譚秋月,孫平安,林姝妤
(1.武夷學院數(shù)學與計算機系,福建武夷山354300;2.廈門大學數(shù)學科學學院,福建廈門361000)
Wendt操作對紐結和鏈環(huán)影響的若干規(guī)律
譚秋月1,孫平安1,林姝妤2
(1.武夷學院數(shù)學與計算機系,福建武夷山354300;2.廈門大學數(shù)學科學學院,福建廈門361000)
主要研究在紐結和鏈環(huán)投影圖上做一次Wendt操作對紐結和鏈環(huán)的影響,以及其與解結數(shù)和交叉指標的關系.定義了與紐結解結數(shù)密切相關的一個概念—紐結投影圖的擬解結數(shù)和2分支鏈環(huán)投影圖的擬分拆數(shù),分別計算了紐結表中交叉指標不超過9的紐結和交叉指標不超過8的2分支鏈環(huán)的擬解結數(shù)和擬分拆數(shù),并總結了若干經(jīng)驗規(guī)律.
紐結;鏈環(huán);Wendt操作;結數(shù);交叉指標
借助于計算機,有人已經(jīng)對不超過16個交叉點的素紐結的投影圖做了完整的同痕分類,對于紐結不計走向與鏡像的差別,有下面的表1:
表1 素紐結交叉指標與個數(shù)關系
對于兩個分支鏈環(huán),有下面的表2:
表2 兩個分支鏈環(huán)交叉指標與個數(shù)關系
筆者使用的紐結表和鏈環(huán)表出自Colin C.Adams主編的《The Knot Book》附錄中的表.對素紐結表中的投影圖做Wendt操作,首先在給定的紐結投影圖K(c(K)=n)的交叉點標號,按交叉點個數(shù)標上1,2,…,n,然后依照標號依次做Wendt操作.如圖1,我們給紐結表中紐結62投影圖標上1,2,…,6,我們發(fā)現(xiàn)在標號1做Wendt操作,再經(jīng)過一系列Reidemeister變化,紐結62將轉變成31,同理,在標號2做Wendt操作和一系列Reidemeister變化,紐結62也將轉變成31,而在標號3做Wendt操作和一系列Reidemeister變化,紐結62將轉變成平凡紐結,在標號4,5,6做Wendt操作和一系列Reidemeister變化,紐結62將轉變成41.
同樣的,對兩個分支鏈環(huán)投影圖表中的投影圖做Wendt操作,首先在給定的鏈環(huán)投影圖=的交叉點標號,按交叉點個數(shù)標上1,2,…,然后依照標號依次做Wendt操作.如圖2,我們給鏈環(huán)投影圖的交叉點標上1,2,…,8,我們發(fā)現(xiàn)在標號1,2,4,5,6做Wendt操作,再經(jīng)過一系列Reidemeister變化,鏈環(huán)將轉變成,同理,在標號3,7做交叉點做Wendt操作和一系列Reidemeister變化,鏈環(huán)也將轉變成,而在標號8做Wendt操作和一系列Reidemeister變化,鏈環(huán)將轉變成
定義1對紐結表中的投影圖K,先選定其中一個交叉點做Wendt操作,接著做一系列初等變換得到紐結表中的一個新投影圖K1,重復以上操作,直到得到平凡紐結投影圖.將上述過程所需要的Wendt操作的個數(shù)的最小值稱為的擬解結數(shù),記為Qu(K)[1].
顯然u(K)≤Qu(K).
例如:紐結62的擬解結數(shù)為1,因為只需要做一次Wendt操作就可以使紐結62轉變成平凡紐結.
在表3,列出了交叉點數(shù)少于10的素紐結的解結數(shù)及擬解結數(shù).發(fā)現(xiàn)交叉點數(shù)少于10的素紐結的解結數(shù)和擬解結數(shù)都相等[2].
一個紐結的解結數(shù)也不一定會在它的最少交叉點投影圖上找到,下面是同一個紐結108的(圖3)兩個投影圖,一個為最小投影圖,另一個則不是,但是左圖解結數(shù)為3,右圖解結數(shù)為2.
定義2對2個分支的鏈環(huán)L,給定它的一個投影圖,在其部分交叉點上做Wendt操作,總能使得到的新投影圖成為L1(可能需要初等變換)分離的[3].考慮L的所有投影圖,能實現(xiàn)上述目的的最少交叉點數(shù)稱為L的分拆數(shù),記為v(L).
類似紐結的擬解結數(shù),對2分支鏈環(huán)定義擬分拆數(shù).
定義3對鏈環(huán)表中有2個分支的投影圖L,我們先選定其中一個交叉點做Wendt操作,接著做一系列初等變換得到鏈環(huán)表中的一個新投影圖L1,重復以上操作,直到得到可分離的鏈環(huán).將上述過程所需要的Wendt操作的個數(shù)的最小值稱為L的擬分拆數(shù),記為Qv(L)[4].
表4中列出了交叉點數(shù)少于9的兩個分支鏈環(huán)的擬分拆數(shù).
圖1 紐結62每個交叉點經(jīng)過一次Wendt操作的結果
圖2 鏈環(huán)每個交叉點經(jīng)過一次Wendt操作的結果
表3 紐結、紐結解結數(shù)及擬解結數(shù)
表4 鏈環(huán)和鏈環(huán)擬分拆數(shù)
以下是與擬分拆數(shù)有關的公開問題:
一個交錯鏈環(huán)投影圖,做一次Wendt操作,在什么條件下得到的投影圖將是可分離的,見文獻[5].
規(guī)律1在交叉點數(shù)少于10的紐結中,我們發(fā)現(xiàn):非交錯紐結K的兩個交叉點數(shù)相同的投影圖的每個交叉點上做一次Wendt操作得到的紐結集合不見得會相同,但交錯紐結的兩個叉點數(shù)相同的投影圖的每個交叉點上做一次Wendt操作得到的紐結集合則相同[6].
第一行表格與第二行表格分別是紐結943的兩個不同投影圖,只需做一次R3變化,其交叉點均為9,在9個交叉點上分別做一次Wendt操作,再經(jīng)過一系列Reidemeister變化,得到的9個紐結是不同的.例如圖4.
下面來說明下這兩個紐結投影圖(圖6)是同痕的,注意到紅色橢圓區(qū)域內tangle是一模一樣的的,我們只需說明兩個紐結投影圖去掉紅色區(qū)域剩下的部分可以在4條端點固定情況下互相轉換即可[7].
把紅色部分去掉所得的圖7,將其形變?yōu)橄聢D8:易看出以上2個只要沿水平線擰360度即可互相得到.由此可以這樣說明因此兩個814投影圖是相同的紐結.
規(guī)律2在筆者采取的表中交叉點數(shù)少于10的交錯紐結投影中,發(fā)現(xiàn)對其一個交叉點做Wendt操作,若得到的紐結仍然為交錯紐結,則其交叉指標至少減少2.若不是,則不然.對交叉點數(shù)少于9的2個分支鏈環(huán),此結論也成立.
若經(jīng)過Wendt操作得到的紐結為非交錯紐結,則存在減少1的情況.如圖9.
規(guī)律3若紐結對應的Conway符號為m,n,其中m,n必有一個為偶數(shù),m若為偶數(shù),則其對應的解結數(shù)若,n均為偶數(shù),則其對應的解結數(shù)如表5.
同樣要證≤容易,但是要證明≥就比較難.
表5 Conway符號m,n與解結數(shù)之間關系
圖4 非交錯紐結943兩個不同投影圖每個交叉點經(jīng)過一次Wendt操作的結果
圖5 交錯紐結814兩個不同投影圖每個交叉點經(jīng)過一次Wendt操作轉變結果
圖6 紐結814的兩個投影圖
圖7 紐結814的兩個投影圖
圖8 紐結814的兩個投影圖
圖9 交錯紐結933每個交叉點經(jīng)過一次Wendt操作的結果
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(責任編輯 李健飛)
Some Results of the Unknotting Number and Crossing Number Based on Wendt Operation
TAN Qiu-yue1,SUN Ping-an1,LIN Shu-yu2
(1.Department of Mathematics&Computer,Wuyi College,Wuyishan,F(xiàn)ujian 354300,China;2.School of Mathematical Sciences,Xiamen University,Xiamen,F(xiàn)ujian 361000,China)
This paper studies the effect of a single Wendt's operation on knot and link diagrams and its relation with the unknotting number and the crossing number.It introduces two notions for link diagrams,namely Quasi-unknotting number and Quasi-splitting number,calculates these two numbers for knots with crossing number no more than 9 and 2-comonent links with crossing number no more than 8,respectively,and finds some empirical regularities.
knot link;Wendt's operation;unknotting number;crossing number
O157.5
:A
:1673-1972(2015)06-0061-06
2015-07-13
福建省青年教師專項(JA1551);福建省教育廳科技項目(JK2012056);武夷學院青年教師專項(xq201110)
譚秋月(1980-),女,陜西楊凌人,講師,主要從事圖論、離散數(shù)學研究.