漸消SPRT在SINS/CNS/SRS導航系統(tǒng)軟故障診斷中的應用

高廣樂，高社生，彭 旭，胡高歌

（1. 西北工業(yè)大學自動化學院，西安 710072；2. 西北工業(yè)大學深圳研究院，深圳 518057；3. 南瑞集團（國網(wǎng)電力科學研究院）有限公司，南京 211106）

為構建一個長期穩(wěn)定且可靠的組合導航系統(tǒng)，采用多傳感器的組合導航方式受到了廣泛關注[1-3]。在眾多導航方法中，光譜紅移導航系統(tǒng)(SRS)是一種具有前瞻性的自主導航方法。光譜紅移導航只利用天體光譜的多普勒頻移效應實現(xiàn)飛行器導航，具有無時間延遲、選星容易以及自主性強等優(yōu)點[4,5]。而將SRS 與捷聯(lián)式慣性導航系統(tǒng)(SINS)以及天文導航系統(tǒng)(CNS)進行組合的SINS/CNS/SRS 組合導航系統(tǒng)，則不僅能夠在天文導航選星困難時，通過SRS 輔助糾正捷聯(lián)慣導系統(tǒng)誤差，同時也保證了導航系統(tǒng)的高度自主性。

但是，在惡劣的環(huán)境之中，CNS 或SRS 系統(tǒng)傳感器經(jīng)常會出現(xiàn)故障導致導航系統(tǒng)不可靠，因此在組合導航系統(tǒng)中進行故障的隔離與診斷則十分必要。Carlson 等首先提出了聯(lián)邦卡爾曼濾波理論，使各導航子系統(tǒng)相互分離，降低系統(tǒng)之間相互干擾，一定程度提高了系統(tǒng)容錯性，為導航系統(tǒng)故障隔離的實現(xiàn)奠定了基礎[6,7]。關于故障診斷方法，卡方檢驗法目前是工程中最常用的故障診斷方法，對突變故障有較好的檢測效果，但對緩慢增加的軟故障，卡方檢驗法卻不夠靈敏[8,9]。進而，Joerger M 提出了一種累積的卡方檢驗法，將加權的殘差平方累積作為統(tǒng)計量，能夠較快地檢測出系統(tǒng)的變化，但隨著時間的推移，累積量會不斷變大且難以下降[10]。為解決累積量難以下降的問題，提出了基于卡爾曼濾波的序貫概率比檢驗方法(SPRT)，用于檢測傳感器中存在的緩變故障與持續(xù)偏差[11,12]。但由于在傳統(tǒng)SPRT 檢驗中，統(tǒng)計量的計算涉及了較多的歷史量測信息，因此也不能快速變化，及時反映傳感器故障的發(fā)生與結束，甚至還會引起無法檢測故障結束的問題，造成了系統(tǒng)漏警與誤警[13]。在組合導航系統(tǒng)中，長時間的誤警會導致正常的CNS或SRS 觀測信息被長期隔離而失效，使得SINS 系統(tǒng)發(fā)散，導航系統(tǒng)精度與可靠性降低。

為彌補SPRT 方法的缺陷，本文提出了一種漸消SPRT 方法。該方法引入漸消因子，降低歷史量測信息對新時刻統(tǒng)計量以及統(tǒng)計量變化率的影響，避免了傳統(tǒng)SPRT 方法無法檢測故障結束的缺陷并降低了故障開始時刻的檢測延時，從而減少檢測系統(tǒng)的誤警與漏警。最后基于SINS/CNS/SRS 組合導航系統(tǒng)，對漸消SPRT 方法診斷緩慢故障進行了仿真，驗證了該方法能夠及時檢測與隔離導航中存在的傳感器軟故障，保證了導航系統(tǒng)的估計精度與可靠性。

1 聯(lián)邦卡爾曼濾波算法

為方便故障傳感器隔離，提高導航容錯性，在多傳感器組合導航系統(tǒng)中可采用聯(lián)邦卡爾曼濾波器（FKF）[7]。

假設系統(tǒng)方程為

式中，下標k代表采樣時間，X為系統(tǒng)狀態(tài)向量，F(xiàn)為系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，下標i表示提供量測信息的不同傳感器，Z表示量測向量，H為量測矩陣，W～N(0,Q)和V～N(0,R)分別代表狀態(tài)噪聲矩陣和量測噪聲矩陣。

基于以上系統(tǒng)方程，F(xiàn)KF 的主要步驟如下：

1）狀態(tài)預測

式中，為k-1 時刻狀態(tài)估計，為k時刻狀態(tài)預測，Pk/k-1為預測協(xié)方差陣。

2）子濾波器的量測更新

式中，Ki,k為i子濾波器的增益陣；為i子濾波器下的狀態(tài)估計；Pi,k為i子濾波器下狀態(tài)協(xié)方差陣估計。

3）多個子濾波器信息融合

式中，Pk為融合后的協(xié)方差陣估計；融合后的狀態(tài)估計。

2 基于卡爾曼濾波的漸消序貫概率比檢驗

2.1 基于卡爾曼濾波的SPRT 故障檢測的基本原理

設故障下的導航子濾波器的量測方程可表示為

其中

因此導航子系統(tǒng)的新息值可表示為

選取k時刻內(nèi)的導航子濾波器下的所有新息值組成新息序列{νi(j)|j=1,2…k}。設系統(tǒng)狀態(tài)方程無擾動，且子系統(tǒng)量測量中無故障時，該子濾波器中的新息序列應相互獨立且服從正態(tài)分布N(0,Σ)[13]。此時新息期望值和方差可表示為

而當系統(tǒng)有故障時，可得新息期望與方差為

其中

進一步，根據(jù)兩類假設的概率密度函數(shù)，則可計算兩類假設下的似然比為

再對L(k) 求對數(shù)，所得變量即為基于卡爾曼濾波的SPRT 檢驗方法的統(tǒng)計量

設每時刻的統(tǒng)計量變化率可表示為

則可獲取SPRT 統(tǒng)計量的迭代形式為

傳統(tǒng)的Wald 提出的SPRT 方法中，常采用雙閾值進行故障判斷[12]，其雙閾值設置如下

其中，Pf表示誤警率；Pm表示漏警率。

最后，根據(jù)閾值和統(tǒng)計量，可寫出基于卡爾曼濾波的SPRT 故障診斷方法的檢驗函數(shù)為

由式(24)中的判斷函數(shù)可以看出，雙閾值法在統(tǒng)計量居于兩個閾值中間時，則該時刻系統(tǒng)不做出判斷。而實時性系統(tǒng)，如導航系統(tǒng)，則需要在每個時刻都知道傳感器量測信息是否可被引入式(5)～(7)，進行量測更新。因此雙閾值法完全不適用實時導航系統(tǒng)。為避免雙閾值法導致無法得到實時檢測結果的問題，可對SPRT 法進行改進，只采用單閾值進行檢測。

除此之外，在卡爾曼濾波過程中，誤警會導致量測失效，使系統(tǒng)只進行狀態(tài)預測。而短時間進行狀態(tài)預測不會造成過多的狀態(tài)量偏差。并且若存在其他未發(fā)生故障傳感器及時糾正偏差，則系統(tǒng)仍可獲取準確的導航信息。相反，漏警會造成存在故障的量測值被引入系統(tǒng)導致誤差更大的狀態(tài)估計值。隨著卡爾曼濾波過程迭代，故障引起的偏差會在狀態(tài)量中累積，使得狀態(tài)量跟隨故障，導致系統(tǒng)更無法檢測出故障而產(chǎn)生更多的漏警。因此在采用單閾值法時，系統(tǒng)采用較小閾值即Tdown，進行單閾值檢測來避免系統(tǒng)產(chǎn)生過多漏警。相應的，SPRT 故障診斷檢驗函數(shù)修改為

2.2 基于卡爾曼濾波的SPRT 故障檢測的缺陷分析

閾值改進后的傳統(tǒng)SPRT 方法對緩慢增加故障的檢測靈敏度較高，但仍存在延遲和無法檢測故障結束的缺陷。為解決此問題，首先需要對缺陷出現(xiàn)的原因進行分析，具體如下：

SPRT 統(tǒng)計量可表示為

且 Δλ(j)可變換為

同時將也寫作迭代形式為

當量測系統(tǒng)長時間正常時，→ 0。進而由式 (27)(28)可知，此時也存在 Δλ(j) → 0,λ(k) → 0。

假設在t1 時刻系統(tǒng)發(fā)生故障。當t1 較大時，由式 (27)(28)可看出，在故障初期仍接近于零，導致 Δλ(j)增長緩慢，使得統(tǒng)計量需要累積較長時間才能夠檢測到故障開始，造成較長時間漏警。

進一步，假設已經(jīng)被檢測到的故障在t2 時刻結束。因此，λ(t2 - 1)應已超過閾值，且故障越大，λ(t2 -1)越大。而當故障結束后，統(tǒng)計量需要較長的時間累計此時為負值的統(tǒng)計變化量 Δλ(j)，使自身下降至閾值以下，實現(xiàn)對故障結束的檢測。但是，在故障結束之后的時間里，量測系統(tǒng)也已恢復正常，使得逐漸趨于0，進而使得統(tǒng)計量變化率 Δλ(j) → 0。因此若在特定時間中統(tǒng)計量未下降至閾值之下時，趨于零的統(tǒng)計量變化率則很難再使統(tǒng)計量快速降低，從而導致在故障結束后統(tǒng)計量一直大于閾值，出現(xiàn)無法檢測故障結束的問題，進而引起系統(tǒng)持續(xù)的誤警，導致在卡爾曼濾波過程中，提供量測量的傳感器徹底失效。

2.3 基于卡爾曼濾波的漸消SPRT 檢驗方法基本原理

基于以上分析可看出，SPRT 無法及時檢測故障開始而導致漏警的原因是由于故障開始時，正常時刻的新息仍對的計算產(chǎn)生較大的影響；而無法檢測故障結束的主要原因是由于故障時刻的歷史統(tǒng)計量在故障結束后，仍然對統(tǒng)計量計算產(chǎn)生影響。

為解決SPRT 的缺陷，本文對SPRT 方法進行了改進：可在計算新息均值和統(tǒng)計量λ時引入漸消因子，對SPRT 中歷史統(tǒng)計量以及歷史新息采取漸消處理，在故障時刻降低歷史信息的影響，提高統(tǒng)計量對故障的敏感度。

首先，為增強均值在故障發(fā)生時刻的變化率，減少故障發(fā)生時刻檢測延遲，可在均值計算中引人漸消技術，降低歷史時刻新息在均值計算中的權重，從而增強當前時刻新息樣本的影響。改進后公式如下：

式中，α為漸消因子，文中選取0.85。

同時，為及時檢測故障結束，可改進統(tǒng)計量累計方式為：

由式(27)可看出，采用漸消因子后，隨著時間的推移，時間越久的歷史時刻的Δλ對統(tǒng)計量λ(k)的影響會越來越小。因此在故障結束后，隨著時間推移，即使新時刻的 Δλ(j) → 0，受漸消因子影響故障時刻的歷史統(tǒng)計量變化率對故障結束后統(tǒng)計量的影響也會逐漸消失，使得統(tǒng)計量快速下降為零，從而可避免統(tǒng)計量持續(xù)大于閾值導致故障結束無法被檢測的情況出現(xiàn)，進一步也消除了此情況所帶來的持續(xù)誤警。

3 SINS/CNS/SRS 組合導航系統(tǒng)

3.1 光譜紅移導航原理

根據(jù)光譜紅移原理與多普勒公式可知以下關系

式中，z表示飛行器上實拍光譜中計算出的紅移值，表示慣性系中飛行器與光源之間相對速度矢量，c表示真空中的光速，θ表示慣性坐標系中光源和飛行器之間連線與視向速度矢量vr的絕對夾角。

假設飛行器在同一時間可接收光源A，光源B 和光源C 的光譜信息，可計算出每時刻三條光譜相對于靜止光譜的紅移值z1,z2,z3。將紅移值帶入式(31)后，再結合以下運算關系

可得

式中，v1,v2,v3分別表示三個參考天體在慣性系中的速度矢量，可以通過查詢相關天體星歷獲取。u1,u2,u3分別表示為慣性系中各天體指向飛行器位置矢量的單位矢量，可由星敏感器測得。vr=vpcosθ為慣性飛行器沿著光源方向的徑向速率。

為簡便計算可將式(33)線性化。設

式中，ce表示不同的觀測天體。

再將式(34)在vp=0處一階泰勒展開后得

式中，ΔZ代表高階項。

最后，省略式(35)中高階項后，聯(lián)立方程組可得

最后通過求解式(36)即可獲取vp值。

3.2 慣性/天文/光譜紅移組合導航系統(tǒng)

考慮到光譜紅移導航優(yōu)點，本文提出了一種慣性/天文/光譜(SINS/CNS/SRS)紅移組合導航系統(tǒng)。在天文導航失效時，慣性/天文/光譜紅移組合導航系統(tǒng)可及時通過SRS求解飛行器速度信息，及時糾正SINS的誤差，保證組合導航系統(tǒng)的自主性與可靠性。SINS/CNS/SRS組合導航系統(tǒng)結構如圖1 所示。

圖1 SINS/CNS/SRS 組合導航系統(tǒng)結構圖Fig.1 Structure of SINS/CNS/SRS integrated navigation system

3.2.1 SINS/CNS/SRS 導航系統(tǒng)狀態(tài)方程

根據(jù)慣性導航系統(tǒng)誤差模型，我們可給出組合導航系統(tǒng)狀態(tài)方程為[4]

式中，F(xiàn)為慣導系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，X為慣導系統(tǒng)的狀態(tài)向量，具體為

式 中， (φE,φN,φH)表示導航系下平臺失準角；(δ vE,δ vN,δvH)表示導航系下速度誤差；(δ L,δλ,δh)表示導航系下位置誤差；和 (?X, ?Y, ?Z)分別表示陀螺隨機游走以及加速度計常值誤差。

W為系統(tǒng)噪聲矩陣，具體為

3.2.2 SINS/CNS/SRS 組合導航系統(tǒng)量測方程

SINS/SRS導航子系統(tǒng)的量測值為捷聯(lián)慣性導航系統(tǒng)解算的速度信息與光譜紅移導航系統(tǒng)解算速度之間的差值。

由于紅移導航速度計算都是在慣性系下完成，因此建立量測方程前首先需要進行坐標轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)換公式如下

SINS/SRS 導航子系統(tǒng)測量方程可表示為

SINS/CNS 導航子系統(tǒng)經(jīng)緯度量測方程為SINS 系統(tǒng)輸出的經(jīng)緯度位置信息與CNS 系統(tǒng)算出的經(jīng)緯度信息的差值，具體如下

式中，(λCNS,LCNS)為天文導航系統(tǒng)輸出的經(jīng)緯度信息；(λSINS,LSINS)為慣性導航系統(tǒng)輸出的經(jīng)緯度信息；VCNS為天文測距量測噪聲，Hp為量測矩陣。

天文導航系統(tǒng)無法獲取高度信息，為了防止SINS高度通道發(fā)散，引入氣壓高度表測量高度信息，由氣壓高度表和SINS 輸出的高度之差作為量測量，得高度差的量測方程為

式中，hSINS和hBA分別為慣導和氣壓高度表輸出的高度信息，Hh為高度量測陣，VBA為高度量測噪聲陣。

4 仿真驗證

基于SINS/CNS/SRS 組合導航系統(tǒng)對漸消SPRT方法進行軟故障診斷仿真驗證。導航系選取東北天坐標系，飛行器飛行軌跡如圖2 所示。

圖2 飛行器軌跡圖Fig.2 Flight trajectory

設置飛行總時長為1200 s，飛行器初始位置為(108.909 °， 34 .246 °，10 000m)。常規(guī)情況下傳感器參數(shù)如表1 所示。

表1 傳感器仿真參數(shù)設置Tab.1 Parameter of sensors in simulation

同時設置緩變故障模型數(shù)學模型為

式(44)中，Init 為初始故障大小，In t_t 為故障發(fā)生時間，D為故障持續(xù)時間，Ratio表示故障變化率。

仿真中假設天文導航系統(tǒng)存在緩慢變化故障，具體故障狀況如表2 所示。進一步可得故障下的天文導航系統(tǒng)經(jīng)緯度量測值誤差曲線如圖3 所示。

表2 CNS 導航系統(tǒng)經(jīng)緯度量測故障參數(shù)Tab.2 Fault parameter of longitude and latitude in CNS

為驗證漸消SPRT 算法在緩變的軟故障診斷中的性能，在表2 所示的天文導航系統(tǒng)故障下，對比了卡方檢驗法，SPRT 算法以及本文提出的漸消SPRT 算法對SINS/CNS/SRS 組合導航系統(tǒng)進行CNS 故障診斷的結果。三種方法的診斷結果圖分別如圖4、圖5 和圖6所示。故障檢測延時如表3 所示。

圖4 和表3 可以看出，SPRT 方法能夠在39 s 延遲后檢測出Fs1 故障的發(fā)生。但是在故障結束后，SPRT故障檢測中的統(tǒng)計量無法及時減小，導致其無法檢測出Fs1 故障的結束，更無法分辨后續(xù)其他故障的發(fā)生與結束，造成系統(tǒng)長時間誤警。

圖3 CNS 經(jīng)緯度 測誤差曲線圖Fig.3 Error curves of longitude and latitude in CNS

圖4 SPRT 對緩變故障診斷效果圖Fig.4 Performance of SPRT in slow-growing fault detection

圖5 和表3 可以看出，在Fs1，F(xiàn)s2 和Fs3 故障期間，故障前期量測異常值較小，因此卡方檢驗的統(tǒng)計量一直保持較小從而無法檢測出故障；隨著時間推移量測異常值雖然增大，但由于故障前期狀態(tài)估計中使用了異常量測值，導致濾波器輸出會跟隨量測異常值，使得故障后期卡方檢驗的統(tǒng)計量仍較小。因此整個故障期間卡方檢驗法完全無法檢測到整個故障的出現(xiàn)，造成漏警。

圖5 卡方檢驗對緩變故障診斷效果圖Fig.5 Performance of Chi-square test in slow-growing fault detection

圖6 漸消SPRT 對緩變故障診斷效果圖Fig.6 Performance of fading SPRT in slow-growing fault detection

表3 CNS 緩變故障檢測延遲Tab.3 Delay of fault detection in CNS

圖6 和表3 可看出，相比于卡方檢驗法和傳統(tǒng)SPRT 方法，在引入漸消因子后，漸消SPRT 方法能夠檢測出所有緩慢故障的發(fā)生和結束，克服了傳統(tǒng)SPRT無法檢測故障結束的缺陷并避免了長時間誤警。同時，由表3 可看出，在檢測Fs1 故障發(fā)生時，只存在23 s的檢測延遲，相比于SPRT，對Fs1 故障開始的漏警時間縮短了約41%。

為進一步分析漸消SPRT 故障診斷方法性能，在CNS 存在故障時，本文繼續(xù)分析了不同故障診斷方法對組合導航系統(tǒng)估計結果精度的影響。圖7 和表4 分別給出了不同故障診斷方法下的經(jīng)緯度導航誤差曲線以及絕對誤差的平均絕對值(MAE)。

圖7 不同故障診斷方法下組合導航系統(tǒng)經(jīng)緯度誤差圖Fig.7 Error curves of longitude and latitude in integrated navigation system under different fault detection method

如圖7 和表4 所示，由于傳統(tǒng)SPRT 算法在檢測出第一次故障之后持續(xù)的誤警，從而錯誤舍棄后續(xù)所有時刻CNS 獲取的經(jīng)緯度量測信息，只通過SRS 糾正SINS速度誤差。因此隨著故障結束，誤警SPRT 故障檢測系統(tǒng)導致正常時刻放棄CNS 對SINS 的位置誤差糾正，使得組合導航系統(tǒng)位置信息發(fā)散，其正常時刻經(jīng)度和緯度的平均絕對誤差可達13.23 m 和8.8 m。而卡方檢驗法對緩變故障不敏感，在故障時刻完全失效，導致導航系統(tǒng)直接使用異常的天文量測信息，不僅不能糾正組合導航系統(tǒng)誤差，反而使得組合導航系統(tǒng)誤差增大，其故障時刻經(jīng)度和緯度的平均絕對誤差可達17.66 m 和16.29 m。而漸消SPRT 故障檢測方法則可以及時識別緩慢故障開始，同時也能夠檢測故障結束，使得經(jīng)度和緯度的平均絕對誤差遠小于其他兩個方法，保證了組合導航系統(tǒng)的可靠性。

表4 不同診斷方法下經(jīng)緯度絕對誤差的平均值Tab.4 MAE of longitude and latitude under different fault detection method

5 結 論

論文主要圍繞實現(xiàn)一種有效軟故障診斷方法以及提高導航系統(tǒng)可靠性的內(nèi)容展開研究工作。

(1)首先介紹并分析了傳統(tǒng)序貫概率比方法缺陷。

(2)引入了漸消因子對傳統(tǒng)SPRT 進行改進，提出了一種漸消SPRT 方法，降低了歷史信息對SPRT 統(tǒng)計量的影響，提高了統(tǒng)計量對故障變化的敏感度，減少了SPRT 的檢測延遲并解決了SPRT 無法檢測故障結束的缺陷。

(3)最后基于SINS/CNS/SRS 組合導航系統(tǒng)，通過仿真，對漸消SPRT 的緩變軟故障檢測能力進行了評估。仿真結果表明在軟故障下，漸消SPRT 算法的檢測延遲較低，且采用了漸消SPRT 算法的SINS/CNS/SRS的組合導航系統(tǒng)也顯示出了更好的可靠性，證明了漸消SPRT 算法對緩慢增長的軟故障具有較好的診斷能力。