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      一類完全非代數(shù)連接紐結(jié)與鏈環(huán)的構(gòu)造

      2020-03-23 05:14:42王樹新王鶴潼李思宇王冬雪
      關(guān)鍵詞:投影圖鏈環(huán)多面體

      王樹新, 王鶴潼, 李思宇, 王冬雪

      (遼寧師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,遼寧 大連 116029)

      1970年,J.H.Conway[1]從鏈環(huán)可進(jìn)行纏繞分解的角度出發(fā),指出任何鏈環(huán)的投影圖都可以分解成代數(shù)纏繞的集合,并給出了代數(shù)鏈環(huán)的定義,同時(shí)介紹了鏈環(huán)投影圖與其基本多面體之間的關(guān)系;2005年,C.L.McCabe[2]結(jié)合樹圖的有關(guān)知識(shí),給出了將代數(shù)鏈環(huán)的代數(shù)投影圖轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式的代數(shù)投影圖的具體方法,并給出了MAP(最小代數(shù)表示)鏈環(huán)的棍棒指標(biāo)估計(jì),同時(shí)指出代數(shù)鏈環(huán)的非代數(shù)投影圖至少由6個(gè)代數(shù)纏繞構(gòu)成;2005年,E.Insko[3]給出了任意非代數(shù)紐結(jié)和鏈環(huán)與完全非代數(shù)連接基本多面體之間的關(guān)系,同時(shí)給出了非代數(shù)紐結(jié)和鏈環(huán)新的棍棒指標(biāo)估計(jì). 本文從上述角度出發(fā),構(gòu)造性地證明了對(duì)于任意的自然數(shù)n(n≥6,n≠7)均存在完全非代數(shù)連接基本多面體,進(jìn)而證明了完全非代數(shù)連接紐結(jié)與鏈環(huán)的廣泛存在性.

      1 預(yù)備知識(shí)

      定義1.1[4]設(shè)(B,t1∪t2)是一偶對(duì),其中,B是一個(gè)三維實(shí)心球體,t1,t2是B中的2條互不相交的弧段,若ti∩?B=?ti(i=1,2),則稱偶對(duì)(B,t1∪t2)是一個(gè)2-纏繞.

      注1.1本文所指的纏繞均為2-纏繞.

      定義1.2從0-纏繞出發(fā),做n次正(負(fù))水平扭轉(zhuǎn)形成的纏繞稱為水平整數(shù)纏繞,記為水平+n(-n)-纏繞;從∞-纏繞出發(fā),做n次正(負(fù))豎直扭轉(zhuǎn)形成的纏繞稱為豎直整數(shù)纏繞,記為豎直+n(-n)-纏繞;水平整數(shù)纏繞和豎直整數(shù)纏繞統(tǒng)稱為整數(shù)纏繞.

      定義1.3設(shè)T1,T2是兩個(gè)纏繞,若纏繞T1,T2間至少通過2段弧相連,則稱纏繞T1和T2以代數(shù)方式連接.

      定義1.4設(shè)T是一個(gè)由n個(gè)整數(shù)纏繞Ti(1≤i≤n,n∈+)彼此連接構(gòu)成的纏繞,若任意2個(gè)纏繞Ti,Tj間均通過代數(shù)方式連接,其中,i≠j且1≤i,j≤n,則稱纏繞T為一個(gè)代數(shù)纏繞.

      定義1.5設(shè)L是一鏈環(huán),DL是L的任意投影圖,將DL中的每個(gè)整數(shù)纏繞Ti用1個(gè)頂點(diǎn)vi(i≥1,i∈+)來代替,此時(shí)DL對(duì)應(yīng)得到1個(gè)平面四岔圖,記為GDL.若GDL中至少存在2頂點(diǎn)間由2段弧相連,則可對(duì)GDL進(jìn)行如圖1所示的局部變形,將vi,vj2個(gè)頂點(diǎn)縮成1個(gè)頂點(diǎn)vi,j(i,j≥1,i,j∈+),對(duì)GDL中所有滿足上述條件的局部進(jìn)行收縮變形,直到對(duì)應(yīng)的平面四岔圖不能再進(jìn)行如圖1所示的收縮變形為止,記得到的平面四岔圖為BGDL,則稱BGDL為DL對(duì)應(yīng)的基本多面體. 若BGDL中的任意頂點(diǎn)均與其他4個(gè)不同的頂點(diǎn)相連,則稱BGDL中的點(diǎn)以完全非代數(shù)方式連接,此時(shí)稱BGDL為完全非代數(shù)連接基本多面體,進(jìn)一步地稱鏈環(huán)L為完全非代數(shù)連接鏈環(huán).

      圖1 平面四岔圖GDL的局部收縮變形Fig.1 Local shrinkage deformation of 4-valent planar graph GDL

      命題1.1設(shè)L是一鏈環(huán),DL是L的任意投影圖,BGDL為DL對(duì)應(yīng)的基本多面體且BGDL具有7個(gè)頂點(diǎn),則BGDL一定不是完全非代數(shù)連接基本多面體.

      注1.2命題1.1通過組合構(gòu)造的方法即可證明.

      本文中未給出的概念和術(shù)語(yǔ)都是標(biāo)準(zhǔn)的,參見文獻(xiàn)[5-8].

      2 主要結(jié)果

      定理2.1對(duì)?n≥6(n≠7,n∈+),一定存在一個(gè)具有n個(gè)頂點(diǎn)的完全非代數(shù)連接平面四岔圖.

      證設(shè)v1,v2,…,vn(n∈+)是n個(gè)互不相同的頂點(diǎn),下面分情況討論n的取值.

      (1)n為合數(shù).

      由n是合數(shù)可知n可表示為j×i(i,j∈+),易知i≥2,j≥2,且i,j不同時(shí)為2. 下面給出具有n個(gè)頂點(diǎn)的完全非代數(shù)連接平面四岔圖的構(gòu)造方法,具體操作如下:

      首先,選取一個(gè)由j個(gè)頂點(diǎn)(j≥3)構(gòu)成的j邊形為中心圖形,在j邊形的各邊外分別增加1個(gè)頂點(diǎn),如圖2(1)所示,并將新增加的頂點(diǎn)與原頂點(diǎn)按如圖2(2)所示的方式連接,此時(shí)可得到一個(gè)具有2j個(gè)頂點(diǎn)的圖形,記為P2j,由完全非代數(shù)連接的定義,可知P2j是一個(gè)完全非代數(shù)連接平面四岔圖.

      圖2 具有2j個(gè)頂點(diǎn)的完全非代數(shù)連接平面四岔圖P2j的表示Fig.2 The representation of completely non-algebraic connected 4-valent planar graph P2j which has 2j vertices

      接下來在P2j最外面的j段弧上分別增加頂點(diǎn)v2j+1,v2j+2,…,v3j,并將每個(gè)新增加的頂點(diǎn)分別同與它相鄰的新增加的2個(gè)頂點(diǎn)相連,此時(shí)得到一個(gè)具有3j個(gè)頂點(diǎn)的圖形,記為P3j,如圖3所示,由完全非代數(shù)連接的定義可知P3j是一個(gè)完全非代數(shù)連接平面四岔圖,繼續(xù)進(jìn)行從P2j到P3j相同的構(gòu)造過程,每次增加j個(gè)頂點(diǎn),增加i-2次,即可得到由n個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的完全非代數(shù)連接平面四岔圖Pn.

      圖3 具有3j個(gè)頂點(diǎn)的完全非代數(shù)連接平面四岔圖P3j的表示Fig.3 The representation of completely non-algebraic connected 4-valent planar P3j which has 3j vertices

      綜上所述,對(duì)任意的n≥6且n為合數(shù)時(shí),定理均成立.

      (2)n為質(zhì)數(shù).

      由命題1.1可知n≠7,顯然此時(shí)n可由11+4i或13+4i(i≥0,i∈+)表示.下面分情況說明.

      ①n=11+4i

      首先,考慮i=0,即n=11. 此時(shí)任取11個(gè)頂點(diǎn)v1,v2,…,v11. 不失一般性,不妨設(shè)從v1出發(fā)的4段弧分別與v2,v4,v5,v7相連,從v13出發(fā)的4段弧分別與v8,v10,v5,v7相連,對(duì)于未完成連接的頂點(diǎn)vj(2≤j≤10)進(jìn)行如圖4所示的連接,記得到的圖形為P11,由完全非代數(shù)連接的定義,可知P11是一個(gè)完全非代數(shù)連接平面四岔圖.

      圖4 具有11個(gè)頂點(diǎn)的完全非代數(shù)連接平面四岔圖P11的表示Fig.4 The representation of completely non-algebraic connected 4-valent planar graph P11 which has eleven vertices

      接下來考慮n=11+4i(i≥1)的情形. 此時(shí),從P11出發(fā),在P11最外側(cè)的4段弧上分別增加一個(gè)頂點(diǎn)v12,v13,v14,v15,并將新增加的頂點(diǎn)以如圖5所示的方式連接,記得到的圖形為P15.

      圖5 具有15個(gè)頂點(diǎn)的完全非代數(shù)連接平面四岔圖P15的表示Fig.5 The representation of completely non-algebraic connected 4-valent planar graph P15 which has fifteen vertices

      重復(fù)上述操作,每次均在P11+4k(1≤k≤i-1)最外側(cè)的4段弧上分別增加一個(gè)頂點(diǎn),最終可得到由11+4i個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的完全非代數(shù)連接平面四岔圖Pn.

      ②n=13+4i

      首先,考慮i=0,即n=13. 此時(shí)任取13個(gè)頂點(diǎn)v1,v2,…,v13. 不失一般性,不妨設(shè)從v1出發(fā)的4段弧分別與v2,v4,v5,v9相連,從v13出發(fā)的4段弧分別與v10,v12,v5,v9相連,對(duì)于未完成連接的頂點(diǎn)vj(2≤j≤12)進(jìn)行如圖6所示的連接,記得到的圖形為P13,由完全非代數(shù)連接的定義,可知P13是一個(gè)完全非代數(shù)連接平面四岔圖.

      圖6 具有13個(gè)頂點(diǎn)的完全非代數(shù)連接平面四岔圖P13的表示Fig.6 The representation of completely non-algebraic connected 4-valent planar graph P13 which has thirteen vertices

      接下來考慮n=13+4i(i≥1)的情形. 此時(shí),從P13出發(fā),在P13最外側(cè)的4段弧上分別增加一個(gè)頂點(diǎn)v14,v15,v16,v17,并將新增加的頂點(diǎn)以如圖7所示的方式連接,記得到的圖形為P17.

      圖7 具有17個(gè)頂點(diǎn)的完全非代數(shù)連接平面四岔圖P17的表示Fig.7 The representation of completely non-algebraic connected 4-valent planar graph P17 which has seventeen vertices

      重復(fù)上述操作,每次均在P13+4k(1≤k≤i-1)最外側(cè)的4段弧上分別增加一個(gè)頂點(diǎn),最終可得到由13+4i個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的完全非代數(shù)連接平面四岔圖Pn.

      綜上,定理得證.

      推論2.1?n≥6(n≠7,n∈+)均存在任意多個(gè)完全非代數(shù)連接紐結(jié)與鏈環(huán).

      證由定理2.1可知,對(duì)于?n≥6(n≠7,n∈+)均存在由n個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的完全非代數(shù)連接基本多面體BGDL,將BGDL中的每一個(gè)頂點(diǎn)用任意纏繞代替,即可得到一個(gè)完全非代數(shù)連接紐結(jié)與鏈環(huán),由纏繞的任意性可知,?n≥6,n≠7,均存在任意多個(gè)完全非代數(shù)連接紐結(jié)與鏈環(huán).

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