基于MR 的非線性Jeffcott 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動(dòng)特性

張凌淼

(沈陽航空航天大學(xué) 航空發(fā)動(dòng)機(jī)學(xué)院，遼寧 沈陽110136)

用于旋轉(zhuǎn)動(dòng)力應(yīng)用的可控阻尼裝置主要是利用液壓或電磁幾種物理原理。Mu 等人[1]研究了一種控制具有錐形間隙的普通擠壓油膜阻尼器的阻尼力對(duì)系統(tǒng)的響應(yīng)。Shafi 等人[2]提出了一種通過改變阻尼器端面密封軸向位置來控制阻尼力的設(shè)計(jì)方案。Gurubasavaraju 等人[3]認(rèn)為半主動(dòng)懸架系統(tǒng)領(lǐng)域最有前途的技術(shù)是利用磁流變阻尼器的磁流變特性，并對(duì)其進(jìn)行外部磁場控制。Sharipov 等人[4]提出了一種具有曲折磁路新型磁流變阻尼器，以提高其系統(tǒng)的阻尼性能。

同時(shí)，Sun 等人[5]介紹了具有不同剛度和阻尼力的磁流變阻尼器車輛懸架系統(tǒng)，并對(duì)其進(jìn)行了原型設(shè)計(jì)，建模和實(shí)驗(yàn)評(píng)估。Li 等人[6]針對(duì)目前磁流變阻尼器的響應(yīng)特性表現(xiàn)不佳的問題，提出了一種基于自適應(yīng)阻尼器的非線性線圈模型。利用基于方波測試結(jié)果的遺傳算法識(shí)別模型參數(shù)，分析了電路和阻尼器模型的性能，設(shè)計(jì)了一種可變結(jié)構(gòu)的電流驅(qū)動(dòng)阻尼器器。Ata 等人[7]論述了振動(dòng)控制創(chuàng)新領(lǐng)域中磁流變阻尼器的正確設(shè)計(jì)方法，以確定一種適用于磁流變阻尼器協(xié)調(diào)車輛懸架減振的半主動(dòng)控制方法。Zhao 等人[8]研究了一種小型磁流變阻尼器的動(dòng)態(tài)特性，通過遺傳算法識(shí)別該模型的參數(shù)，并且回歸這些參數(shù)與輸入電流，激勵(lì)頻率和振幅之間的數(shù)學(xué)關(guān)系。

此外，Jaroslav 等人[9]研究了一種磁流變擠壓的數(shù)學(xué)模型，并分析了在轉(zhuǎn)子振動(dòng)衰減過程中磁流變阻尼裝置中所發(fā)生的復(fù)雜電磁現(xiàn)象。Ferfecki 等人[10]開發(fā)了一種由磁流變擠壓油膜阻尼器支撐的柔性轉(zhuǎn)子的新數(shù)學(xué)模型，研究了用于確定阻尼器間隙中磁感應(yīng)的半解析關(guān)系的推導(dǎo)方法。Zapomel 等人[11]提出了一種使用雙線性材料來模擬磁流變流體的連續(xù)流動(dòng)曲線方程，并對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特性進(jìn)行更合理的描述。本文討論了一種基于磁流變阻尼器的Jeffcott 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動(dòng)特性。通過推導(dǎo)磁流變阻尼器阻尼力的表達(dá)式，并建立新型轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型。討論有無外電壓輸入時(shí)對(duì)系統(tǒng)時(shí)域、頻域和穩(wěn)態(tài)軸心軌跡的影響，并進(jìn)一步研究在固有頻率附近磁流變阻尼器外電壓對(duì)轉(zhuǎn)子軸心位移的影響。最后通過諧波平衡解析解與龍格庫塔數(shù)值解對(duì)研究系統(tǒng)進(jìn)行驗(yàn)證。

1 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)參數(shù)命名

如表1 所示，給出了下文所使用的物理量和幾何量的符號(hào)命名。

2 磁流變阻尼力

磁流變阻尼器是一種基于磁流變對(duì)磁場敏感性的可控阻尼裝置。其中的主要部件是兩個(gè)同心圓環(huán)，由一層薄薄的磁流變液體隔開，如圖1 所示。內(nèi)圈通過滾動(dòng)軸承與軸頸連接，并通過保持架彈簧與減震器本體連接。轉(zhuǎn)子橫向振動(dòng)導(dǎo)致油層擠壓，產(chǎn)生阻尼力。由于磁流變對(duì)轉(zhuǎn)子的阻尼力取決于磁感應(yīng)，所以這種變化取決于外加電流對(duì)阻尼力的影響。

表1 系統(tǒng)參數(shù)

圖1 磁流變擠壓油膜阻尼器的設(shè)計(jì)方案

根據(jù)經(jīng)典潤滑理論的假設(shè)，建立了阻尼器的數(shù)學(xué)模型。磁流變液阻尼器是用雙線性材料，其屈服剪應(yīng)力是磁感應(yīng)強(qiáng)度的函數(shù)。阻尼器相對(duì)于它的中間平面被認(rèn)為是短軸對(duì)稱的，在油膜厚度隨時(shí)間增加的區(qū)域，假定發(fā)生空化，空化區(qū)的壓力保持不變，等于環(huán)境空間中的壓力。全油膜的壓力分布是由雷諾方程決定的，該方程適用于雙線性材料。有關(guān)其推導(dǎo)和解決方案的更多詳細(xì)信息，請(qǐng)參見參考文獻(xiàn)[11]。

通過積分減振器間隙內(nèi)的壓力分布，計(jì)算了轉(zhuǎn)子軸頸上的x 方向和y 方向上的水力分量。

考慮到非空化區(qū)和空化區(qū)的不同壓力分布。由方程(1)可知，阻尼器間隙內(nèi)的壓力分布與屈服剪應(yīng)力有關(guān)，它對(duì)磁感應(yīng)強(qiáng)度的依賴由冪函數(shù)近似表示如下。

磁流變阻尼器是由一組對(duì)稱線圈和每一段作為電磁鐵的分塊核心組成，間隙中充滿了磁流變，這使得油液層中表示磁感應(yīng)可以表示為。

設(shè)計(jì)參數(shù)kB 是線圈匝數(shù)和磁效率的乘積，其計(jì)算細(xì)節(jié)見參考文獻(xiàn)[10]。

通過磁流變阻尼器的線圈的電流由電壓平衡方程支配。

由于轉(zhuǎn)子橫向振動(dòng)而改變阻尼器間隙的寬度，會(huì)導(dǎo)致磁路磁阻的變化，從而產(chǎn)生磁通變化，總磁通量之和可以表示為。

由霍普金斯定律可得。

方程(7)的右側(cè)部分是第一經(jīng)絡(luò)段磁路的磁阻。假設(shè)每個(gè)部分都具有磁阻性，但比油膜小得多，因此分配給磁通通過的每一段的區(qū)域是。

其次，假定分段的厚度為無窮小。

將方程(6)和(8)代入方程(7),可以得到總磁通量的關(guān)系式。

其中A 是時(shí)間的函數(shù)。將方程(10)時(shí)間微分后代入方程(5)，得到了電路中外加電流的時(shí)程控制方程。

3 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)

研究一個(gè)在兩端通過磁流變擠壓膜阻尼器連接到固定裝置的簡單非線性Jeffcott 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型，如圖2 所示。通過計(jì)算模擬，研究了電路在不同工作轉(zhuǎn)速下對(duì)阻尼效應(yīng)的影響。在振動(dòng)特性的研究中，考慮彈性支承的立方非線性剛度，忽略不同方向之間的耦合非線性作用。由牛頓第二定律推導(dǎo)出該系統(tǒng)的非線性振動(dòng)方程。

圖2 系統(tǒng)模型

4 計(jì)算模擬結(jié)果

轉(zhuǎn)子和磁流變阻尼器的工藝參數(shù)和操作參數(shù)總結(jié)于表2中。

表2

首先，轉(zhuǎn)子以100 rad/s 的恒定角速度旋轉(zhuǎn)，低于臨界轉(zhuǎn)速，轉(zhuǎn)子x 軸方向上時(shí)域分析如圖3(a)所示；由于自身重力的影響，y 軸方向上轉(zhuǎn)子的振動(dòng)軌跡向下平移后達(dá)到新的穩(wěn)定狀態(tài)如圖3(b)所示。磁流變阻尼器電壓u=2v，轉(zhuǎn)子x 軸方向上時(shí)域分析如圖3(c)所示，穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)振幅減小到原來的0.5 倍左右，轉(zhuǎn)子y軸方向上時(shí)域分析如圖3 (d)所示，y 軸方向上轉(zhuǎn)子的平衡位置有所上移，振幅也有明顯減小。

如圖4 所示，討論了當(dāng)系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，有無外電壓對(duì)系統(tǒng)位移速度的影響。圖4 給出了外電壓分別為0V 和2V 時(shí)X軸方向的位移速度關(guān)系，由對(duì)比關(guān)系可知輸入外電壓磁流變阻尼器抑制了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在x 軸和y 軸方向上的運(yùn)動(dòng)，并且對(duì)比圖4(b)和(d)可知y 軸也起到了振動(dòng)抑制的效果，但穩(wěn)態(tài)的運(yùn)動(dòng)情況更加復(fù)雜。

在不施加電流的情況下轉(zhuǎn)子穩(wěn)定狀態(tài)的軸心運(yùn)動(dòng)軌跡如圖5(a)所示，并通過圖5(b)說明了穩(wěn)態(tài)下轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)軌跡與坐標(biāo)原點(diǎn)的位置關(guān)系，由圖所示運(yùn)動(dòng)軌跡基本關(guān)于x 軸對(duì)稱。當(dāng)外電壓為2v 時(shí)，如圖5 (c)所示，轉(zhuǎn)子穩(wěn)態(tài)下的軸心運(yùn)動(dòng)軌跡半徑和距離坐標(biāo)原點(diǎn)距離明顯減小，并且由圖5(d)可知轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)軌跡不再具有對(duì)稱性，運(yùn)動(dòng)軌跡更難預(yù)測。研究表明外加電壓抑制了轉(zhuǎn)子位移和速度，但轉(zhuǎn)子的運(yùn)動(dòng)軌跡變得更加復(fù)雜。

圖6 給出了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在固有頻率附近不同電壓的穩(wěn)態(tài)軌道。正如前面所得到的結(jié)果一樣，增加電壓會(huì)導(dǎo)致軌道尺寸的減小，此外，電壓的輸入也影響了轉(zhuǎn)子穩(wěn)態(tài)軌跡與坐標(biāo)中心位置關(guān)系。這是由于電壓升高后的電流強(qiáng)度也隨之上升，隨著磁路的磁阻和電感變化，改變了軸頸與阻尼環(huán)的間隙寬度，會(huì)引起磁流變阻尼力的水平分量和垂直分量的變化，最終出現(xiàn)如圖所示的變化關(guān)系。

如圖7 所示，給出了諧波平衡近似解析解與龍格庫塔數(shù)值解的曲線對(duì)比圖。解析解曲線與數(shù)值解曲線高度重合，證明了研究方法的可行性。

5 結(jié)論

本文建立了短軸磁流變擠壓油膜阻尼器的擴(kuò)展數(shù)學(xué)模型，該模型考慮了阻尼器中瞬變電磁現(xiàn)象之間的相互作用，并將該模型應(yīng)用到非線性Jeffcott 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中進(jìn)行振動(dòng)抑制。對(duì)比諧波平衡解析解和四階龍格庫塔數(shù)值解的曲線關(guān)系，驗(yàn)證了分析結(jié)果的準(zhǔn)確性。通過以上研究，可以得到以下結(jié)論。(1)對(duì)比分析轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)，結(jié)果表明磁流變阻尼力作用在系統(tǒng)上，可以更好抑制系統(tǒng)振動(dòng)。(2)隨著外電壓的增大，轉(zhuǎn)子偏心位移軌跡明顯減小，證實(shí)了阻尼電路中的電磁現(xiàn)象對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動(dòng)衰減的影響。(3)諧波平衡近似解與龍哥庫塔的數(shù)值解一致重合，驗(yàn)證了分析方法的正確性。

圖3 時(shí)域?qū)Ρ确治?/p>

圖4 速度位移對(duì)比分析

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圖5 轉(zhuǎn)子穩(wěn)態(tài)軸心運(yùn)動(dòng)軌跡對(duì)比分析

圖6 不同轉(zhuǎn)速的轉(zhuǎn)子穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)軌跡

圖7 解析解與數(shù)值解

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