基于最小均方自適應(yīng)算法的光纖陀螺信號實時濾波方法

杜建邦，何金陽,2，卓 超

（1. 北京航天自動控制研究所，北京 100854；2. 宇航智能控制技術(shù)國家級重點實驗室，北京 100854）

高速、高機動飛行器具有突出的快時變、強耦合、非線性和不確定性等特點，這給其上安裝的旋轉(zhuǎn)調(diào)制式慣導(dǎo)系統(tǒng)的旋轉(zhuǎn)軸穩(wěn)定控制帶來了嚴峻的挑戰(zhàn)。光纖陀螺具有工作原理先進、結(jié)構(gòu)簡單、無活動部件及抗沖擊能力強等優(yōu)點，是高精度穩(wěn)定控制系統(tǒng)的理想角運動敏感元件。但光纖陀螺相比于傳統(tǒng)的機電陀螺，其輸出信號易受光路、電路隨機噪聲的干擾，產(chǎn)生的角速率漂移會嚴重影響系統(tǒng)控制精度[1]。為了實現(xiàn)系統(tǒng)的高精度穩(wěn)定控制，需要對控制系統(tǒng)中的反饋信號—光纖陀螺的輸出進行降噪濾波處理[2,3]。

目前，工程中廣泛采用低通濾波器對陀螺信號進行濾波，濾波器的截止頻率、通帶等參數(shù)主要根據(jù)工程要求及經(jīng)驗確定。由于傳統(tǒng)低通濾波器采用固定的濾波器系數(shù)，難以滿足光纖陀螺非平穩(wěn)隨機信號條件下的精確濾波。自適應(yīng)濾波器則能夠?qū)崟r地調(diào)節(jié)當前時刻的濾波系數(shù)以適應(yīng)隨機信號的時變統(tǒng)計特性，可以實現(xiàn)一定意義下的最優(yōu)濾波，因此更加適用于光纖陀螺輸出信號的濾波處理。在自適應(yīng)濾波器設(shè)計中，最小均方（Least Mean Square，LMS）算法使用隨機梯度下降的方法實現(xiàn)代價函數(shù)的最小化，具有計算復(fù)雜度低、無需統(tǒng)計數(shù)據(jù)的先驗知識和均值無偏地收斂到維納解等優(yōu)點，成為自適應(yīng)算法中應(yīng)用最廣泛的一種[4]。為解決各類實際問題，相關(guān)學(xué)者提出了諸多變步長LMS 算法及變換域的LMS 算法[5,6]。文獻[7]提出了級聯(lián)的LMS 自適應(yīng)的降噪方法。該算法采用了變步長和不同濾波器初始權(quán)值的自適應(yīng)算法，通過仿真結(jié)果表明，該方法在濾波精度和實時性等綜合性能方面具有一定的優(yōu)越性。文獻[8]針對光纖陀螺輸出噪聲的問題，提出了一種基于最小均方法與二代小波變換相結(jié)合的降噪方法，該方法提高了捷聯(lián)慣性導(dǎo)航初始對準姿態(tài)精度。文獻[9]提出了基于歸一化LMS 算法的前向線性預(yù)測濾波器的降噪方法，該方法顯著降低了角隨機游走噪聲，實現(xiàn)了單個光纖陀螺對地球自轉(zhuǎn)速度的精確測量。然而，目前大多LMS 自適應(yīng)濾波器的相關(guān)研究均以靜態(tài)濾波精度作為主要設(shè)計指標，沒有考慮時延特性，適用于陀螺尋北和初始對準等動態(tài)性要求較低的場景，無法滿足高動態(tài)條件下旋轉(zhuǎn)調(diào)制式慣導(dǎo)系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)軸穩(wěn)定控制系統(tǒng)的濾波需求。

本文針對旋轉(zhuǎn)慣導(dǎo)穩(wěn)定控制對濾波器高頻消噪與時延等要求，在綜合考慮了期望信號、濾波器階數(shù)和信號采樣率等影響因素后，設(shè)計了一種優(yōu)化的LMS自適應(yīng)濾波器。該濾波器兼顧了動靜態(tài)性能要求，適用于大動態(tài)、高精度穩(wěn)定控制系統(tǒng)，具有結(jié)構(gòu)簡單、工程實現(xiàn)方便等優(yōu)點。

1 LMS 自適應(yīng)濾波器原理

最小均方（LMS）自適應(yīng)濾波器的結(jié)構(gòu)如圖1(a)所示，包括橫向濾波器與LMS 算法兩部分[9]。橫向濾波器（圖1(b)所示）本質(zhì)為FIR 結(jié)構(gòu)的維納濾波器，其輸出信號是輸入信號u(n- 1 ),u(n- 2)…u(n-M)的線性組合。LMS 算法根據(jù)期望信號d與的誤差調(diào)整橫向濾波器的權(quán)系數(shù)向量，從而適應(yīng)隨機信號的時變統(tǒng)計特性。

圖1 LMS 自適應(yīng)濾波器原理Fig.1 Principle of LMS adaptive filter

LMS 自適應(yīng)濾波器的輸出是當前采樣值u(n)的估計值，的計算公式為：

式(1)中，BT= ［b1,b2,b3,…bm］是橫向濾波器系數(shù)組成的向量；U(n- 1) = ［u(n- 1 ),u(n- 2),u(n- 3),…u(n-M)］T是濾波器輸入向量。

定義估計誤差fM為：

將估計誤差的最小均方誤差作為最優(yōu)的統(tǒng)計準則，定義代價函數(shù)J為：

式(3)中，E表示估計誤差平方的數(shù)學(xué)期望；J隨時間的變化表征了濾波器的收斂速度與收斂精度。

需要解決的問題是如何選擇濾波器的權(quán)值使得的均方誤差最小，或者說當J最小時濾波器的權(quán)值最優(yōu)。最優(yōu)權(quán)向量Bopt可表示為：

式(4)中，R為輸入信號的自相關(guān)矩陣，rxd為輸入信號與期望響應(yīng)的互相關(guān)矢量。在實際系統(tǒng)中，特別是環(huán)境未知時，一般很難獲得濾波器輸入信號與期望響應(yīng)的統(tǒng)計特性（R和rxd），因此，采用對非平穩(wěn)環(huán)境具有學(xué)習(xí)能力的自適應(yīng)LMS 算法對權(quán)系數(shù)向量進行實時估計，逐步逼近最優(yōu)權(quán)值。根據(jù)LMS 算法，通過以下公式反復(fù)迭代，權(quán)值逐漸逼近其最優(yōu)解：

式(5)中，μ是權(quán)值更新步長，μ的收斂范圍為：

λmax為輸入信號自相關(guān)矩陣R的最大特征值。

相關(guān)學(xué)者在傳統(tǒng)LMS 算法上提出了許多優(yōu)化算法，其中歸一化LMS 算法采用了可變更新步長，具有收斂速度更快、濾波器時延小的優(yōu)點，因此適用于穩(wěn)定控制系統(tǒng)的濾波需求，其權(quán)值迭代公式為：

式(7)中，γ是一個很小的常數(shù)以保證分母不為零，μ的收斂范圍為：

2 LMS 自適應(yīng)濾波器優(yōu)化設(shè)計

針對高精度穩(wěn)定控制系統(tǒng)對濾波器的性能要求，為了實現(xiàn)LMS 自適應(yīng)濾波器的優(yōu)化設(shè)計，需綜合考慮各種因素對濾波器性能的影響。根據(jù)第一節(jié)，歸一化LMS 自適應(yīng)濾波器的性能主要取決于權(quán)值更新步長μ、未知環(huán)境下的期望信號d和濾波器階數(shù)M三個參數(shù)。本節(jié)結(jié)合實際控制系統(tǒng)對濾波器的性能要求以及光纖陀螺實驗數(shù)據(jù)，分析相關(guān)參數(shù)對濾波性能的影響并進行濾波器的優(yōu)化設(shè)計。

2.1 權(quán)值更新步長μ

由式(7)可得，權(quán)值更新步長μ決定了權(quán)值大小。為了進一步分析μ對濾波性能的影響，以光纖陀螺靜態(tài)數(shù)據(jù)作為輸入信號，其他濾波器參數(shù)一定，對比μ=0.001，μ=0.1 和μ=1（0＜μ≤1）三種不同步長濾波器的濾波效果。圖2 展示了濾波結(jié)果的均方誤差J隨時間變化的曲線。

圖2 采用不同步長濾波的均方誤差曲線Fig.2 MSE curves with different update step length

由圖2 可得，步長μ影響著收斂速度和濾波精度。隨著μ的增大，收斂速度變快，但收斂后在最優(yōu)解附近波動幅值變大，穩(wěn)態(tài)精度相應(yīng)降低；μ過小，雖可保證濾波精度，但收斂時間大大增加，無法保證系統(tǒng)實時性。因此需要根據(jù)收斂速度和濾波精度折中選取μ。旋轉(zhuǎn)慣導(dǎo)穩(wěn)定控制系統(tǒng)要求濾波器在動態(tài)突變環(huán)境下能夠快速收斂，相比于收斂后較低量級的波動幅值，μ的選取應(yīng)側(cè)重考慮收斂速度。

2.2 期望信號d

目前已發(fā)表的相關(guān)文獻中，自適應(yīng)濾波器的期望信號通常采用當前時刻的信號采樣值，即d(n) =u(n)，但是當前時刻采樣值u(n)包含了較大的噪聲，導(dǎo)致期望信號的波動，影響了濾波精度。為了減小期望信號這種不穩(wěn)定性的影響，對期望信號的選取進行優(yōu)化，選取過去時刻采樣值的平均值作為期望信號，即

式(9)中Δ表示選取的采樣點數(shù)。Δ選取的原則為既要有效地減小當前時刻采樣值的噪聲，也不能對當前時刻采樣值的真值造成影響以及產(chǎn)生太大的時延。隨著Δ的增大，當前時刻信號的噪聲強度隨之降低，但增加了濾波器輸出信號的時延。另外，隨著Δ的增大，與當前時刻信號的相關(guān)性逐漸降低，也會影響當前時刻期望信號真值的確定。

通過以上分析，利用光纖陀螺靜態(tài)數(shù)據(jù)作為輸入信號，其他濾波器參數(shù)一定，選取Δ=0，Δ=5 和Δ=M（M為濾波器階數(shù)，此處選定M=10）三種典型的期望值進行濾波器性能的比對分析。不同期望信號濾波后的結(jié)果及其均值、標準差統(tǒng)計如圖3 和表1 所示。

不同期望信號濾波后的結(jié)果及其均值、標準差統(tǒng)計如圖3 和表1 所示。

圖3 采用不同期望信號的濾波結(jié)果Fig.3 Filtering results with different expected signal

表1 不同期望信號下濾波后信號濾波均值與標準差統(tǒng)計Tab.1 Mean value and standard deviation of filtering results with different expected signal

由圖3 和表1 可得，當Δ由0 增大至M時，濾波器降噪能力明顯提高。

進一步驗證Δ增大對動態(tài)響應(yīng)的影響，令濾波器跟蹤正弦信號，濾波后產(chǎn)生的相位延遲可用式(10)估算：

其中，N為濾波器輸出信號滯后的采樣點個數(shù)，ω為信號的角頻率，fs為信號采樣頻率。對于角頻率為20 Hz 的正弦信號濾波后相位延遲如表2 所示。

表2 不同Δ 的相位延遲Tab.2 Phase delay with different Δ

由表2 可知，隨著Δ增大，期望信號包含了更多過去時刻的采樣信息，濾波器的動態(tài)響應(yīng)相應(yīng)降低。因此，Δ影響濾波精度和時延，需綜合考慮信號的噪聲特性、信號的相關(guān)性以及控制帶寬的要求選取Δ值。

2.3 濾波器階數(shù)M

濾波器階數(shù)M影響著濾波器收斂速度和濾波精度。為了探究M對濾波性能的影響，利用光纖陀螺靜態(tài)數(shù)據(jù)作為輸入信號，其他濾波器參數(shù)一定，對比M=10，M=50 和M=100 三種階數(shù)濾波器的濾波效果。濾波結(jié)果信號的均值、標準差統(tǒng)計如表3 所示，濾波結(jié)果的均方誤差J隨時間變化的曲線如圖4 所示。

表3 采用不同階數(shù)濾波后信號的均值與標準差統(tǒng)計Tab.3 Mean value and standard deviation of filtering results with different filter orders

圖4 采用不同階數(shù)濾波的均方誤差曲線Fig.4 MSE curves with different filter orders

由圖4 和表3 可得，濾波器階數(shù)M增大，濾波精度有所提高，但濾波器收斂速度明顯降低。針對高精度穩(wěn)定控制系統(tǒng)對濾波器短時延的需求，濾波器階數(shù)M的選取也必須優(yōu)先考慮收斂速度。

2.4 采樣率fs 的影響

目前的相關(guān)文獻大多針對某一特定采樣率進行分析，而采樣率對濾波器的設(shè)計非常重要。高頻采樣得到的濾波器輸入信號通常噪聲較強，通過對高頻采樣數(shù)據(jù)進行適當?shù)仄交幚恚梢杂行Ы档透哳l噪聲，但會引起濾波器時延的增加。在設(shè)計濾波器時要綜合考慮采樣頻率的影響，合理選取濾波器參數(shù)。

3 實驗驗證與分析

根據(jù)2.1～2.4 節(jié)分析可得，LMS 自適應(yīng)濾波器的濾波精度主要取決于期望信號d表達式中的Δ值，收斂速度主要取決于權(quán)值更新步長μ和濾波器階數(shù)M。在綜合考慮濾波精度和收斂速度的需求、光纖陀螺輸出信號特性與采樣率后，優(yōu)化選取的LMS 自適應(yīng)濾波器參數(shù)為：

為了驗證優(yōu)化后LMS 自適應(yīng)濾波器的濾波效果，設(shè)計了靜態(tài)與動態(tài)兩類實驗并與傳統(tǒng)低通濾波器進行性能對比。采用具有線性相位的10 階FIR 濾波器作為對比，采樣率為1000 Hz，濾波器系數(shù)見表4，F(xiàn)IR 濾波器截止頻率為250 Hz，通帶衰減小于10-2dB，遵循最小相角設(shè)計，20 Hz 處的相角為-0.1988 rad。

表4 FIR 濾波器系數(shù)Tab.4 Coefficients of FIR filter

3.1 靜態(tài)實驗

將光纖陀螺靜置于轉(zhuǎn)臺，采集陀螺輸出數(shù)據(jù)并利用LMS 與FIR 濾波器進行實時濾波處理，圖5 展示了兩種濾波器的濾波效果，表5 統(tǒng)計了濾波后信號的均值與標準差。

由表5 和圖5 可見，優(yōu)化的LMS 自適應(yīng)濾波器有效地降低了高頻噪聲，高頻噪聲降低了約42.35%，降噪能力比低通FIR 濾波器提高了約9.16%。

圖5 靜態(tài)條件下LMS 和FIR 濾波器的濾波結(jié)果對比Fig.5 Comparison of filtering results of LMS and FIR filters in static experiment

表5 經(jīng)兩種濾波器濾波后信號的均值與標準差統(tǒng)計Tab.5 Mean value and standard deviation of the output signal processed by two filters

3.2 動態(tài)實驗

將光纖陀螺置于轉(zhuǎn)臺進行搖擺試驗，受轉(zhuǎn)臺性能所限，只控制轉(zhuǎn)臺做1 Hz 搖擺運動，采集陀螺輸出數(shù)據(jù)并做實時濾波處理，兩種濾波器的動態(tài)跟蹤情況如圖6 所示。

由圖6 可知，在1 Hz 搖擺運動條件下，優(yōu)化的LMS 自適應(yīng)濾波器比FIR 濾波器的相位延遲小0.108 °，提高了約18.96%。

圖6 搖擺狀態(tài)下LMS 和FIR 濾波器的濾波效果對比Fig.6 Filtering effects of LMS and FIR filters in swaying experiment

3.2 動態(tài)突變實驗

仿真產(chǎn)生一組動態(tài)突變信號，選取不連續(xù)角頻率的正弦運動，角頻率由1 Hz→20 Hz→40 Hz→100 Hz突變，兩種濾波器對動態(tài)突變信號的跟蹤情況如圖7(a)所示，LMS 自適應(yīng)濾波器收斂過程的均方誤差曲線如圖7(b)所示。由圖7 可得，LMS 自適應(yīng)濾波器可快速收斂，能夠較好地跟蹤動態(tài)突變信號，且相位延遲小于低通FIR 濾波器。

圖7 動態(tài)突變情況下LMS 和FIR 濾波器的濾波結(jié)果對比Fig.7 Comparison of filtering results of LMS and FIR filters in sudden-change dynamic experiment

4 結(jié) 論

本文提出了一種適用于旋轉(zhuǎn)調(diào)制式慣導(dǎo)的旋轉(zhuǎn)軸穩(wěn)定控制的優(yōu)化LMS 自適應(yīng)濾波方法。通過對濾波器主要參數(shù)進行優(yōu)化選取，濾波性能可以較好地滿足高頻消噪與時延的要求。相比于工程中常用的傳統(tǒng)FIR 濾波器，其降噪能力提高了約9.16%，相位延遲降低了約18.96%。該濾波器結(jié)構(gòu)簡單、易于實現(xiàn)，具有工程應(yīng)用參考價值。后續(xù)將根據(jù)飛行試驗結(jié)果，進一步完善算法設(shè)計。