng)態(tài)特征[6]。采用AFRL-OSU 模型，參考文獻(xiàn)[11]、參考文獻(xiàn)[14]、參考文獻(xiàn)[15]中假設(shè)彈性模態(tài)可以直接測量，將其用于控制反饋。參考文獻(xiàn)[16]利用線性參數(shù)時(shí)變的建模及控制方法研究AFRL-OSU 模型，參考文獻(xiàn)[17]提出高超聲速飛行器保性能控制，參考文獻(xiàn)[18]利用T-S模糊控制方法設(shè)計(jì)保性能控制器。基于有限的狀態(tài)信息，參考文獻(xiàn)[19]提出輸出反饋控制器?；诜答伨€性化系統(tǒng)，參考文獻(xiàn)[20]討論了高超聲速飛行器的魯棒最優(yōu)控制問題。

對(duì)比無動(dòng)力高超聲速飛行器，吸氣式高超聲速飛行器在飛行過程中必然產(chǎn)生燃料消耗，引起飛行器質(zhì)量及轉(zhuǎn)動(dòng)慣量變化[13]。在此前提下，針對(duì)吸氣式高超聲速飛行器控制問題，現(xiàn)有研究并不充分。針對(duì)此問題，考慮燃料消耗引起的飛行器質(zhì)量及轉(zhuǎn)動(dòng)慣量變化，本文研究吸氣式高超聲速飛行器的自適應(yīng)控制問題，在控制律設(shè)計(jì)過程中注意避免執(zhí)行器震顫現(xiàn)象。

1 模型分析

1.1 高超聲速飛行器縱向動(dòng)態(tài)

考慮一個(gè)X-30 構(gòu)型的飛行器，本節(jié)中的分析基于AFRL-OSU模型。對(duì)此高超聲速飛行器模型，其不穩(wěn)定性及控制難點(diǎn)主要體現(xiàn)在縱向運(yùn)動(dòng)平面。在無滾轉(zhuǎn)的情況下解耦于橫向動(dòng)態(tài)，飛行器的縱向動(dòng)態(tài)可描述為：

模型中的氣動(dòng)力和力矩具有形式：

以上模型中，包含5個(gè)剛性狀態(tài)變量，即高度h、速度V、迎角α、俯仰角θ及俯仰角速率Q。同時(shí)，模型包含4個(gè)彈性狀態(tài)變量以上模型中，輸出高度h主要由升降舵偏轉(zhuǎn)δe調(diào)節(jié)，而輸出速度V主要受油門開度Φ的影響?？梢钥吹剑到y(tǒng)中各變量間存在復(fù)雜的耦合，如由于系統(tǒng)發(fā)動(dòng)機(jī)與氣動(dòng)外形的相互作用，除推力外，油門開度Φ間接影響俯仰力矩。另外，對(duì)升降舵偏轉(zhuǎn)δe，其在調(diào)節(jié)俯仰力矩的同時(shí)，通過相對(duì)較弱的耦合間接影響升力、阻力及廣義彈性力。此外由式(1)，剛性狀態(tài)變量俯仰角速率的動(dòng)態(tài)受彈性模態(tài)的影響，同時(shí)廣義彈性力依賴于迎角，由此系統(tǒng)彈性模態(tài)及剛性動(dòng)態(tài)間存在耦合。

1.2 面向控制的模型設(shè)計(jì)

對(duì)式（1），升降舵與升力及阻力間存在耦合，由此控制輸入δe會(huì)出現(xiàn)在輸出h,V的低階導(dǎo)數(shù)中。由于耦合相對(duì)較弱，可以考慮在控制器設(shè)計(jì)過程中將其忽略。與此同時(shí)，為避免輸入解耦矩陣奇異，考慮油門開度Φ命令實(shí)現(xiàn)過程的一個(gè)二階動(dòng)態(tài)擴(kuò)展，將彈性模態(tài)忽略，可得：

此時(shí)，考慮控制輸入升降舵偏轉(zhuǎn)δe及油門開度命令Φc，利用Matlab符號(hào)計(jì)算，對(duì)輸出高度h及速度V求高階導(dǎo)數(shù)，可以驗(yàn)證式(2)具有滿相對(duì)度。在此模型中，其狀態(tài)變量取為高度h、速度V、迎角α、俯仰角θ、俯仰角速率Q、油門開度Φ及選取阻尼系數(shù)ζ=0.7，固有頻率ω=20，式(2)中最后一個(gè)方程描述真實(shí)飛行器中油門開度Φ命令實(shí)現(xiàn)過程中的一個(gè)滯后效應(yīng)，具有現(xiàn)實(shí)意義。

對(duì)式(1)或式(2)，其運(yùn)行區(qū)間見表1。

表1 飛行器運(yùn)行區(qū)間Table 1 The flight envelope of the vehicle

可以驗(yàn)證，對(duì)表1給定的運(yùn)行區(qū)間，考慮控制輸入升降舵偏轉(zhuǎn)δe及油門開度命令Φc，對(duì)輸出高度h及速度V求高階導(dǎo)數(shù)，式(2)具有非奇異的輸入解耦矩陣。

在本文中，式(2)主要用于控制器設(shè)計(jì)及飛行器穩(wěn)定性分析。對(duì)所設(shè)計(jì)控制器仿真驗(yàn)證采用式(1)，其中包含式(2)中忽略的弱耦合及彈性模態(tài)。

2 模型不確定性分析

2.1 模型不確定性

在真實(shí)的高超聲速飛行過程中，由于沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)的燃料消耗，飛行器質(zhì)量及轉(zhuǎn)動(dòng)慣量均會(huì)產(chǎn)生顯著的變化[13]，其可表示為：

式中：m0,I0分別為m,I的標(biāo)稱值；|Δm|≤50%，|ΔI|≤50%表示相應(yīng)變量的加性不確定性，其可記為：

2.2 飛行器的反饋線性化模型

在本節(jié)，使用反饋線性化技術(shù)，得到一個(gè)高超聲速飛行器的線性化模型，其中包含由不確定參數(shù)導(dǎo)致的未知?jiǎng)討B(tài)?？紤]高超聲速飛行器縱向式(2)，為消除穩(wěn)態(tài)誤差，在系統(tǒng)中增加積分變量：

則式(2)寫為：

式中：

非線性函數(shù)：

對(duì)于式(4)，可以驗(yàn)證：

由此，高度積分h*具相對(duì)階rh=5，速度積分V*具相對(duì)階rV=5，此時(shí)式(2)具有滿相對(duì)階及零內(nèi)動(dòng)態(tài)。能線性化非線性式(2)的坐標(biāo)變換x=T(z)可表示為：

可以驗(yàn)證，標(biāo)稱條件下的輸入解耦矩陣G(z)在實(shí)際飛行包線內(nèi)具有非奇異性。

2.3 模型不確定性分析

考慮由式(3)描述的不確定參數(shù)，在以上推導(dǎo)中，G1由Matlab符號(hào)計(jì)算得到，其具有表達(dá)式：

這里λi(·)表示括號(hào)內(nèi)矩陣的第i個(gè)特征值。

3 控制器設(shè)計(jì)

吸氣式高超聲速飛行器在飛行過程中的燃料消耗，會(huì)引起飛行器的飛行參數(shù)變化。針對(duì)這種變化，相比于建立精確的燃料消耗模型，本節(jié)將此參數(shù)變化視為一種不確定因素，基于其對(duì)飛行器反饋線性化模型的影響分析，針對(duì)高超聲速飛行器的不確定模型設(shè)計(jì)自適應(yīng)控制器，同時(shí)在控制律設(shè)計(jì)過程中注意避免執(zhí)行器震顫現(xiàn)象。

3.1 控制器設(shè)計(jì)

那么對(duì)式(5)，其可寫為：

系統(tǒng)中狀態(tài)，輸入及輸出矩陣具有下面的結(jié)構(gòu)：

這里子矩陣具有Brunovsky規(guī)范形式：

式(9)中的不確定項(xiàng)滿足：

對(duì)于式(9)，它需要跟蹤的參考命令可描述為：

式中：ym1是5階可微的，ym2是4階可微的，令：

這里假設(shè)xm∈L∞,rm∈L∞，L∞表示全部有界函數(shù)構(gòu)成的空間。對(duì)于以上參考命令，可寫為參考模型：

這里狀態(tài)、輸入及輸出矩陣由式(10)給出，其中狀態(tài)及輸入矩陣(A,B)是可控的，因此存在一個(gè)鎮(zhèn)定的矩陣K0及正定矩陣P,Q滿足：

這里H表示全部Hurwitz 矩陣的集合?？紤]反饋線性化式(9)，其控制輸入被不確定項(xiàng)影響，將魯棒控制器設(shè)計(jì)為：

式中：rm由式(13)給出，跟蹤誤差e=x-xm，K0見式(15)；K(t)被設(shè)計(jì)來保證不確定參數(shù)下非線性系統(tǒng)(9)的參考命令跟蹤，如：

此時(shí)，跟蹤誤差e=x-xm滿足由此ym(t))=0。

式中：γ及σ表示某些正常數(shù)，函數(shù)φ1(z),φ2(z)及參數(shù)a1見式(11)及式(12)，信號(hào)rm由式(13)定義。

對(duì)于具有滿相對(duì)階及可逆輸入解耦矩陣（式(6)）的非線性系統(tǒng)（式(4)），考慮不確定參數(shù)（式(3)），如果矩陣K0、正定矩陣P,Q設(shè)計(jì)為滿足條件式(15)，那么控制律式(8)、式(16)與式(18)保證跟蹤誤差e=x-xm全局一致最終有界。

3.2 穩(wěn)定性分析

對(duì)非線性系式(4)，應(yīng)用魯棒控制律式(8)、式(16)與式(18)，由反饋線性化模型式(9)減去式(14)，得到誤差動(dòng)態(tài)系統(tǒng)：

考慮Lyapunov函數(shù)：

令：

可給出Lyapunov 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

注意到自適應(yīng)律式(19)及aw(t0)≥0，由其通解：

可得aw(t)≥0,t≥t0。考慮式(7)，可得：

接下來，由不等式：

給出：

由此可得：

令λmin(·),λmax(·)表示括號(hào)內(nèi)矩陣的最小及最大特征值，式（20）中常數(shù)λV,λε具有以下形式：

當(dāng)時(shí)間趨于無窮，式(20)給出：

這就表明對(duì)任意δ＞0，存在T＞0，由此對(duì)任意t＞T，有此時(shí)接下來，令：

同時(shí)注意到對(duì)t＞T，有：

跟蹤誤差e在有限時(shí)間內(nèi)收斂到剩余集Ωe，這表明跟蹤誤差e=x-xm全局一致最終有界。

4 仿真

選取參考文獻(xiàn)[6]給出的高度參考命令及速度參考命令，驗(yàn)證所設(shè)計(jì)控制器的有效性及魯棒性。在滿足約束式(3)，其中|Δm|≤50%，|ΔI|≤50%的前提下，執(zhí)行以下25 輪Monte Carlo 仿真，每次仿真中不確定參數(shù)m,I隨機(jī)取值。疊加25輪仿真結(jié)果，高超聲速飛行器的高度及速度跟蹤性能如圖1（1ft=0.3048m）～圖3所示。

圖1 飛行器高度跟蹤性能Fig.1 The altitude tracking performance

在所執(zhí)行的25輪Monte Carlo仿真中，在不確定參數(shù)質(zhì)量及轉(zhuǎn)動(dòng)慣量影響下，所設(shè)計(jì)自適應(yīng)控制器實(shí)現(xiàn)了期望的高度及速度指令跟蹤效果，表明所設(shè)計(jì)控制器的有效性及魯棒性。

5 結(jié)論

圖2 飛行器速度跟蹤性能Fig.2 The velocity tracking performance

圖3 飛行器控制輸入Fig.3 Control inputs of the vehicle

對(duì)高超聲速飛行器，考慮其縱向動(dòng)態(tài)模型，在復(fù)雜耦合，不確定參數(shù)的影響下，本文考慮其參考命令跟蹤控制問題。為降低問題復(fù)雜性，對(duì)高超聲速飛行器縱向模型進(jìn)行反饋線性化?？紤]燃料消耗導(dǎo)致的模型不確定參數(shù)，分析此線性化模型，并基于分析結(jié)果設(shè)計(jì)了自適應(yīng)控制器，同時(shí)在控制律設(shè)計(jì)過程中注意避免執(zhí)行器震顫現(xiàn)象?；贚yapunov函數(shù)的穩(wěn)定性分析結(jié)果表明，所設(shè)計(jì)控制器能保證跟蹤誤差全局一致最終有界?；诟叱曀亠w行器的非線性模型進(jìn)行數(shù)值仿真，結(jié)果表明所設(shè)計(jì)控制器具有良好的參考軌跡跟蹤控制性能，實(shí)現(xiàn)了期望的魯棒性。