（上海交通大學 機械與動力工程學院）

0 引言

葉輪是葉輪機械中的重要部件、氣動設(shè)計的主要對象之一。在完成整個葉輪機械的熱力設(shè)計過程中，若能直觀實時查看葉輪的子午面、軸向截面及三維幾何造型，可幫助設(shè)計人員及時了解葉輪流道幾何型式，提前判斷葉輪加工的可行性和工藝等，有效提高設(shè)計效率。這是葉輪機械設(shè)計、制造、運行管理全生命周期的數(shù)字化過程中的重要一環(huán)。葉輪的初始結(jié)構(gòu)參數(shù)一般可通過兩種方式獲得：一是通過設(shè)計、計算或?qū)嶒灥玫剑绔@得子午面和軸向截面的主要結(jié)構(gòu)參數(shù)；二是通過逆向工程得到，這需要獲取葉輪實物，通過精密測量采樣獲得葉輪結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)。但二者所獲初始數(shù)據(jù)不一致，前者可能是某些基本幾何形狀組合或者有限個離散點數(shù)據(jù)，后者則可能為密集的離散點數(shù)據(jù)集合，需進一步擬合、插值，才能得到葉輪幾何造型。目前，在計算機輔助幾何設(shè)計（CAGD）中，B樣條技術(shù)（B-spline）是構(gòu)造曲線曲面首選。

Woodward[1]提出了一種交互式B樣條曲面插值方法，該方法擬合出的曲面更符合工程應用。Liang[2]等人采用迭代計算曲線的控制頂點，提高了擬合曲線的有效性和準確性。Chen[3]等人利用逆向工程獲得葉輪曲面的控制頂點網(wǎng)格，輸入到CAD軟件中構(gòu)造了葉輪幾何造型，規(guī)劃了加工刀具軌跡，仿真了加工過程。殷明霞[4]等人基于Bezier理論，開發(fā)了葉輪二維葉型的可視化流程。劉金梅[5]等人采用非均勻有理B樣條技術(shù)對葉輪進行了可視化造型。

設(shè)計完成后的離心式壓縮機通常還需進一步優(yōu)化，如對葉輪作CFD性能分析。進行CFD前處理時需對葉輪建模，常規(guī)方法是人工根據(jù)葉輪設(shè)計參數(shù)在CAD軟件中設(shè)計和建模，這種方法工作量大、效率低。當葉輪設(shè)計參數(shù)被修改時，需重新繪制，靈活性差。本文依據(jù)B樣條曲線曲面理論，對葉輪輪蓋、葉片和輪盤型線離散數(shù)據(jù)進行插值，得到相應的樣條曲線曲面，以便在OpenGL中構(gòu)造三維幾何造型，并基于初始圖形交換規(guī)范，實現(xiàn)葉輪結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)交互，以在CAD軟件中快速建模。

1 閉式離心葉輪結(jié)構(gòu)特點

葉輪是離心式壓縮機的重要運動結(jié)構(gòu)，其性能直接影響壓縮機效率。按外形結(jié)構(gòu)主要可分為閉式、半開式和開式。通常，閉式葉輪效率相對較高，應用也最廣泛，結(jié)構(gòu)上呈“三明治”狀，從工質(zhì)流動方向看，依次由輪盤、葉片和輪蓋組成，輪盤和輪蓋將葉片夾于中間。

通過?；?、流道法、效率法等離心式壓縮機熱力設(shè)計方法可計算出閉式離心葉輪的幾何結(jié)構(gòu)參數(shù)，總結(jié)見表1。由此可得如圖1所示的典型閉式離心葉輪子午面和軸向截面圖。

表1 閉式離心葉輪主要幾何結(jié)構(gòu)參數(shù)Tab.1 Main geometric parameters of a shrouded centrifugal impeller

圖1 閉式離心葉輪子午面和軸向截面Fig.1 Meridian(left)and axial(right)section of a shrouded centrifugal impeller

2 閉式離心葉輪造型方法

2.1 非均勻有理B樣條曲線與曲面

傳統(tǒng)B樣條無法精確表示拋物線、拋物面以外的二次曲線曲面，非均勻有理B樣條（NURBS）可妥善解決。一個k次NURBS曲線可表示為一個分段有理多項式函數(shù)：

式中，σi(i =0,1,…,n)為對應控制頂點Pi(i =0,1,…,n)的權(quán)因子。

推廣至曲面表示為：

式中，τi,j(i = 0,1,…,nu;j=0,1,…,nv)為控制網(wǎng)格頂點Qi,j(i = 0,1,…,nu;j=0,1,…,nv)的權(quán)因子；Ni,ku(u)表示為節(jié)點序列{ui}(i = 0,1,2,…,nu+ku+1) 上第i個ku次B樣條基函數(shù)；Nj,kv(v)表示為節(jié)點序列{vj}( j =0,1,2,…,nv+kv+1)上第j個kv次B樣條基函數(shù)。

當權(quán)因子τi,j均為1時，NURBS曲線或曲面退化為非有理B樣條曲線或曲面。

2.2 非均勻有理B樣條單位整圓和旋轉(zhuǎn)曲面

NURBS中有多種二次表示方案用于描述單位整圓[6]，本文使用九頂點外切正方形表示方案，其效果在多種方案中表現(xiàn)最好。如圖2，圖中Vi為控制頂點，ωi為權(quán)因子，T為節(jié)點序列。

圖2 九頂點外切正方形表示方法Fig.2 Representation of nine vertex circumscribed square

以定義為式（1），在xy平面上的k次NURBS曲線為母線，繞z軸旋轉(zhuǎn)生成的旋轉(zhuǎn)曲面可表示為如式（2）的NURBS曲面，則曲面的控制頂點和權(quán)因子分別為[7]

式中，Vj為xy平面上NURBS單位整圓的控制頂點；ωj為單位整圓的權(quán)因子，與圖2相同；Pi，Vj的上標表示對應的x,y,z坐標。

2.3 非均勻有理B樣條插值算法

根據(jù)給定數(shù)據(jù)點，構(gòu)造一條B樣條曲線使其通過給定數(shù)據(jù)點的擬合方法，稱為B樣條曲線插值。構(gòu)造一條插值B樣條曲線需確定其節(jié)點序列和控制頂點。通常使用非均勻節(jié)點序列，這樣生成的曲線更精確。

對于已知的數(shù)據(jù)點列{Pi}(i =0,1,2,…,n )，采用累積弦長法[8]確定非均勻B樣條曲線的節(jié)點序列{ti}(i = 0,1,…,n+6)

式（7）共包含 n+1個方程，若要求解所有的 n+3個控制頂點Vi，則需額外補充兩個方程。常用的邊界條件有：切矢條件、自由端點條件、拋物線條件等[9]。本文使用Bessel切矢方法[6]，主要思路是通過插值一條過三點Pi-1,Pi,Pi+1的拋物線，計算拋物線上三點的導數(shù)，從而得到三點的估算切矢，具體方法為：

設(shè)Pi-1,Pi,Pi+1對應的參數(shù)為：

式中，Δti=ti+1-ti，ΔPi=(Pi+1-Pi)/Δti。

聯(lián)立式（4）、（7）、（8）可得 n+3個方程，由此可唯一確定所有的n+3個控制頂點Vi。由于該n+3個方程構(gòu)成三對角矩陣，可使用追趕法求解。

3 閉式離心葉輪幾何造型繪制

3.1 二維幾何造型

閉式離心葉輪的二維幾何造型包括子午面和軸向截面。

1）子午面

將圖3所示葉輪子午面中標出的關(guān)鍵點全部確定后，即可確定子午面輪蓋和輪盤的數(shù)據(jù)點，進而可按NURBS插值方法對數(shù)據(jù)點插值，得到描述輪蓋和輪盤的NURBS曲線。

圖3 葉輪子午面示意圖Fig.3 Schematics of meridional surface of an impeller

2）軸向截面

軸向截面主要由圓和圓弧組成。在繪制葉片圓弧段時，如圖4，由于圓OR1,i( )i=1,2,…,n,n為葉片數(shù) 與圓OD1和圓OD2共有四個交點，可作兩段葉片，但對于每一個圓OR1,i，僅需其中一段，且相對位置應一致，即同為弧P1,iP2,i或弧P3,iP4,i。根據(jù)向量積，可知：

和

由向量積符號一致性可判斷并作出相對位置一致的葉片圓弧段。

圖4 葉輪軸向截面示意圖Fig.4 Schematics of axial section of an impeller

3.2 三維幾何造型

1）輪蓋和輪盤曲面

輪蓋和輪盤是以子午面輪蓋和輪盤曲線為母線的旋轉(zhuǎn)曲面，曲面以流體進口方向的整圓為u方向，以子午面輪蓋和輪盤曲線段為v方向繪制NURBS曲面。具體為：將v方向上的控制頂點沿u方向的控制頂點遍歷計算，按前述方法確定旋轉(zhuǎn)面的控制頂點網(wǎng)格，進而得到輪盤和輪蓋曲面，如圖5。

2）葉片壓力面和吸力面

繪制葉片壓力面和吸力面需獲取葉片輪蓋線和葉片輪盤線，兩個曲面共需四條曲線。如圖6，在葉片輪蓋線或葉片輪盤線取一點P(xtag,dist)，dist為點P到主軸軸線的距離。在葉輪軸向截面上，以dist為半徑，原點為圓心作圓，與葉片曲線段相交于點Q(ytag,ztag)，點Q在三維空間中的x坐標為xtag，故點Q在三維空間中的坐標應為(xtag,ytag,ztag)，即為子午面內(nèi)點P對應在三維空間中葉片壓力面或吸力面的空間點。

圖5 輪盤與輪蓋曲面幾何造型Fig.5 Geometric modeling of hub(a)and shroud(b)surface

圖6 葉片壓力面與吸力面計算示意圖Fig.6 Calculation schematics of pressure and suction surface of blades

以壓力面為例，得到葉片輪蓋線和輪盤線后，取葉片輪蓋線和輪盤線的端點為u方向，以葉片輪蓋線和輪盤線為v方向，繪制NURBS曲面。u方向上僅有兩個控制點，即葉片輪蓋線和輪盤線的端點，對應的節(jié)點序列為U=[0,0,1,1]。繪制的葉片壓力面和吸力面如圖7所示。

圖7 葉片壓力面與吸力面幾何造型Fig.7 Geometric modeling of pressure and suction surface of blades

3.3 可視化造型檢驗

以某離心式壓縮機葉輪為例，在壓縮機進口總壓、總溫，壓縮機出口總壓、質(zhì)量流量確定的條件下，設(shè)計得到基本氣動參數(shù)，基于OpenGL將葉輪幾何結(jié)構(gòu)參數(shù)繪制得到的三維造型如圖8所示。

圖8 某閉式離心葉輪幾何造型Fig.8 Geometric modeling of a shrouded centrifugal impeller

4 幾何數(shù)據(jù)交互

將葉輪數(shù)據(jù)輸出成CAD軟件可識別的通用文件有多種方法，本文使用初始圖形交換規(guī)范（IGES）格式和文本（TXT）格式。

4.1 IGES輸出方法

IGES固定格式文件被分為若干段，每段由若干行組成，每行有80列，一個ASCII字符占一列，其中1～72列是特定的數(shù)據(jù)域，第73列是標識字母代碼，見表2，第74～80列是所在行在所在段的序號，序號在每段中從1開始，每行加1。

對于離心葉輪幾何造型，使用到的幾何類型有點、直線、NURBS曲線和曲面。

表2 IGES固定格式數(shù)據(jù)段及其標識字母代碼Tab.2 Fixed format data segment and its identification code

1）點的參數(shù)格式

類型號為116，參數(shù)數(shù)據(jù)段的數(shù)據(jù)依次為：類型號（116）、點的X，Y，Z坐標、指向用于規(guī)定顯示符號的實體的指針或0，共5個。

2）直線的參數(shù)格式

類型號為110，數(shù)據(jù)依次為：類型號（110）、起點的X，Y，Z坐標、終點的X，Y，Z坐標，共7個。

3）NURBS曲線的參數(shù)格式

類型號為126，數(shù)據(jù)依次為：類型號（126）、控制頂點數(shù)量、基函數(shù)階數(shù)（次數(shù)+1）、曲線是否為平面曲線、曲線的開閉、曲線為有理或多項式、曲線是否周期、節(jié)點序列（若干個）、控制頂點權(quán)因子（若干個）、控制頂點三維坐標（若干個）、始參數(shù)值（0）、終參數(shù)值（1）、當曲線為平面曲線時的單位法矢。

4）NURBS曲面的參數(shù)格式

類型號為128，數(shù)據(jù)依次為：類型號（128）、u方向控制頂點數(shù)量、v方向控制頂點數(shù)量、u方向基函數(shù)階數(shù)、v方向基函數(shù)階數(shù)、曲線在u方向和v方向的開閉（2個）、曲線為有理或多項式、曲線在u方向和v方向是否周期（2個）、u方向節(jié)點序列（若干個）、v方向節(jié)點序列（若干個）、控制頂點權(quán)因子（若干個）、控制頂點三維坐標（若干個）、u方向始參數(shù)值（0）、u方向終參數(shù)值（1）、v方向始參數(shù)值（0）、v方向終參數(shù)值（1）。

需注意某些后置處理器，如ANSYS BladeGen，對一行數(shù)據(jù)的完整識別止于換行符，在結(jié)束段的末端應添加一個換行符以使該行被完整識別。

4.2 TXT輸出方法

TXT作為一種輸出格式，只能輸出點。若需要輸出NURBS曲線，則應對其進行較高密度的離散化，然后以TXT輸出。輸出格式為：每行包含一個點的三維坐標數(shù)據(jù)，以X坐標、Y坐標、Z坐標的順序排列，坐標之間以空格或“,”間隔。TXT的輸出較IGES簡便，但在導入CAD軟件時，需再處理。因此，應優(yōu)先選擇以IGES輸出。

4.3 幾何造型參數(shù)反算

本文輸出的葉輪曲線造型，可通過反算得到原始幾何結(jié)構(gòu)參數(shù)，實現(xiàn)參數(shù)的雙向交互。根據(jù)NURBS曲線性質(zhì)，葉輪子午面輪盤和輪蓋曲線的端點與其NURBS曲線的首尾控制頂點重合且相切，如圖9，即Ctrl1Ctrl2和Ctrl4Ctrl5分別與曲線兩端相切，可確定子午面各關(guān)鍵點的坐標位置，進而可知直徑D0，D1，D2，d ，半徑 r1，r2，寬度 b1，b2，傾角 θ等參數(shù)，參見圖3。葉輪軸向截面的葉片圓弧也可根據(jù)其NURBS性質(zhì)確定半徑R1，R2，再聯(lián)立二者可確定進出口安裝角 β1A，β2A，從而得到葉輪的主要結(jié)構(gòu)參數(shù)數(shù)據(jù)。

圖9 NURBS曲線及控制頂點示意圖Fig.9 Schematics of NURBS curve and control vertex

5 結(jié)論

本文基于離心葉輪氣動設(shè)計過程生成的結(jié)構(gòu)參數(shù)，采用非均勻有理B樣條技術(shù)，構(gòu)建了閉式離心式壓縮機葉輪的二維和三維數(shù)字化幾何造型，包括子午面、軸向截面、輪盤、輪蓋、葉片吸力面和壓力面等，繼而以某離心式壓縮機葉輪設(shè)計中的參數(shù)為例，實現(xiàn)了該葉輪結(jié)構(gòu)的可視化。進一步結(jié)合IGES數(shù)據(jù)交換規(guī)范，實現(xiàn)了葉輪幾何與CAD軟件之間的數(shù)據(jù)交互，聯(lián)接了葉輪設(shè)計與CAD軟件建模。

該方法完善了葉輪生命周期的數(shù)字化過程環(huán)節(jié)，有效縮短了設(shè)計周期，提高了設(shè)計效率，并可進一步推廣至其他類型壓縮機葉輪。