【摘要】全景式數(shù)學(xué)教育主張讓學(xué)生在整座原始森林中研究一棵樹。全景先構(gòu)課程是全景式數(shù)學(xué)教育獨有的課程模塊。《相遇問題》是全景先構(gòu)課程中的一個經(jīng)典范式。教學(xué)時，教師引導(dǎo)學(xué)生先建（見）森林，然后讓學(xué)生在整座森林中思考一棵樹，并通過一棵樹思考整座原始森林。

【關(guān)鍵詞】全景式數(shù)學(xué)教育；相遇問題；結(jié)構(gòu)；模型；思維；思考方式

【中圖分類號】G623.5【文獻標(biāo)志碼】A【文章編號】1005-6009（2020）09-0055-05

【作者簡介】張宏偉，南京赫賢學(xué)校（南京，210000）學(xué)術(shù)總監(jiān)，北京全景教育研究中心主任，高級教師，北京市數(shù)學(xué)特級教師，山東省首批齊魯名師，國標(biāo)青島版教材編者，2017年全國十大魅力教師，教育部“國培計劃”專家?guī)烊诉x，教育部基礎(chǔ)教育課程教材發(fā)展中心指導(dǎo)教師。

【背景】

筆者在2005年提出了“五還原教學(xué)法”（2006年獲山東省優(yōu)秀科研成果一等獎，《基礎(chǔ)教育參考》2010年第6期專欄介紹），其中一項就是“還原系統(tǒng)”，強調(diào)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要先引導(dǎo)學(xué)生對整個單元的知識系統(tǒng)進行整體建構(gòu)。又經(jīng)過多年的研究、發(fā)展和總結(jié)，“在整座原始森林中研究一棵樹”這個全景式數(shù)學(xué)教育的基本主張逐步形成。同時創(chuàng)生了全景式數(shù)學(xué)教育獨有的課程模塊———全景先構(gòu)課程（也稱為整體架構(gòu)課程），《相遇問題》就是其中一個經(jīng)典范式，現(xiàn)將其課程設(shè)計和學(xué)生（四年級）的學(xué)習(xí)活動實況筆錄如下。

【教學(xué)過程及分析】

一、課前暖場

師：同學(xué)們，你們剛上四年級，但是，我們今天要學(xué)習(xí)五、六、七年級的內(nèi)容。

生（驚訝地）：??？！

師（笑）：是不是覺得老師有點不正常？

生（個別）：嗯！

師：給敢于表達自己真實感受的同學(xué)掌聲！

師：因為你是四年級學(xué)生，學(xué)五、六、七年級的內(nèi)容，一點都不會是正常的，如果你研究會一點點，那就不正常了，叫超常。（學(xué)生笑）

師：我們這節(jié)課學(xué)習(xí)的是“解決問題”，但張老師不會給你一個具體的條件，卻讓你解決問題！（學(xué)生驚愕）

師：我連一個數(shù)都不告訴你，卻讓你解決問題！

生（更加驚愕）：??？！

師：我甚至都不提出一個具體的問題，卻讓你解決問題！

生（很多捂著腦袋）：真不正常！

師：跟不正常的張老師上不正常的數(shù)學(xué)課，有三個絕招。第一個絕招一個字———猜?。▽W(xué)生笑），第二個絕招兩個字———

生：瞎猜！

師（豎起大拇指）：知音??！第三個絕招三個字———

生：胡亂猜！

師（夸張地）：這都知道??？太棒了！既然是猜、瞎猜、胡亂猜，那就不管對錯，盡情來吧！

此時，學(xué)生身心徹底放松，戒備幾乎完全解除。

二、課中學(xué)習(xí)

（一）出示研究主題

師：很多老師都是先寫題后畫圖，張老師偏偏先畫圖后寫題。用一條線段表示A、B兩地之間的一條直直的路（如圖1）。在數(shù)學(xué)上，線段可牛了，可以表示路，可以表示人，可以表示豬，可以表示世間———（生：萬物）

師板書：甲、乙兩人分別從A、B兩地同時出發(fā)，相向而行。

（二）主題解讀———找不懂及解決之道

學(xué)生齊讀后，教師詢問：哪個地方不懂？

生：相向是什么意思？不懂，其他的都懂。

師：不懂怎么辦？

生：猜。

有的學(xué)生猜是面對面，有的學(xué)生猜是背對背，還有的學(xué)生猜是向同一個方向走，想全了兩個人沿著同一條直路行走的所有可能。

此時，學(xué)生初建（見）關(guān)于行程問題的浪漫森林（含行程問題的相遇、追及、背道而馳這三大類型）。

師：相向到底是什么意思？查什么能查出相向的意思？

生：詞典。（其他學(xué)生紛紛認同）

師：那好，現(xiàn)在請同學(xué)們開始查詞典。

生（異口同聲）：沒帶。

師（故作驚訝）：你們來上課怎么不帶詞典呢？

生：老師沒讓帶！

師（面向?qū)W生的班主任）：老師，您課前給學(xué)生說不許帶詞典了？

該班班主任委屈而堅定地說：我沒說??！

師：聽見沒，你們班主任根本就沒說不許帶詞典，你們?yōu)槭裁床粠В?/p>

一個學(xué)生站起來激憤地反駁：這是數(shù)學(xué)課！上語文課才用字典，這是常識?。犝n教師哄堂大笑）

師：我們班的孩子敢于表達自己真實的意見和想法，這一點特別難得！但有一點也讓我感到非常遺憾。詞典不僅是語文學(xué)科的學(xué)習(xí)工具，還是數(shù)學(xué)、科學(xué)等所有學(xué)科學(xué)習(xí)的工具！其實很多數(shù)學(xué)概念，你不需要麻煩任何人，查一下詞典，自己就能解決了！以后上數(shù)學(xué)課要怎么樣？

生（齊聲）：帶詞典。

師：現(xiàn)在你們沒帶詞典怎么辦？

生：用手機查百度。

師（半開玩笑地）：手機帶了嗎？

生（大笑）：沒有，老師你有！

教師用手機搜索“相向”一詞，讓學(xué)生閱讀———“指相對、面對面”。接著引導(dǎo)：除了查詞典外，還有一個重要的自學(xué)數(shù)學(xué)的路徑———上網(wǎng)。然后，教師在黑板上“甲、乙兩人分別從A、B兩地同時出發(fā)，相向而行”中的“相向”一詞下面標(biāo)注“面對面”，讓學(xué)生再讀一遍。

（三）主題情形的全景架構(gòu)

1.獨立猜想。

在教室里標(biāo)注出A、B兩地，全班學(xué)生一起思考：甲、乙兩人分別從A、B兩地同時出發(fā)，在相向而行的過程中，兩人的位置關(guān)系會出現(xiàn)幾種不同的情況？用手勢表示出來。

2.現(xiàn)場模擬。

兩個學(xué)生或全班學(xué)生兩兩結(jié)合，現(xiàn)場表演相向而行，觀察自己與對方的位置關(guān)系，并與自己先前的猜想進行對比，看看自己的猜想是否正確。

第一次模擬———不會出界。

第一次走，兩個學(xué)生分別到達B、A兩地后自行停止，并轉(zhuǎn)身，形成兩人面對面的局面。

第二次模擬———敢于出界。

師：我讓你倆停了嗎？

兩個學(xué)生一臉迷茫。

師：發(fā)現(xiàn)沒？我讓你們面對面行走，沒有說停，你們到了另一端就自動停止了，給你們畫個圈你們就不敢出去，不僅小孩子這樣，很多大人也會這樣。

兩個學(xué)生恍然大悟，第二次模擬都走過對面的B和A，出界后繼續(xù)前行。

師：同學(xué)們，為他們敢于出界掌聲鼓勵！出界的這些情況你們想到了嗎？

絕大多數(shù)學(xué)生搖頭表示自己沒想到。

師：敢于出界才會看到新的世界，跟張老師學(xué)數(shù)學(xué)就要敢于出界！

3.圖形表征。

學(xué)生獨立用線段圖表征自己想到的各種位置關(guān)系情形。同時，教師巡視課堂，鼓勵學(xué)生并了解匯集全班學(xué)生出現(xiàn)的各種情形。

師：同伴是我們最重要的學(xué)習(xí)資源之一。現(xiàn)在，看看你周圍的同學(xué)有沒有畫到你沒有想到的情形，你可以下座位，想看誰的就去看誰的。（學(xué)生非常興奮地下座位交流，對比并補充、修改自己的作品）

4.情形的全景展示。

展示學(xué)生想到的所有類型（如下頁圖2～10），并引導(dǎo)學(xué)生觀察、思考、對比。

5.分類命名。

（1）學(xué)生首先把9種情況分成了三類，并給這三種類型取了相應(yīng)的名字：一是沒相遇（如下頁圖2）；二是相遇（如下頁圖3、圖4）；三是相遇過頭（如下頁圖5～10）。

（2）學(xué)生接著又把第三類分為兩個子類：一是相遇過頭沒出界（如下頁圖5～7）；二是相遇過頭出了界（如下頁圖8～10）。

（3）學(xué)生認識到相遇問題其實分成了四類：沒相遇、相遇、相遇過頭沒出界、相遇過頭出了界。

至此，學(xué)生完成了對“兩個人相向而行”全部類型的整體建構(gòu)，建設(shè)起了相遇問題的整座森林。

（四）數(shù)學(xué)模型的全景建構(gòu)

1.引入路程。

師：我們先從最特殊的正好相遇開始研究，沒在中間相遇和在中間相遇分別說明了什么？

生：沒在中間相遇，說明甲、乙的速度不同；在中間相遇，說明甲、乙的速度相同。

師：這個同學(xué)真了不起！他用到了“速度”這個詞語來看數(shù)學(xué)和描述數(shù)學(xué)。見到速度你會馬上聯(lián)想到什么？

生：時間和路程。

師：它們可是數(shù)學(xué)關(guān)系中最密切的鐵三角式的概念，我們今天先來研究相遇問題中的路程。在數(shù)學(xué)上，路程用S表示。

2.自主尋找各種路程，并命名。

師：你看到了哪些路程？命名為S誰？

學(xué)生依次找到了一些路程，并給這些路程取了名字，還闡述了取名緣由。（如圖11）

3.建立關(guān)于路程的四種模型。

師：一個圖中同時存在好幾個路程，那么，這些路程之間———

生：應(yīng)該是有聯(lián)系的。

當(dāng)學(xué)生總結(jié)“出了界”的三個算式時，教師引導(dǎo)學(xué)生認識到：出界又發(fā)現(xiàn)了新的等量關(guān)系、新的世界！

此時，學(xué)生全面而深入地建設(shè)了“相向而行”的數(shù)學(xué)模型，不僅看見了整座“森林”，還看見了“森林”中的每一棵“樹”。

4.現(xiàn)場模擬，鞏固關(guān)系。

兩人合作，用直尺當(dāng)作路，用兩塊橡皮當(dāng)作甲、乙二人，和同桌一起模擬四種類型，并和同桌說出求AB路程的關(guān)系式。

三、課后拓展

師：回到家，在你家客廳、院子里標(biāo)記上A、B兩地，讓爸爸媽媽相向而行，你猜他們敢不敢出界？

學(xué)生非常興奮，紛紛表示回到家要測試一下自己的父母。

師：如果他們不敢出界，你要告訴他們———

生：敢于出界才能發(fā)現(xiàn)新的世界！

師：你可以考考他們各種類型怎么求SAB。

【課程創(chuàng)設(shè)的價值和意義】

這節(jié)課的內(nèi)容在全國各個版本的教材中都沒有。全景式數(shù)學(xué)教育為什么要增創(chuàng)這個課程？它到底能給學(xué)生帶來哪些改變和成長？這節(jié)課表面上沒有解決一個具體的問題，但真的沒有解決問題嗎？這節(jié)課到底在教學(xué)什么？

首先，這節(jié)課教（學(xué)）的是一個整體、一個系統(tǒng)、一個結(jié)構(gòu)。這個課程的創(chuàng)設(shè)和學(xué)習(xí)讓學(xué)生對相遇問題的結(jié)構(gòu)有了系統(tǒng)、完整、全面的認識。

其次，這節(jié)課教（學(xué)）的是模型。相遇問題屬于問題解決，問題解決的本質(zhì)是數(shù)學(xué)建模。這節(jié)課，學(xué)生自己建全了相遇問題的四種模型。學(xué)生一旦掌握了相遇問題這個知識框架和這些基本模型，到五年級再學(xué)習(xí)相遇問題時根本不需要教師去教，就完全能夠自學(xué)；更重要的是，學(xué)生在學(xué)例題1、例題2……時，自己就會自動把例題1、例題2……與這些模型配對；更更重要的是，學(xué)生能清晰地看見這個例題、這個內(nèi)容在整個知識框架結(jié)構(gòu)中處于哪個位置及其與其他內(nèi)容有什么區(qū)別和聯(lián)系。這節(jié)課，筆者引導(dǎo)學(xué)生先建（見）森林，然后讓學(xué)生在整座森林中思考一棵樹，并通過一棵樹思考整座原始森林。

再次，這節(jié)課教（學(xué)）的是思維。數(shù)學(xué)教學(xué)歸根結(jié)底是數(shù)學(xué)思維的教學(xué)。這節(jié)課沒有一個條件，正是因為沒有條件限制，學(xué)生的思維才能全面打開。在教學(xué)中，我們看到學(xué)生在思維的海洋里天馬行空地遨游，一節(jié)課都在思考和挑戰(zhàn)，直指數(shù)學(xué)的核心。

最后，這節(jié)課改變了學(xué)生的思考方式。教育最難的不是教給學(xué)生知識技能，而是改變學(xué)生的思考方式。具體體現(xiàn)在以下兩點：

第一，改變了學(xué)生認為詞典只是語文學(xué)習(xí)工具的常識。其實，數(shù)學(xué)上很多概念問題學(xué)生靠查字典就能解決。比如：正方形為什么叫正方形？筆者教學(xué)時讓學(xué)生查字典看“正”是什么意思。學(xué)生一查，“正”是指公平、相等、一樣。所有的學(xué)生豁然開朗，它四條邊都一樣，四個角都相等，它公平、相等，所以叫正方形。緊接著筆者問：“正三角形是什么？”立刻就有學(xué)生回答：“三個角相等，三條邊相等?！惫P者繼續(xù)問：“正五邊形是什么……”數(shù)學(xué)上所有帶“正”字的概念，一本字典，查一個字，竟然都解決了。

第二，課堂上，學(xué)生走到A地和B地自動就停了。很多人的思維都已經(jīng)被固化了。一般情況下，不管是成人還是兒童，你給他畫一個圈，他真就不敢出去。筆者今天給學(xué)生一個新的視角———你出了界就會發(fā)現(xiàn)新的世界。不僅如此，還讓學(xué)生回到家看看自己的父母敢不敢出界，既能讓學(xué)生復(fù)習(xí)了今天學(xué)習(xí)的內(nèi)容，還使他們強化了敢于出界的人才會發(fā)現(xiàn)新的世界的意識。

綜上所述，這節(jié)課教的是改變觀念和觸及人性的東西，是學(xué)生終身受益的關(guān)鍵能力、必備品格和核心素養(yǎng)。正如《中國教師報》褚清源主編聽了筆者這節(jié)課后發(fā)出的感慨那樣：有的教師上課是在關(guān)窗，有的教師卻在開窗。這節(jié)課的教學(xué)就是在開窗，讓學(xué)生在不斷驚嘆、驚訝中發(fā)現(xiàn)了數(shù)學(xué)之美。于是，在這樣的經(jīng)歷中，學(xué)生的眼睛也逐漸明亮起來。