Wendt操作對紐結和鏈環(huán)影響的若干規(guī)律

譚秋月，孫平安，林姝妤

（1.武夷學院數(shù)學與計算機系，福建武夷山354300；2.廈門大學數(shù)學科學學院，福建廈門361000）

Wendt操作對紐結和鏈環(huán)影響的若干規(guī)律

譚秋月1，孫平安1，林姝妤2

（1.武夷學院數(shù)學與計算機系，福建武夷山354300；2.廈門大學數(shù)學科學學院，福建廈門361000）

主要研究在紐結和鏈環(huán)投影圖上做一次Wendt操作對紐結和鏈環(huán)的影響，以及其與解結數(shù)和交叉指標的關系.定義了與紐結解結數(shù)密切相關的一個概念—紐結投影圖的擬解結數(shù)和2分支鏈環(huán)投影圖的擬分拆數(shù)，分別計算了紐結表中交叉指標不超過9的紐結和交叉指標不超過8的2分支鏈環(huán)的擬解結數(shù)和擬分拆數(shù)，并總結了若干經(jīng)驗規(guī)律.

紐結；鏈環(huán)；Wendt操作；結數(shù)；交叉指標

1 Wendt操作說明

借助于計算機，有人已經(jīng)對不超過16個交叉點的素紐結的投影圖做了完整的同痕分類，對于紐結不計走向與鏡像的差別，有下面的表1：

表1 素紐結交叉指標與個數(shù)關系

對于兩個分支鏈環(huán)，有下面的表2：

表2 兩個分支鏈環(huán)交叉指標與個數(shù)關系

筆者使用的紐結表和鏈環(huán)表出自Colin C.Adams主編的《The Knot Book》附錄中的表.對素紐結表中的投影圖做Wendt操作，首先在給定的紐結投影圖K（c（K）=n）的交叉點標號，按交叉點個數(shù)標上1，2，…，n，然后依照標號依次做Wendt操作.如圖1，我們給紐結表中紐結62投影圖標上1，2，…，6，我們發(fā)現(xiàn)在標號1做Wendt操作，再經(jīng)過一系列Reidemeister變化，紐結62將轉變成31，同理，在標號2做Wendt操作和一系列Reidemeister變化，紐結62也將轉變成31，而在標號3做Wendt操作和一系列Reidemeister變化，紐結62將轉變成平凡紐結，在標號4，5，6做Wendt操作和一系列Reidemeister變化，紐結62將轉變成41.

同樣的，對兩個分支鏈環(huán)投影圖表中的投影圖做Wendt操作，首先在給定的鏈環(huán)投影圖=的交叉點標號，按交叉點個數(shù)標上1，2，…，然后依照標號依次做Wendt操作.如圖2，我們給鏈環(huán)投影圖的交叉點標上1，2，…，8，我們發(fā)現(xiàn)在標號1，2，4，5，6做Wendt操作，再經(jīng)過一系列Reidemeister變化，鏈環(huán)將轉變成，同理，在標號3，7做交叉點做Wendt操作和一系列Reidemeister變化，鏈環(huán)也將轉變成，而在標號8做Wendt操作和一系列Reidemeister變化，鏈環(huán)將轉變成

2 擬解結數(shù)和擬分拆數(shù)

定義1對紐結表中的投影圖K，先選定其中一個交叉點做Wendt操作，接著做一系列初等變換得到紐結表中的一個新投影圖K1，重復以上操作，直到得到平凡紐結投影圖.將上述過程所需要的Wendt操作的個數(shù)的最小值稱為的擬解結數(shù)，記為Qu（K）[1].

顯然u（K）≤Qu（K）.

例如：紐結62的擬解結數(shù)為1，因為只需要做一次Wendt操作就可以使紐結62轉變成平凡紐結.

在表3，列出了交叉點數(shù)少于10的素紐結的解結數(shù)及擬解結數(shù).發(fā)現(xiàn)交叉點數(shù)少于10的素紐結的解結數(shù)和擬解結數(shù)都相等[2].

一個紐結的解結數(shù)也不一定會在它的最少交叉點投影圖上找到，下面是同一個紐結108的（圖3）兩個投影圖，一個為最小投影圖，另一個則不是，但是左圖解結數(shù)為3，右圖解結數(shù)為2.

定義2對2個分支的鏈環(huán)L，給定它的一個投影圖，在其部分交叉點上做Wendt操作，總能使得到的新投影圖成為L1（可能需要初等變換）分離的[3].考慮L的所有投影圖，能實現(xiàn)上述目的的最少交叉點數(shù)稱為L的分拆數(shù)，記為v（L）.

類似紐結的擬解結數(shù)，對2分支鏈環(huán)定義擬分拆數(shù).

定義3對鏈環(huán)表中有2個分支的投影圖L，我們先選定其中一個交叉點做Wendt操作，接著做一系列初等變換得到鏈環(huán)表中的一個新投影圖L1，重復以上操作，直到得到可分離的鏈環(huán).將上述過程所需要的Wendt操作的個數(shù)的最小值稱為L的擬分拆數(shù)，記為Qv（L）[4].

表4中列出了交叉點數(shù)少于9的兩個分支鏈環(huán)的擬分拆數(shù).

圖1 紐結62每個交叉點經(jīng)過一次Wendt操作的結果

圖2 鏈環(huán)每個交叉點經(jīng)過一次Wendt操作的結果

表3 紐結、紐結解結數(shù)及擬解結數(shù)

表4 鏈環(huán)和鏈環(huán)擬分拆數(shù)

以下是與擬分拆數(shù)有關的公開問題：

一個交錯鏈環(huán)投影圖，做一次Wendt操作，在什么條件下得到的投影圖將是可分離的，見文獻[5].

3 經(jīng)驗規(guī)律

規(guī)律1在交叉點數(shù)少于10的紐結中，我們發(fā)現(xiàn)：非交錯紐結K的兩個交叉點數(shù)相同的投影圖的每個交叉點上做一次Wendt操作得到的紐結集合不見得會相同，但交錯紐結的兩個叉點數(shù)相同的投影圖的每個交叉點上做一次Wendt操作得到的紐結集合則相同[6].

第一行表格與第二行表格分別是紐結943的兩個不同投影圖，只需做一次R3變化，其交叉點均為9，在9個交叉點上分別做一次Wendt操作，再經(jīng)過一系列Reidemeister變化，得到的9個紐結是不同的.例如圖4.

下面來說明下這兩個紐結投影圖（圖6）是同痕的，注意到紅色橢圓區(qū)域內tangle是一模一樣的的，我們只需說明兩個紐結投影圖去掉紅色區(qū)域剩下的部分可以在4條端點固定情況下互相轉換即可[7].

把紅色部分去掉所得的圖7，將其形變?yōu)橄聢D8：易看出以上2個只要沿水平線擰360度即可互相得到.由此可以這樣說明因此兩個814投影圖是相同的紐結.

規(guī)律2在筆者采取的表中交叉點數(shù)少于10的交錯紐結投影中，發(fā)現(xiàn)對其一個交叉點做Wendt操作，若得到的紐結仍然為交錯紐結，則其交叉指標至少減少2.若不是，則不然.對交叉點數(shù)少于9的2個分支鏈環(huán)，此結論也成立.

若經(jīng)過Wendt操作得到的紐結為非交錯紐結，則存在減少1的情況.如圖9.

規(guī)律3若紐結對應的Conway符號為m，n，其中m，n必有一個為偶數(shù)，m若為偶數(shù)，則其對應的解結數(shù)若，n均為偶數(shù)，則其對應的解結數(shù)如表5.

同樣要證≤容易，但是要證明≥就比較難.

表5 Conway符號m，n與解結數(shù)之間關系

圖4 非交錯紐結943兩個不同投影圖每個交叉點經(jīng)過一次Wendt操作的結果

圖5 交錯紐結814兩個不同投影圖每個交叉點經(jīng)過一次Wendt操作轉變結果

圖6 紐結814的兩個投影圖

圖7 紐結814的兩個投影圖

圖8 紐結814的兩個投影圖

圖9 交錯紐結933每個交叉點經(jīng)過一次Wendt操作的結果

[1]BOLLOBASB.ModernGraphTheory[M].Berlin:Springer，1998.

[2]KAWAMURAT.TheUnknottingNumberof10139and10152are4[J].OsakaJ.Math.，1998，（35）：539-546.

[3]STOIMENOW A.Polynomial Values，the Linking form and Unknotting Numbers[J].Mathematical Research Letters，2004，32（4）：139-141.

[4]JungHoonLee.CriticalHeegaardSurfacesObtainedbyAmalgamation[J].TopologyanditsApplications，2013，160（1）：135-138.

[5]ADAMSCC.TheKnotBook[M].AmericanMathematicalSociety，2004：143.

[6]姜伯駒.繩圈的數(shù)學[M].長沙：湖南教育出版社，1991：5-24.

[7]REIDEMEISTERK.ElementareBegrundungderKnotentheorie[J].Abh.Math.Sem.Unic.Hamburg.，1926，（5）：24-32.

（責任編輯 李健飛）

Some Results of the Unknotting Number and Crossing Number Based on Wendt Operation

TAN Qiu-yue1，SUN Ping-an1，LIN Shu-yu2
（1.Department of Mathematics&Computer，Wuyi College，Wuyishan，F(xiàn)ujian 354300，China；2.School of Mathematical Sciences，Xiamen University，Xiamen，F(xiàn)ujian 361000，China）

This paper studies the effect of a single Wendt's operation on knot and link diagrams and its relation with the unknotting number and the crossing number.It introduces two notions for link diagrams，namely Quasi-unknotting number and Quasi-splitting number，calculates these two numbers for knots with crossing number no more than 9 and 2-comonent links with crossing number no more than 8，respectively，and finds some empirical regularities.

knot link；Wendt's operation；unknotting number；crossing number

O157.5

：A

：1673-1972（2015）06-0061-06

2015-07-13

福建省青年教師專項(JA1551)；福建省教育廳科技項目（JK2012056）；武夷學院青年教師專項(xq201110)

譚秋月（1980-），女，陜西楊凌人，講師，主要從事圖論、離散數(shù)學研究.