杜三山

(蘭州交通大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，蘭州 730070)

機(jī)械、車輛工程等在實(shí)際應(yīng)用領(lǐng)域中經(jīng)常會(huì)受到各種不確定性因素的影響，如路面不平度對(duì)汽車平順性的影響，軌道不平順對(duì)列車的影響等.自20世紀(jì)80年代以來，確定性非光滑系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)，尤其是含間隙碰撞振動(dòng)系統(tǒng)特性得到了國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者的深入研究.文獻(xiàn)[1-8]從理論與數(shù)值仿真分析了系統(tǒng)穩(wěn)定性和各種不同分岔形式.文獻(xiàn)[9-10]研究了一類三自由度碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的周期運(yùn)動(dòng)和分岔.近年來，隨機(jī)非光滑系統(tǒng)得到了較深入的研究.文獻(xiàn)[11]研究了寬帶隨機(jī)激勵(lì)作用在強(qiáng)非線性振子的響應(yīng)與穩(wěn)定性.王亮等[12]研究了諧響和激勵(lì)與隨機(jī)噪聲共同作用下對(duì)擦邊分岔的影響.Feng等[13]通過最大李雅普諾夫指數(shù)分析了高斯白噪聲對(duì)非光滑碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的影響.文獻(xiàn)[14]基于確定性系統(tǒng)，考慮碰撞恢復(fù)系數(shù)受近似認(rèn)為服從[0,1]均勻分布的隨機(jī)擾動(dòng).Gu等[15]用隨機(jī)平均法研究了在高斯白噪聲激勵(lì)下的碰撞振動(dòng)系統(tǒng).

目前已有的文獻(xiàn)主要側(cè)重于隨機(jī)激勵(lì)求解方法的研究，而運(yùn)用Poincaré截面來分析隨機(jī)干擾對(duì)碰撞振動(dòng)系統(tǒng)影響的研究卻很少.本文建立了一類阻尼受隨機(jī)振動(dòng)干擾的三自由度單側(cè)剛性約束碰撞振動(dòng)系統(tǒng)，將阻尼系數(shù)受到的隨機(jī)擾動(dòng)近似為服從高斯白噪聲過程，通過Poincaré映射，分析了這種隨機(jī)干擾對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響.

1 碰-振系統(tǒng)的力學(xué)模型

圖1為三自由度碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型[9].線性彈簧的剛度為K1、K2和K3，線性阻尼器的阻尼系數(shù)為C1、C2和C3，其分別與質(zhì)量為M1、M2和M3的質(zhì)塊相連.簡(jiǎn)諧激振力Pisin(ΩT+τ)(i=1,2,3)分別作用在只做水平運(yùn)動(dòng)的質(zhì)塊上.當(dāng)質(zhì)塊M1的位移X1等于間隙B時(shí)，質(zhì)塊M1將與剛性約束A碰撞，碰撞后改變速度方向，又以新的初值運(yùn)動(dòng)，如此往復(fù).假設(shè)模型中的阻尼是Rayleigh型比例阻尼，碰撞過程由碰撞恢復(fù)系數(shù)R確定.

設(shè)M1≠0,K1≠0無量綱量為：

則系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程的無量綱形式為

(1)

(2)

X′=f(v,X).

(3)

2 系統(tǒng)周期運(yùn)動(dòng)的分岔及混沌的演化過程

2.1 經(jīng)倍化、鎖相通向混沌的Neimark-sacker分岔

選取系統(tǒng)參數(shù)1)：f10=1，f20=f30=0，k2=k3=4，γ=0.01，m2=m3=1.5，b=0.37，r=0.7；取激振頻率ω作為分岔參數(shù)，系統(tǒng)的全局分岔圖如圖2所示.Poincaré截面圖如圖3所示.

在數(shù)值計(jì)算中，當(dāng)參數(shù)ω遞減穿越ωc=2.181 2時(shí)，周期2-2運(yùn)動(dòng)失穩(wěn)發(fā)生Neimark-sacker分岔，在投影Poincaré截面上形成兩吸引不變?nèi)?見圖3(a))；隨著參數(shù)ω減小，兩吸引不變?nèi)Πl(fā)生環(huán)面倍化(見圖3(b))；參數(shù)ω減小，發(fā)生鎖相(見圖3(c))；參數(shù)ω進(jìn)一步減小，再次發(fā)生環(huán)面倍化(見圖3(d))進(jìn)入混沌(見圖3(e)).

2.2 經(jīng)鎖相通向混沌的Neimark-sacker分岔

選取系統(tǒng)參數(shù) 2)：f10=1，f20=f30=0，k2=2，k3=4，γ=0.03，m2=2，m3=4，b=0.01，r=0.7；取激振頻率ω作為分岔參數(shù)， Poincaré截面圖如圖4所示.

在數(shù)值計(jì)算中，當(dāng)參數(shù)ω遞增穿越ωc=1.924 6時(shí)，系統(tǒng)周期1-1運(yùn)動(dòng)失穩(wěn)發(fā)生Neimark-sacker分岔，在Poincaré截面上形成一吸引不變?nèi)?見圖4(a))；隨著參數(shù)ω增大，吸引不變?nèi)ν嘶l(fā)生環(huán)面分裂，形成多不變?nèi)?見圖4(b))；參數(shù)ω進(jìn)一步增大，多不變?nèi)Ψ至殉杀恫蛔內(nèi)?(見圖4(c)) ；隨著參數(shù)ω繼續(xù)增大，倍不變?nèi)Πl(fā)生分離(見圖4(d))，逐漸發(fā)生環(huán)面振蕩(見圖4(e))；參數(shù)ω再增大，經(jīng)環(huán)面振蕩的不變?nèi)ζ屏寻l(fā)生鎖相(見圖4(f))最終進(jìn)入混沌(見圖4(g)～4(j)).

3 隨機(jī)干擾對(duì)運(yùn)動(dòng)特性的影響分析

為了更加清楚的反映受隨機(jī)干擾的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)特性的變化狀況，并且與原確定性系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)作對(duì)比，仍取σ為Poincaré截面，分別取兩種不同隨機(jī)干擾強(qiáng)度δ，其他系統(tǒng)參數(shù)不變.圖5～8分別給出了系統(tǒng)在不同強(qiáng)度的隨機(jī)干擾下所產(chǎn)生的Poincaré截面圖.

3.1 相對(duì)較弱隨機(jī)強(qiáng)度對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的影響

3.1.1 經(jīng)倍化、鎖相通向混沌的Neimark-sacker分岔

受隨機(jī)干擾系統(tǒng)參數(shù)仍與確定性系統(tǒng)參數(shù)1)保持一致.取隨機(jī)干擾強(qiáng)度為0.001，利用數(shù)值仿真方法，分析隨機(jī)干擾對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的影響.取圖5與圖3進(jìn)行對(duì)比，從Poincaré截面圖中可得出，在較弱的隨機(jī)強(qiáng)度下，當(dāng)參數(shù)ω=2.17時(shí)，由兩吸引不變?nèi)U(kuò)散形成帶狀環(huán)面(見圖5(a))；隨著參數(shù)ω的減小，隨機(jī)干擾已使得倍化不變?nèi)κピ械倪\(yùn)動(dòng)行為，從不變?nèi)ψ兂蓭瞽h(huán)面(見圖5(b))；當(dāng)參數(shù)ω減小到2.155時(shí)，在隨機(jī)干擾下鎖相完全消失，進(jìn)化成不規(guī)則的環(huán)面 (見圖5(c))；隨著參數(shù)ω進(jìn)一步減小到2.152時(shí)，原本分離的兩不變環(huán)面在隨機(jī)干擾下發(fā)生碰撞成為一體(見圖5(d))；進(jìn)入混沌(見圖5(e)).從圖5可得出，倍化的不變?nèi)σ约版i相抵抗隨機(jī)干擾的能力更差，在較弱的隨機(jī)干擾強(qiáng)度下已完全改變了系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特性.隨機(jī)干擾的作用使得系統(tǒng)通向混沌的道路發(fā)生了改變，不再經(jīng)環(huán)面倍化、鎖相等道路通向混沌.

3.1.2 經(jīng)鎖相通向混沌的Neimark-sacker分岔

受隨機(jī)干擾系統(tǒng)參數(shù)仍與確定性系統(tǒng)參數(shù)2)保持一致.取隨機(jī)干擾強(qiáng)度為0.001，利用數(shù)值仿真方法，分析隨機(jī)干擾對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的影響.取圖4與圖6進(jìn)行對(duì)比，從Poincaré截面圖中可得出，在較弱的隨機(jī)強(qiáng)度下，當(dāng)參數(shù)ω=1.94時(shí)，由一吸引不變?nèi)U(kuò)散形成微弱的帶狀不變?nèi)?，并沒有使運(yùn)動(dòng)性質(zhì)發(fā)生改變(見圖6(a))；當(dāng)參數(shù)ω增大到1.945時(shí)，這種較弱的隨機(jī)干擾使得系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)行為發(fā)生了徹底的改變，多不變?nèi)ψ兂刹灰?guī)則環(huán)面(見圖6(b))；參數(shù)ω的繼續(xù)增大，倍化的不規(guī)則不變?nèi)ψ兂蓴U(kuò)散的環(huán)面(見圖6(c))；參數(shù)ω進(jìn)一步增大到ω=1.947時(shí)，分離的不變?nèi)?duì)隨機(jī)干擾有很強(qiáng)的抗性，只是運(yùn)動(dòng)軌線發(fā)生了微弱的分離，并沒有改變運(yùn)動(dòng)行為(見圖6(d))；參數(shù)ω的繼續(xù)增大，環(huán)面振蕩和鎖相消失(見圖6(e))變成混沌運(yùn)動(dòng)(見圖6(f)～6(h)).從上述Poincaré圖可得出，參數(shù)ω=1.94、ω=1.947對(duì)隨機(jī)干擾強(qiáng)度0.001有著很強(qiáng)的抗力，只是運(yùn)動(dòng)軌線發(fā)生了微弱的擾動(dòng)，并沒有使其運(yùn)動(dòng)行為本質(zhì)發(fā)生改變.然而，對(duì)于環(huán)面振蕩和鎖相卻有著明顯的低抗干擾能力，隨機(jī)干擾使得其運(yùn)動(dòng)軌線發(fā)生明顯改變，成為混沌吸引子.

3.2 相對(duì)較強(qiáng)隨機(jī)強(qiáng)度對(duì)系統(tǒng)行為的影響

3.2.1 經(jīng)倍化、鎖相通向混沌的Neimark-sacker分岔

相應(yīng)的系統(tǒng)參數(shù)1)仍不變，將隨機(jī)干擾強(qiáng)度δ增加到0.005，進(jìn)一步分析隨機(jī)干擾對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的影響.取圖7與圖5進(jìn)行對(duì)比，在參數(shù)ω=2.17時(shí)，由于隨機(jī)干擾強(qiáng)度增強(qiáng)，帶狀環(huán)面不僅發(fā)生了嚴(yán)重?cái)U(kuò)散，而且完全失去了原來的運(yùn)動(dòng)本征結(jié)構(gòu)，并且兩擴(kuò)散環(huán)面有逐漸靠近的趨勢(shì)(見圖7(a))；隨著參數(shù)ω減小到2.16，兩環(huán)面發(fā)生碰撞(見圖7(b))，取圖7(b)與圖5(d)相比，可以得出，隨機(jī)干擾強(qiáng)度的增強(qiáng)會(huì)使得Neimark-sacker分岔中的擴(kuò)散環(huán)面提前發(fā)生，對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性造成了很大的影響；隨著參數(shù)ω的減小，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不再呈現(xiàn)出原確定性系統(tǒng)特有的運(yùn)動(dòng)特征，徹底改變了系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為，直接通向混沌(見圖7(c)～7(e)).在較強(qiáng)隨機(jī)干擾下，使得經(jīng)倍化通向混沌的Neimark-sacker分岔提前進(jìn)入混沌狀態(tài).

3.2.2 經(jīng)鎖相通向混沌的Neimark-sacker分岔

相應(yīng)的系統(tǒng)參數(shù)2)仍不變，將隨機(jī)干擾強(qiáng)度δ增加到0.005，進(jìn)一步分析隨機(jī)干擾對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的影響.取圖6與圖8進(jìn)行對(duì)比，在參數(shù)ω=1.94時(shí)，由于隨機(jī)強(qiáng)度的增強(qiáng)，帶狀環(huán)面在弱干擾強(qiáng)度的基礎(chǔ)上進(jìn)一步發(fā)生了擴(kuò)散(見圖8(a))，但其運(yùn)動(dòng)行為維持原有的運(yùn)動(dòng)特征沒有本質(zhì)的改變；隨著參數(shù)ω的繼續(xù)增大，在較強(qiáng)的隨機(jī)干擾下多不變?nèi)Φ倪\(yùn)動(dòng)行為變成近似于圖4(c)(見圖8(b))運(yùn)動(dòng)行為，分岔參數(shù)在比較接近的情形下，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)軌線受隨機(jī)擾動(dòng)容易躍遷；當(dāng)參數(shù)ω增大到1.946時(shí)，隨機(jī)擾動(dòng)使得倍不變?nèi)ψ兊母訌?fù)雜，沒有規(guī)律(見圖8(c))；參數(shù)ω進(jìn)一步增大到1.947時(shí)，仍然還保持著原有的運(yùn)動(dòng)結(jié)構(gòu)，只是在擾動(dòng)下進(jìn)一步發(fā)生了擴(kuò)散(見圖8(d))；隨著參數(shù)ω持續(xù)增大，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為環(huán)面振蕩、鎖相等特有的運(yùn)動(dòng)行為完全消失，運(yùn)動(dòng)狀態(tài)差異變性非常小，系統(tǒng)通向混沌的道路變的模糊，不再有清晰的分界(見圖8(e)～8(h)).從圖8可得出，在Neimark-sacker全局分岔過程中，如ω=1.94、ω=1.947對(duì)隨機(jī)干擾具有很好的抗性，對(duì)確保系統(tǒng)具有穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)有很大作用.

4 結(jié)論

本文建立了一類含單側(cè)剛性約束的三自由度碰撞振動(dòng)系統(tǒng)，考慮阻尼系數(shù)受隨機(jī)干擾，并且將這種隨機(jī)干擾看作近似服從高斯白噪聲過程.從數(shù)值仿真角度，借助Poincaré截面圖研究了隨機(jī)干擾在不同強(qiáng)度下對(duì)三自由度碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性的影響.數(shù)值結(jié)果表明：

1) 從文中出現(xiàn)的分岔形式得出，Neimark-sacker分岔在某些特定的參數(shù)下具有更加穩(wěn)定的抗隨機(jī)干擾性，如ω=1.94、ω=1.947；

2) 在較弱的隨機(jī)干擾下，阻尼系數(shù)受隨機(jī)干擾不僅使系統(tǒng)的作用區(qū)域變得擴(kuò)散，而且也使得系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特征消失如環(huán)面振動(dòng)、鎖相、環(huán)面倍化分岔等，展示了碰撞振動(dòng)系統(tǒng)在隨機(jī)干擾下存在復(fù)雜而有趣的動(dòng)力學(xué)特性；

3) 在較強(qiáng)的隨機(jī)干擾下，使得Neimark-sacker分岔的動(dòng)力學(xué)行為發(fā)生了躍遷，概周期運(yùn)動(dòng)提前進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng).