基于分裂狀態(tài)的規(guī)范偽括號(hào)多項(xiàng)式計(jì)算方法

鄂 強(qiáng)，張志艷

(大連海事大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 大連 116033)

0 引言

在分子生物學(xué)領(lǐng)域中，研究人員通過電子顯微鏡觀察DNA的雙螺旋結(jié)構(gòu)，有時(shí)會(huì)無法區(qū)分影像中的纏繞的鏈在某些交叉點(diǎn)處的交叉方式，僅能得到一個(gè)具有不確定的交叉點(diǎn)信息的鏈環(huán)投影圖，研究人員仍希望通過研究這樣的投影圖來研究DNA鏈環(huán)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，這就是偽紐結(jié)理論提出的背景[1].

2009年，R.Hanaki[2]引入了3維歐氏空間中的紐結(jié)在平面上的偽投影圖的概念.紐結(jié)的偽投影圖是指缺失紐結(jié)部分(或全部)交叉點(diǎn)信息的投影圖，也就是在投影圖中的某些交叉點(diǎn)處，上行線和下行線分別是哪一條線是不清楚的.2013年，A.Henrich等[3]提出了偽紐結(jié)的概念.偽紐結(jié)是紐結(jié)偽投影圖在初等變換及偽變換下的等價(jià)類.這一理論的提出為研究DNA鏈環(huán)的模糊影像提供了一種可能的數(shù)學(xué)方法，同時(shí)作為紐結(jié)理論的一個(gè)嶄新分支，近年來也逐漸受到關(guān)注.

偽紐結(jié)與奇異紐結(jié)、虛擬紐結(jié)都是經(jīng)典紐結(jié)的推廣，但研究對(duì)象不同.奇異紐結(jié)[4]是帶有自交點(diǎn)的曲線，奇異交叉點(diǎn)對(duì)應(yīng)曲線的自交點(diǎn)；虛擬紐結(jié)[5]可看作嵌入在閉曲面的I-叢中的閉曲線，虛交叉點(diǎn)對(duì)應(yīng)曲線投影不存在的交叉點(diǎn).而偽紐結(jié)對(duì)應(yīng)的曲線是3維歐氏空間中的嵌入的閉曲線，偽交叉點(diǎn)對(duì)于曲線投影真實(shí)存在但形式未知的交叉點(diǎn).

與紐結(jié)理論類似，偽紐結(jié)理論的核心問題是偽紐結(jié)的分類問題.即任意給定兩個(gè)偽紐結(jié)，如何區(qū)分它們或者證明它們是等價(jià)的.其主要的研究方法是尋找偽紐結(jié)不變量，即尋找偽投影圖在初等變換及偽變換下保持不變的量.A.Henrich等[3]定義了偽紐結(jié)的賦權(quán)解集，即偽投影圖所對(duì)應(yīng)全部的紐結(jié)及其概率權(quán)重構(gòu)成的集合，并證明了它是偽紐結(jié)的不變量.2014年，A.Henrich等[6]給出了紐結(jié)偽投影圖的染色性的性質(zhì).2015年，F(xiàn).Dorais和A.Henrich等[7]提出了用高斯圖來刻畫偽紐結(jié)的方法，并將虛擬紐結(jié)理論推廣到偽紐結(jié)理論，引入虛擬偽紐結(jié)的概念.同年V.G.Bardakov等[8]研究了偽紐結(jié)與辮群的關(guān)系，定義了偽辮子的群和半群，并證明這個(gè)半群同構(gòu)于一個(gè)奇異辮子的半群，將經(jīng)典紐結(jié)關(guān)于辮群表示等價(jià)的Markov 定理推廣到偽紐結(jié)上.如果權(quán)重解集中含有某個(gè)紐結(jié)及其鏡面像，如果將它們看作不同的紐結(jié).就得到了偽紐結(jié)“帶記號(hào)的加權(quán)解集”這一概念.2016年，A.Henrich等[9]證明了帶記號(hào)的加權(quán)解集不是偽紐結(jié)的完全不變量，即不能區(qū)分所有的偽紐結(jié).2017年，H.A.Dye[10]將經(jīng)典紐結(jié)的Kauffman括號(hào)多項(xiàng)式推廣到偽紐結(jié)上，添加了針對(duì)偽交叉點(diǎn)一個(gè)拆解關(guān)系式，稱為規(guī)范偽括號(hào)多項(xiàng)式，并證明了它是偽紐結(jié)的不變量.

本文將計(jì)算經(jīng)典紐結(jié)Kauffman多項(xiàng)式的方法[11]推廣到偽紐結(jié)的規(guī)范偽括號(hào)多項(xiàng)式，提出了一種利用偽紐結(jié)的全部分裂狀態(tài)計(jì)算規(guī)范偽括號(hào)多項(xiàng)式的方法.據(jù)此，本文計(jì)算了含有不同數(shù)目偽交叉點(diǎn)的三葉結(jié)投影圖的規(guī)范偽括號(hào)多項(xiàng)式.

1 偽紐結(jié)不變量簡介

經(jīng)典紐結(jié)理論中，投影圖包含經(jīng)典紐結(jié)的全部信息，其對(duì)應(yīng)的經(jīng)典紐結(jié)是唯一的.若投影圖缺失在某些交叉點(diǎn)處的信息，就會(huì)得到一個(gè)交叉形式不確定的投影圖，稱為偽投影圖.偽投影圖通常對(duì)應(yīng)多個(gè)經(jīng)典紐結(jié).

圖1 偽投影圖Fig.1 A pseudo diagram

經(jīng)典紐結(jié)的投影圖的交叉點(diǎn)處，其上行線表示為一條連續(xù)的弧，下行線表示為兩段分開的弧.在偽投影圖中的缺失信息的交叉點(diǎn)上，哪條線是上行線，哪條線是下行線是不清楚的，這種交叉點(diǎn)稱為偽交叉點(diǎn)，在圖中通常用黑色的點(diǎn)表示.圖1所示含一個(gè)偽交叉點(diǎn)的偽投影圖，它對(duì)應(yīng)的可能是平凡結(jié)或者三葉結(jié).

圖2所示的3種變換，稱為經(jīng)典紐結(jié)投影圖的Reidemeister變換或初等變換.兩個(gè)經(jīng)典紐結(jié)投影圖如果可以通過有限次的Reidemeister變換轉(zhuǎn)化，則稱這兩個(gè)投影圖是等價(jià)的.1927年，德國數(shù)學(xué)家K.Reidemeister證明了同一個(gè)經(jīng)典紐結(jié)的任意兩個(gè)投影圖都是等價(jià)的.因此經(jīng)典紐結(jié)也可以看作是投影圖在Reidemeister變換下的等價(jià)類.

圖3所示的3種變換，稱為偽投影圖的偽變換.兩個(gè)偽投影圖，如果能夠通過有限次的Reidemeister變換和偽變換轉(zhuǎn)化，則稱這兩個(gè)偽投影圖是等價(jià)的，并稱偽投影圖在Reidemeister變換和偽變換下等價(jià)類為偽紐結(jié).給定方向的偽紐結(jié)稱為有向偽紐結(jié).

圖2 Reidemeister變換Fig.2 Reidemeister moves

圖3 偽變換Fig.3 Pseudo moves

區(qū)分偽紐結(jié)的方法主要是尋找偽紐結(jié)不變量，即偽投影圖在初等變換和偽變換下保持不變的量.這里介紹兩種偽紐結(jié)不變量：賦權(quán)解集和規(guī)范偽括號(hào)多項(xiàng)式.

1.1 賦權(quán)解集

首先對(duì)于有向的偽投影圖的交叉點(diǎn)，可定義正交叉點(diǎn)、負(fù)交叉點(diǎn)和偽交叉點(diǎn)，如圖4所示.

圖4 偽投影圖的交叉點(diǎn)

假設(shè)D是一個(gè)有向偽投影圖.對(duì)于D的每一個(gè)偽交叉點(diǎn)，將其確定為正交叉點(diǎn)或負(fù)交叉點(diǎn)，就得到一個(gè)經(jīng)典紐結(jié)，稱為偽投影圖的一個(gè)解.由于在每個(gè)偽交叉點(diǎn)處都有兩種確定方式，不同方式可能得到不同的經(jīng)典紐結(jié)，因此偽投影圖通常都有多個(gè)解，可以研究給定的偽投影圖的解集中包含哪些經(jīng)典紐結(jié).更進(jìn)一步的，可以討論得到每個(gè)經(jīng)典紐結(jié)解的概率.

圖5 含2個(gè)偽交叉點(diǎn)的偽投影圖Fig.5 A pseudo diagram with 2 precrossings

定義1.1偽投影圖D的賦權(quán)解集是由形式如(K，pK)的二元組構(gòu)成的集合，其中K是D的一個(gè)解，pK是在每個(gè)偽交叉點(diǎn)隨機(jī)采用一種確定方式確定獲得K的概率，這里假設(shè)將一個(gè)偽交叉點(diǎn)確定為正交叉點(diǎn)和負(fù)交叉點(diǎn)的概率是相等的.

A.Henrich等證明了初等變換和偽變換不改變偽投影圖的賦權(quán)解集，因此賦權(quán)解集是偽紐結(jié)的不變量，可以用來區(qū)分偽紐結(jié).例如，圖1和圖5中的偽投影圖的解集都是平凡結(jié)01和三葉結(jié)31，如果僅考慮解集則無法將它們區(qū)分.圖5中的偽投影圖有2個(gè)偽交叉點(diǎn)，因此有4種確定偽交叉點(diǎn)的方法.4種確定方式中的3種會(huì)得到01，1種會(huì)得到31.因此圖5中的偽紐結(jié)的賦權(quán)解集為{(31，0.25)；(01，0.75)}.而圖1中的偽投影圖確定為01和31是等可能的，因此賦權(quán)解集是{(31，0.5)；(01，0.5)}，從而它們是不等價(jià)的偽紐結(jié).這一例子說明這表明將解賦概率權(quán)重可以更好的區(qū)分偽紐結(jié)，賦權(quán)解集是比解集更強(qiáng)大的不變量.

1.2 規(guī)范偽括號(hào)多項(xiàng)式

設(shè)c是有向的偽紐結(jié)D的一個(gè)經(jīng)典交叉點(diǎn).對(duì)于正交叉點(diǎn)規(guī)定sgn(c)=1，對(duì)于負(fù)交叉點(diǎn)規(guī)定sgn(c)=-1.記D的全部的經(jīng)典交叉點(diǎn)集為C(D)，定義D的扭數(shù)w(D)為

D的偽括號(hào)多項(xiàng)式〈D〉由如下拆解關(guān)系和初始值確定，對(duì)于正交叉點(diǎn)處，規(guī)定

對(duì)負(fù)交叉點(diǎn)處，規(guī)定

對(duì)于偽交叉點(diǎn)處，規(guī)定

其中H=1-Vd，d=-A2-A-2.記U為平凡結(jié)，并規(guī)定初始值〈U〉=1，〈U∪K〉=d〈K〉.

定義1.2設(shè)D是有向的偽紐結(jié)，稱二元多項(xiàng)式

PD(A，V)=(-A-3)w(D)〈D〉

為D的規(guī)范偽括號(hào)多項(xiàng)式.

H.A.Dye證明了規(guī)范偽括號(hào)多項(xiàng)式在初等變換和偽變換下保持不變，因此是偽紐結(jié)的不變量.兩個(gè)偽紐結(jié)，若對(duì)應(yīng)的規(guī)范偽括號(hào)多項(xiàng)式不相等，則它們必然不等價(jià).規(guī)范偽括號(hào)多項(xiàng)式是經(jīng)典紐結(jié)的Kauffman多項(xiàng)式在偽紐結(jié)理論中的推廣，事實(shí)上，如果把經(jīng)典紐結(jié)看作是偽交叉點(diǎn)數(shù)為0的特殊的偽紐結(jié)，那么經(jīng)典紐結(jié)的規(guī)范偽括號(hào)多項(xiàng)式就是其Kauffman多項(xiàng)式.

2 利用偽投影圖的分裂狀態(tài)計(jì)算規(guī)范偽括號(hào)多項(xiàng)式

如果利用拆解關(guān)系式和初始值計(jì)算偽紐結(jié)的偽括號(hào)多項(xiàng)式，則需要依次拆解每一個(gè)交叉點(diǎn)，求和項(xiàng)會(huì)隨著拆解的交叉點(diǎn)數(shù)指數(shù)級(jí)增長，當(dāng)交叉點(diǎn)數(shù)比較多時(shí)，計(jì)算比較繁瑣.注意到紐結(jié)的Kauffman多項(xiàng)式是由拆解關(guān)系式定義的，但是可以通過分別計(jì)算分裂狀態(tài)圖的多項(xiàng)式再求和得到.受到經(jīng)典紐結(jié)的Kauffman多項(xiàng)式計(jì)算方法的啟發(fā)，可以給出通過一種計(jì)算偽紐結(jié)的規(guī)范偽括號(hào)多項(xiàng)式的方法.

給定一個(gè)定向的偽紐結(jié)D，類似經(jīng)典紐結(jié)Kauffman多項(xiàng)式的計(jì)算方法，在D的每個(gè)經(jīng)典交叉點(diǎn)處，用A和B按圖6標(biāo)記(與偽紐結(jié)的方向無關(guān))，并定義兩種局部變形：A分裂和B分裂.

圖6 A分裂和B分裂

在D的每個(gè)偽交叉點(diǎn)處用V和H按圖7方式標(biāo)記(與偽紐結(jié)的方向有關(guān))，并定義兩種局部變形：V分裂和H分裂.

圖7 V分裂和H分裂

在每個(gè)經(jīng)典交叉點(diǎn)處可以應(yīng)用A分裂或B分裂，每個(gè)偽交叉點(diǎn)處可以應(yīng)用V分裂或H分裂，而在交叉點(diǎn)之外的線保持不變.在每個(gè)經(jīng)典交叉點(diǎn)和偽交叉點(diǎn)處選擇其中一種分裂方式后，可以得到平面上一些不交的簡單閉曲線的集合.稱通過分裂得到閉曲線集合為一個(gè)狀態(tài)，記為S.假設(shè)狀態(tài)S是通過D經(jīng)過a(S)個(gè)A分裂和b(S)個(gè)B分裂、v(S)個(gè)V分裂和h(S)個(gè)H分裂得到的，這里nc=a(S)+b(S)是D的經(jīng)典交叉點(diǎn)數(shù)，np=v(S)+h(S)是D的偽交叉點(diǎn)數(shù).n=nc+np為D的總交叉點(diǎn)數(shù)，D經(jīng)過不同的分裂可以得到2n個(gè)狀態(tài)，記|S|為狀態(tài)S中的閉曲線數(shù).則偽括號(hào)多項(xiàng)式〈D〉可以表示為

代入H=1-Vd及d=-A2-A-2，有

式中的求和是指對(duì)D的所有2n個(gè)狀態(tài)下的多項(xiàng)式求和.偽紐結(jié)的規(guī)范偽括號(hào)多項(xiàng)式可表示為

3 計(jì)算實(shí)例

現(xiàn)在用第2節(jié)提出的計(jì)算方法計(jì)算圖8所示的含有1個(gè)偽交叉點(diǎn)的偽紐結(jié)的規(guī)范偽括號(hào)多項(xiàng)式.用A、B、V、H標(biāo)記交叉點(diǎn).

圖8 標(biāo)記交叉點(diǎn)

圖8中的偽紐結(jié)一共有3個(gè)交叉點(diǎn)，每個(gè)交叉點(diǎn)處都有2種分裂方式，因此一共有8種分裂狀態(tài)，如圖9所示.

圖9 8種分裂狀態(tài)

分別計(jì)算每種分裂狀態(tài)下偽括號(hào)多項(xiàng)式，結(jié)果如表1所示.

表1 各分裂狀態(tài)下的偽括號(hào)多項(xiàng)式

將每種分裂狀態(tài)下的多項(xiàng)式求和，得

并代入H=1-vd及d=-A2-A-2，化簡后得到偽括號(hào)多項(xiàng)式

〈D〉=A-8V+A-6-A4V.

D的2個(gè)經(jīng)典交叉點(diǎn)的符號(hào)都為正，因此w(D)=2，從而D的規(guī)范偽括號(hào)多項(xiàng)式為

PD(A，V)=-A-6(A-8V+A-6-A4V)=-A-14V-A-12+A-2V.

利用類似的方法，可以計(jì)算含有2個(gè)偽交叉點(diǎn)的三葉結(jié)投影圖(圖5)的規(guī)范偽括號(hào)多項(xiàng)式為

-2A-10V-4A-6V-2A-2V-A-12V2-A-8-A-8V2-A-4-A-4V2，

含有3個(gè)偽交叉點(diǎn)的三葉結(jié)投影圖的規(guī)范偽括號(hào)多項(xiàng)式為

A-10(3A2V2+3A18V2+V3+A20V3+2A8V(3+V+V2)+2A12V(3+V+V2)+
A4V(3+2V2)+A16V(3+2V2)+A6(1+6V2+V3)+A14(1+6V2+V3)+A10(2+V+8V2+2V3)).

4 結(jié)論

基于偽投影圖的分裂狀態(tài)計(jì)算偽紐結(jié)的偽括號(hào)多項(xiàng)式，是直接計(jì)算偽紐結(jié)在拆解全部交叉點(diǎn)后得到的完全分裂的平凡鏈環(huán)的多項(xiàng)式再求和，這樣的計(jì)算方法避免多項(xiàng)式項(xiàng)數(shù)的指數(shù)級(jí)別增長，一定程度上簡化了規(guī)范偽括號(hào)多項(xiàng)式的計(jì)算過程.

容易計(jì)算，含有2個(gè)偽交叉點(diǎn)和含有3個(gè)偽交叉點(diǎn)的三葉結(jié)偽投影圖的賦權(quán)解集都是{(31，0.25)；(01，0.75)}，但它們的規(guī)范偽括號(hào)多項(xiàng)式不同，從而是不等價(jià)的偽紐結(jié)，因此這一例子同時(shí)表明賦權(quán)解集不是偽紐結(jié)的完全不變量.