考慮線性傭金率和保留價(jià)的拍賣模型

●楊衛(wèi)星

經(jīng)典的拍賣理論研究中，保留價(jià)受到了足夠的重視①②③。代表性的結(jié)論如下：Samulson①給出了一級(jí)價(jià)格密封拍賣中賣者的最優(yōu)保留價(jià)滿足的必要條件。McAfee②用更簡便的方法得到了與Samulson①相同的結(jié)論，而且給出了最優(yōu)保留價(jià)應(yīng)該滿足的充分條件。

相比保留價(jià)的研究，拍賣傭金的研究成果并不多。與文章密切相關(guān)的文獻(xiàn)評(píng)述如下：王彥④把傭金率引入傳統(tǒng)的一級(jí)和二級(jí)密封式拍賣中，研究了傭金率對(duì)拍賣結(jié)果的影響,但他們只考慮了常數(shù)傭金率的情況。Wang⑤引進(jìn)了線性傭金率，并與文獻(xiàn)④中傭金率為固定比例的情況做了對(duì)比。美中不足的是，文獻(xiàn)⑤中只對(duì)均勻分布的特殊情形做了證明。楊衛(wèi)星等⑥在文獻(xiàn)⑤的基礎(chǔ)上繼續(xù)研究帶有線性傭金率的拍賣模型，給出并證明了一般分布下的一級(jí)和二級(jí)密封式拍賣的投標(biāo)策略，彌補(bǔ)了文獻(xiàn)⑤的不足。

以上的文獻(xiàn)④⑤⑥雖然充分重視了傭金的作用，但是又忽略了保留價(jià)的影響。劉樹林等⑦進(jìn)一步將傭金率內(nèi)生化，研究了一類同時(shí)帶有保留價(jià)和傭金率的密封式拍賣模型，首次考慮了拍賣行的最優(yōu)傭金率問題，并且給出了最優(yōu)傭金率滿足的必要條件和充分條件。冉茂盛等⑧建立了帶有傭金率以及保留價(jià)的一口價(jià)拍賣模型，研究了賣者的最優(yōu)一口價(jià)和最優(yōu)保留價(jià)，并且討論了拍賣行的最優(yōu)傭金率問題。

通過以上的文獻(xiàn)綜述發(fā)現(xiàn)，一個(gè)好的拍賣模型應(yīng)該同時(shí)考慮傭金率和保留價(jià)這兩個(gè)因素，才能更加貼合實(shí)際。文章在前人的研究基礎(chǔ)上，假設(shè)收取的傭金與成交價(jià)成線性關(guān)系，研究同時(shí)帶有線性傭金率和保留價(jià)的密封拍賣模型。在估值服從一般分布時(shí)，得到了投標(biāo)人的均衡投標(biāo)策略，并求出投標(biāo)人、賣者以及拍賣行的預(yù)期收益。進(jìn)一步分析線性傭金率的兩個(gè)系數(shù)對(duì)拍賣參與各方的影響。

一、模型及假設(shè)

假設(shè)投標(biāo)者i 對(duì)賣品的估價(jià)為νi，νi獨(dú)立同分布，分布函數(shù)為F（ν）,ν∈[ν,]。

本模型中，拍賣行設(shè)定線性傭金率k=k0- k1b，其中k1＞0，b≥0，b 為報(bào)價(jià)，0≤k≤k0，k0表示法規(guī)允許的最大傭金率。賣方設(shè)定保留價(jià)r,保留價(jià)的設(shè)定使得拍品的成交價(jià)不低于r，因此，對(duì)于參與和不參與拍賣無差別的最低估價(jià)v·滿足π（ν*，b（ν*））=0（其中π（ν，b） 表示受益函數(shù)），即：ν*- b（ν*）（1+k0- k1b（ν*））=0，可以得到ν*=r（1+k0- k1r）。

二、投標(biāo)人的投標(biāo)策略

（一）一級(jí)價(jià)格密閉式拍賣

定理1：在同時(shí)帶有線性傭金率k=k0- k1b 和保留價(jià)r 的拍賣模型中(以下簡稱本模型),若采用一級(jí)價(jià)格密封式拍賣的方式,均衡報(bào)價(jià)策略為：

證明：假設(shè)投標(biāo)人有遞增的均衡投標(biāo)函數(shù)b1（ν），當(dāng)某投標(biāo)人的私人估價(jià)為ν 而報(bào)價(jià)為A 時(shí)，他的預(yù)期收益是：

在貝葉斯- 納什均衡中，當(dāng)A=b1（ν）時(shí)投標(biāo)者獲得最大的預(yù)期收益，因此有由包絡(luò)定理可以得到：

把微分方程(3)兩邊同時(shí)求積分得：

又因?yàn)棣校é?，，b1（ν，））=0，以及

令B=（ν）=（1+k0-k1b1（ν））b1（ν），由上面兩式(4)和(5)可解出：

其中B（ν）和Samulson[1]的結(jié)論一致，即和只考慮保留價(jià)，不考慮傭金時(shí)的投標(biāo)策略一致。進(jìn)而有（1+k0）b1（ν）-k1b12（ν）=B以及

當(dāng)△=（1+k0）2-4k1B（ν）≥0 時(shí)，即（1+k0）2≥4k1B（ν）時(shí)，方程（7）的解為

得到下面的推論1 。

推論1：在本模型中，截距項(xiàng)k0越小，投標(biāo)人報(bào)價(jià)越高；斜率項(xiàng)k1越小，投標(biāo)人報(bào)價(jià)越低；保留價(jià)r 與報(bào)價(jià)呈正相關(guān)關(guān)系。

（二）二級(jí)價(jià)格密閉式拍賣

定理2：在本模型中，若采用二級(jí)價(jià)格密封式拍賣，均衡報(bào)價(jià)策略為：

證明：類似王彥等人④的證明。

三、收益比較

（一）賣方的收益比較

定理3：收益等價(jià)定理在本模型中不成立，如果投標(biāo)人數(shù)比較多，應(yīng)該選擇第二價(jià)格拍賣。

證明：賣者在一價(jià)拍賣中的預(yù)期收益為：

其中ν[1，n]表示ν1，ν2，……νn中的最高次序統(tǒng)計(jì)量，f1,n（ν）為ν[1，n]的密度函數(shù)。

賣者在二價(jià)拍賣中的預(yù)期收益為：

其中ν[2,n]為ν1,ν2,…νn中的次高次序統(tǒng)計(jì)量，f2，n（ν）為ν[2,n]的密度函數(shù)。

下面做比較靜態(tài)分析，前面的討論已經(jīng)得出：得到下面的推論2。

推論2：在一價(jià)和二價(jià)拍賣模型中，賣方的預(yù)期收益和保留價(jià)r 正相關(guān)，和k0負(fù)相關(guān)，但和k1正相關(guān)。

（二）拍賣行的收益比較

定理4：本模型與不考慮傭金時(shí)的情形相比較，賣方的預(yù)期收益減少，減少的部分是拍賣行的預(yù)期收益。

證明：在一價(jià)拍賣中，拍賣行的預(yù)期收益為：

同理，在二級(jí)價(jià)格密封式拍賣中，拍賣行的預(yù)期收益為：

下面做比較靜態(tài)分析，同樣因?yàn)?/p>

得到下面的推論3。

推論3：在一級(jí)和二級(jí)價(jià)格密封式拍賣中，拍賣行的預(yù)期收益和k0正相關(guān)，但和k1負(fù)相關(guān)。

（三）投標(biāo)人的收益比較

定理5：在本模型中，就一級(jí)和二級(jí)密封式拍賣兩種方式相比較，投標(biāo)人在一級(jí)拍賣中獲得更多的預(yù)期收益；二者均和k0成反比，和k1成正比，和r 也成反比。

證明：可以求出，在一級(jí)價(jià)格拍賣中，投標(biāo)人的預(yù)期收益是：

（21）從（20）式得到，π1與ν*成反比，所以，π1和r 成反比，和k0成反比，和k1成正比。

四、結(jié)論

文章考慮了一類帶有線性傭金率k=k0-k1b 和保留價(jià)r 的拍賣模型。主要結(jié)論如下：

（1）收益等價(jià)定理在本模型中不成立，如果投標(biāo)人數(shù)比較多，應(yīng)該選擇第二價(jià)格拍賣。賣者的預(yù)期收益和傭金系數(shù)k0負(fù)相關(guān)，但和k1正相關(guān)，和保留價(jià)r 也正相關(guān)。

（2）本模型與不考慮傭金時(shí)的情形相比較，賣者的預(yù)期收益變少了，而且,減少的部分是拍賣行的預(yù)期收益。拍賣行的預(yù)期收益和k0正相關(guān)，但和k1負(fù)相關(guān)。

（3）在本模型中，投標(biāo)人在一級(jí)價(jià)格拍賣中獲得更多的預(yù)期收益；二者均和k0成反比，和k1成正比，和r 成反比。

注釋：

①Riley J G, Samuelson W F. Optimal auctions[J].American Economic Review, 1981, (3): 381- 392

②McAfee R P, McMillan J. Auctions and bidding [J]. Journal of Economic Literature, 1987, (2): 699- 738

③McAfee R P, McMillan J. Bidding rings [J]. American Economic Review, 1992, (3):579- 599

④王彥,畢志偉,李楚霖.傭金收取對(duì)拍賣結(jié)果的影響[J].管理科學(xué)學(xué)報(bào),2004,(4):44- 48

⑤Wang Y, Commission strategy of the auction house[J]. Wuhan University Journal of Natural Sciences, 2006,(11):507- 510

⑥楊衛(wèi)星，劉樹林.帶有線性傭金率的密閉式拍賣模型研究[J].統(tǒng)計(jì)與決策，2011(13):35- 38

⑦劉樹林，楊衛(wèi)星.第一價(jià)格密封拍賣中的最優(yōu)保留價(jià)和最優(yōu)傭金率研究[J].經(jīng)濟(jì)研究，2011,(11):145- 156

⑧冉茂盛，黃俊，李文洲.考慮傭金率的一口價(jià)拍賣模型[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐，2016,(9):2276- 2283