Gompertz分布尺度參數(shù)的最短區(qū)間估計(jì)

周會(huì)會(huì)

(廣東海洋大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院, 廣東 湛江 524088)

對(duì)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)是數(shù)理統(tǒng)計(jì)中基本而重要的內(nèi)容。與參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)相比，區(qū)間估計(jì)不僅給出了參數(shù)真值所在的范圍，還給出了該范圍包含真值的置信水平。在置信水平確定的前提下，置信區(qū)間的長(zhǎng)度越短越好。在正態(tài)總體的情形下有多種經(jīng)典的估計(jì)方法[1-3]。在經(jīng)典統(tǒng)計(jì)下，一些常見(jiàn)分布的位置參數(shù)最短區(qū)間估計(jì)問(wèn)題，如指數(shù)分布，伽瑪分布，瑞利分布，文獻(xiàn)[4-6]已有敘述。

文獻(xiàn)[7]較為詳細(xì)地說(shuō)明了Gompertz分布模型的應(yīng)用，其可用來(lái)描述普通的動(dòng)力學(xué)，動(dòng)物和哺乳動(dòng)物的胚胎腫瘤的生長(zhǎng)以及可靠性增長(zhǎng)模型，還證明了Gompertz分布具有“把時(shí)鐘調(diào)回到零點(diǎn)”的性質(zhì)。文獻(xiàn)[8]介紹了基于Gompertz模型的人口預(yù)測(cè)問(wèn)題。文獻(xiàn)[9]用Gompertz模型擬合了高齡階段的人口死亡率。

在Gompertz分布尺度參數(shù)最優(yōu)置信區(qū)間估計(jì)問(wèn)題中，樞軸量服從卡方分布，其概率密度函數(shù)是非對(duì)稱的，置信區(qū)間的長(zhǎng)度一般不是最短的。本文在假設(shè)形狀參數(shù)β已知的前提下，首先給出總體服從X正半軸上Gompertz分布的尺度參數(shù)θ的極大似然估計(jì)；其次給出尺度參數(shù)θ的區(qū)間估計(jì)方法，在此基礎(chǔ)上研究尺度參數(shù)θ的最短置信區(qū)間估計(jì);最后通過(guò)實(shí)例驗(yàn)證。

1 預(yù)備知識(shí)

定義1 稱總體X服從參數(shù)為2n的卡方分布χ2(2n)，若其密度函數(shù)為

定義2稱總體X服從正半軸上參數(shù)為θ,β的Gompertz分布G(θ,β)，若其密度函數(shù)為

式中：θ>0為尺度參數(shù)；β為形狀參數(shù)，β可正可負(fù)，如果β>0，則它是增的，如果β<0，則是降的。

引理1設(shè)總體X服從Gompertz分布G(θ,β)，X1,X2,…，Xn為來(lái)自該總體的樣本，則有

易知，

2 Gompertz分布尺度參數(shù)的極大似然估計(jì)

定理1 設(shè)總體X服從Gompertz分布G(θ,β)，X1,X2,…，Xn為來(lái)自該總體的樣本，則尺度參數(shù)θ的極大似然估計(jì)量為

(1)

3 Gompertz分布尺度參數(shù)的區(qū)間估計(jì)

定理2設(shè)總體X服從Gompertz分布G(θ,β)，X1,X2,…,Xn為來(lái)自該總體的樣本，在顯著性水平α下，尺度參數(shù)θ的1-α同等置信區(qū)間為

(2)

則對(duì)于顯著性水平α，有

成立，從而解出θ的1-α同等置信區(qū)間為

對(duì)Gompertz分布尺度參數(shù)θ作區(qū)間估計(jì)時(shí)，在給定置信度下，一般認(rèn)為置信區(qū)間越短越好，而卡方分布的密度函數(shù)關(guān)于峰值是非對(duì)稱的，所以得到的置信區(qū)間不是最短的，下面本文在前面的基礎(chǔ)上尋求最短的置信區(qū)間。

定理3Gompertz分布尺度參數(shù)θ的最短區(qū)間估計(jì)問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為如下條件極值問(wèn)題：求a*,b*，使

成立，其中f(y)為χ2(2n)的概率密度函數(shù)，此時(shí)置信區(qū)間的長(zhǎng)度L為

可得

則參數(shù)θ的置信區(qū)間的長(zhǎng)度L為

(3)

因此，求b-a的最小值等價(jià)于求L的最小值。

定理4 當(dāng)n>1時(shí)，定理3中的條件極值問(wèn)題有唯一解(a*,b*)，且滿足

證明利用拉格朗日乘數(shù)法，令

對(duì)a,b和λ分別求偏導(dǎo)數(shù)并令其為0，有

化簡(jiǎn)整理得

(4)

(5)

所有駐點(diǎn)(a,b)是式(4)和式(5)的解。這樣僅需證明式(4)和式(5)有解且唯一。

為保證b>a>0且式(4)成立，必須

0

(6)

因此，對(duì)任意滿足式(6)的b，可以由式(5)唯一地解出a=u(b)，且u(b)是b的單調(diào)減函數(shù)，即當(dāng)b→+時(shí)，a=u(b)→0，當(dāng)b→2(n-1)時(shí)，a=u(b)→2(n-1)。

4 實(shí)例應(yīng)用

在對(duì)某一電信產(chǎn)品集成測(cè)試中[10]，測(cè)試執(zhí)行時(shí)間共計(jì)16天，測(cè)試數(shù)據(jù)見(jiàn)表1。

表1 某電信產(chǎn)品集成測(cè)試數(shù)據(jù)
Tab.1 Integrated test data of a telecom product

測(cè)試天數(shù)/d01234567當(dāng)天發(fā)現(xiàn)的缺陷數(shù)/個(gè)91234433發(fā)現(xiàn)缺陷數(shù)累計(jì)/個(gè)910121519232629測(cè)試天數(shù)/d89101112131415當(dāng)天發(fā)現(xiàn)的缺陷數(shù)/個(gè)22110100發(fā)現(xiàn)缺陷數(shù)累計(jì)/個(gè)3133343535363636

注：測(cè)試第0天，進(jìn)行自動(dòng)化測(cè)試，執(zhí)行的測(cè)試用例多，發(fā)現(xiàn)9個(gè)缺陷。第1天至第15天，全部為手工測(cè)試，中間測(cè)試人員未發(fā)生變動(dòng)，以手工測(cè)試作為分析的數(shù)據(jù)。

文獻(xiàn)[10]已經(jīng)用Gompertz增長(zhǎng)模型對(duì)缺陷數(shù)累計(jì)值進(jìn)行了很好地?cái)M合。定理4的結(jié)論與文獻(xiàn)[4]中有關(guān)指數(shù)分布的最短區(qū)間估計(jì)的結(jié)論一致，所以可以查文獻(xiàn)[4]中的表1，借助Excel數(shù)據(jù)處理功能，對(duì)θ的估計(jì)做如下分析。

表2表明，對(duì)于不同的n，θ的置信區(qū)間都包含其極大似然估計(jì)值；當(dāng)n≤6時(shí)，最短置信區(qū)間較一般置信區(qū)間有明顯地縮短，幅度在4%～13%，置信區(qū)間縮短的幅度隨著觀察天數(shù)n的增大呈遞減趨勢(shì)。因此，在小樣本下，研究Gompertz分布的尺度參數(shù)θ的最短置信區(qū)間是必要的。

表2θ最短置信區(qū)間精度分析
Tab.2 Accuracy analysis of the shortest confidence interval ofθ

nθ A0B0A1B1L0L1r/%20.086 0[0.010 4,0.239 5][0.001 8,0.204 8]0.229 10.203 012.8530.076 0[0.015 7,0.183 1][0.007 7,0.162 3]0.167 50.154 68.3340.066 3[0.018 1,0.145 2][0.011 8,0.131 7]0.127 20.119 96.1050.058 0[0.018 8,0.118 8][0.014 0,0.109 4]0.099 90.095 44.8060.051 8[0.019 0,0.100 7][0.015 2,0.093 7]0.081 70.078 63.9570.046 8[0.018 8,0.087 3][0.015 7,0.082 0]0.068 50.066 33.3580.043 0[0.018 6,0.077 6][0.016 0,0.073 3]0.059 00.057 32.9290.040 0[0.018 3,0.070 1][0.016 1,0.066 6]0.051 80.050 52.58100.037 7[0.018 1,0.064 3][0.016 2,0.061 4]0.046 30.045 22.31110.035 8[0.017 9,0.059 8][0.016 2,0.057 3]0.042 00.041 12.10120.034 4[0.017 8,0.056 3][0.016 3,0.054 1]0.038 60.037 91.91130.033 1[0.017 6,0.053 4][0.016 3,0.051 4]0.035 80.035 11.76140.032 1[0.017 6,0.051 0][0.016 3,0.049 2]0.033 40.032 91.64150.031 3[0.017 5,0.049 0][0.016 4,0.047 4]0.031 50.031 01.52