周天帥，張博俊，周 桃

(北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京 100076)

0 引言

近年來，隨著科技的不斷進步，現(xiàn)有運載火箭已經(jīng)逐漸不能滿足發(fā)射任務的需求。更大的載荷、更先進的發(fā)動機、更經(jīng)濟的發(fā)射費用是未來新運載火箭的設計目標。隨著我國經(jīng)濟的高速發(fā)展，地方建設水平的日益提高，已經(jīng)很難再劃出新殘骸落區(qū)，僅能繼續(xù)使用現(xiàn)役運載火箭已有落區(qū)[1]。運載火箭的殘骸落區(qū)與上升段彈道密切相關，對殘骸落區(qū)的約束將直接反映在上升段的設計上，進而影響火箭的運載能力。

另一方面，若上升段軌道偏離最優(yōu)運載能力軌跡，則往往帶來燃料加注規(guī)模的浪費，在這種情況下，需要調整運載火箭各級的加注規(guī)模，即對火箭構型的整體方案進行微調。

由此可見，殘骸落區(qū)的選擇直接關系到運載火箭構型方案的選定。因此，有必要分析約束殘骸落區(qū)對運載火箭上升段軌道設計及構型的影響，為未來構型論證工作的開展夯實基礎。

運載火箭上升段軌道設計是多約束、多控制變量優(yōu)化的構型設計問題，過程復雜、工作量大。楊希祥等[2]探討了應用粒子群優(yōu)化算法的運載火箭上升段彈道優(yōu)化設計。張柳等[3]在此基礎上組合了方向加速算法的運載火箭彈道優(yōu)化算法，認為組合算法可避免傳統(tǒng)非線性算法對初值敏感缺點，能大范圍搜索具有全局收斂。洪蓓等[4]提出了有利于工程實現(xiàn)的主動俯仰程序角設計方法。熊偉等[5]提出了組合遺傳算法和牛頓迭代法的運載能力優(yōu)化，提高運算效率的方案。

本文提出了在約束殘骸落區(qū)下的簡化彈道優(yōu)化方法，計算運載能力曲線，來解決不同構型論證工作中運載火箭的運載能力優(yōu)化問題，大幅減少了計算工作量。同時，分析了在固定落區(qū)的情況下，不同加注規(guī)模對運載能力的影響，得出了定落區(qū)下的運載能力優(yōu)化過程曲面，提高了構型論證工作的效率，并通過對某新構型運載火箭的定落區(qū)運載能力分析，驗證了該方法的可行性和正確性。

1 彈道計算的數(shù)學模型

1.1 動力學模型

建立在發(fā)射坐標系下的火箭上升段彈道三自由度質點動力學方程[6]為

(1)

(2)

(3)

1.2 飛行程序角模型

飛行程序角在文獻[3]的基礎上進行一定的修改，公式分為3部分：垂直起飛段、重力轉彎段、上升段。其中前兩段的飛行程序角如下

(4)

式中，α為攻角，θ為彈道傾角，ωz為地球旋轉角速度在發(fā)射坐標系z軸方向的分量，t1為垂直段飛行時間。則攻角α的公式見式(5)，式中的αM為迭代參數(shù)

α=4αMea(t1-t)(ea(t1-t)-1)

(5)

根據(jù)式(4)、式(5)得知，在重力轉彎段，攻角α的曲線由關機點的程序角終值迭代αM得出。

重力轉彎段結束后，上升段程序角為

(6)

1.3 火箭彈道設計方法

具體而言，火箭從起飛到入軌的軌道設計過程中，首先需要估計一個火箭重力轉彎段結束時的俯仰程序角終值φ0，以此來確定本輪次迭代時上升段的控制變量初值；然后構建上升段的控制參數(shù)與目標軌道參數(shù)的迭代關系，并進行迭代設計，具體流程如下：

(7)

(8)

具體思路是通過對控制變量的攝動來分析各個控制變量對入軌參數(shù)的影響，因此當偏差量達到要求時，該組控制變量即可滿足目標軌道要求。在計算過程中，需要關注重力轉彎段程序角終值φ0對運載能力的影響。φ0決定了上升段控制變量的初值，可以對其進行梯度尋優(yōu)。不同初值情況下的火箭程序角曲線如圖1所示，對應運載能力如圖2所示。

圖1和圖2為某構型火箭在殘骸落區(qū)無約束的情況下進行階梯尋優(yōu)的過程數(shù)據(jù)，分別是一級結束時程序角φ0對后續(xù)工作段程序角及最終運載能力影響。

圖1 不同φ0對后續(xù)程序角的影響Fig.1 Different φ0 values affect the subsequent program angle

圖2 不同φ0對應200km最優(yōu)LEO運載能力Fig. 2 Different φ0 values correspond to the optimal capacity of 200km LEO

由上述分析可見，在給定不同的φ0情況下，火箭運載能力明顯具有最高點，因此可以使用梯度法對φ0進行尋優(yōu)，即可找到該火箭構型的最優(yōu)運載能力。但需要注意的是，有殘骸落區(qū)約束也會對程序角φ0產(chǎn)生限制。

2 殘骸落區(qū)對程序角的限制分析

火箭殘骸的軌跡計算公式[7]為

(9)

(10)

可見，由于沒有推力，殘骸的最終射程完全依賴于分離時的速度、位置參數(shù)。

由于目前火箭都屬于多級動力，因此往往設定轉彎段完成時間為火箭第一次分離時間。通過1.3節(jié)對轉彎段程序角終值對后續(xù)的軌道影響分析，可以得到轉彎段程序角終值φ0是上升段的重要迭代變量的結論，結合式(9)、式(10)可以得出結論：φ0不僅決定了后續(xù)上升段的火箭軌道，也同時決定了火箭分離后殘骸的最終射程。

在不同的φ0情況下，火箭殘骸落點射程曲線如圖3所示。圖3為某構型火箭在落區(qū)無約束的情況下，一級結束時程序角φ0對一級殘骸落點射程影響。

圖3 不同φ0對應殘骸落點射程Fig. 3 Different φ0 values correspond to the optimal point range

由圖3可見，火箭殘骸落點射程與φ0接近于線性相關，可以得出結論：若火箭的發(fā)射點、落區(qū)已定，則同一構型火箭的飛行軌跡由于φ0受落區(qū)約束而唯一確定。

這帶來的一個問題就是，在一定起飛推力規(guī)模的情況下，具有最優(yōu)運載能力的火箭構型的殘骸往往不能落入現(xiàn)有落區(qū)，而使用傳統(tǒng)落區(qū)的軌道設計又使火箭的運載能力大幅下降。因此有必要在火箭構型論證階段就開展落區(qū)適應性分析工作。

3 殘骸落區(qū)對火箭構型的影響分析

我國發(fā)射場大多為內陸發(fā)射場，殘骸落區(qū)必須避開人口稠密地區(qū)、鐵路、城市等重要設施，現(xiàn)內陸經(jīng)濟發(fā)展迅速，因此找到適合運載火箭的落區(qū)有一定難度。即便是文昌發(fā)射場也要面臨著落區(qū)位于九段線內和跨過菲律賓的要求，需要選用目前已有落區(qū)或可行的新落區(qū)。

構型論證中，調整推進劑加注量，貯箱及外形尺寸會跟隨改變，可根據(jù)結構效率比考慮結構質量變化。

某無尾翼兩級構型運載火箭在不約束落區(qū)時最大運載能力為8350kg，若采用射程為1235km的某現(xiàn)有落區(qū)作為約束，則落區(qū)約束后的最優(yōu)構型論證過程如下：

1)在原最優(yōu)構型下，完成增加落區(qū)約束后運載能力計算。

2)分析一級加注量、二級加注量(結構效率比考慮結構質量變化)和φ0參數(shù)對殘骸落點影響，如表1所示。

表1 一級結束程序角φ0相同、調整級間比下殘骸落點射程 km

表1是一級結束程序角φ0相同，調整級間比獲得殘骸落點射程數(shù)據(jù)。由表1可以看出：火箭殘骸落點射程隨本級加注量增大而增大，隨上面子級加注量增大而減小。

構型不同φ0對殘骸落點影響如圖3所示。

因此，可以認為兩級火箭在有落區(qū)約束情況下，尋找最優(yōu)運載能力構型是在三維空間內尋優(yōu)過程。

3)殘骸落區(qū)約束的火箭構型優(yōu)化設計

考慮殘骸落區(qū)約束的運載火箭構型優(yōu)化設計是一個復雜約束下多變量強耦合的極值問題[8]，火箭的各級級間比設計以及飛行程序角選擇不僅決定運載能力的大小，同時也直接影響火箭殘骸落區(qū)。在火箭構型復雜、參數(shù)眾多的情況下，手動調整總體和彈道參數(shù)進行構型論證變得極為困難，可以通過彈道優(yōu)化程序開展基于落區(qū)約束下的火箭構型優(yōu)化論證。

優(yōu)化過程如圖4所示，首先通過選擇待優(yōu)化參數(shù)及其取值范圍、目標變量和約束條件；優(yōu)化過程中，總體參數(shù)計算根據(jù)各級級間比計算各級加注量；然后根據(jù)結構系數(shù)計算結構質量，得到彈道設計需要的參數(shù)后，自動更新到彈道設計文件中；再用彈道設計及優(yōu)化程序開展彈道優(yōu)化設計，直至收斂得到運載能力最優(yōu)值。

以殘骸落區(qū)為約束，對一級、二級加注量、重力轉彎結束程序角φ0這3個優(yōu)化變量進行優(yōu)化分析，運載能力優(yōu)化結果如圖5、圖6所示。

圖5為殘骸落區(qū)約束后，相對落區(qū)無約束最優(yōu)構型下一級、二級加注調整量與運載能力關系三維曲面圖。圖6為三維圖的俯視圖，能直觀看出約束落區(qū)后級間比優(yōu)化下最優(yōu)運載能力構型。

圖4 彈道一體化優(yōu)化流程圖Fig.4 Optimized flow chart of trajectory design

圖5 殘骸落區(qū)約束后加注量與運載能力關系三維圖Fig.5 Three-dimensional diagram of the relationship between capacity and propellants after restricting impact point

圖6 三維圖俯視圖Fig.6 Top view of three-dimensional diagram

通過圖5和圖6看出，運載能力明顯呈弧面，具有最高點。殘骸落區(qū)約束后，原來落區(qū)無約束的最大運載能力構型運載能力不再最優(yōu)，降低到了7769kg。需調整級間比及加注量并重新進行構型調整及運載能力分析。經(jīng)過數(shù)據(jù)分析，在不同推進劑加注組合的情況下，能夠清晰地得到最優(yōu)點，為一級推進劑少加10t、二級加注量不變情況下的構型，對應的運載能力為7780kg。相對殘骸落區(qū)無約束構型的計算結果，最大運載能力下降近570kg，但起飛規(guī)模方面要優(yōu)于落區(qū)無約束構型。

4 結論

本文針對某一種構型運載火箭有無殘骸落區(qū)約束的構型論證過程進行分析，梳理出火箭總體參數(shù)及彈道關鍵參數(shù)對落區(qū)的影響關系，開展了基于落區(qū)約束火箭構型的總體方案優(yōu)化，發(fā)現(xiàn)落區(qū)約束后構型運載能力大幅降低，甚至出現(xiàn)運載能力不如起飛規(guī)模更小的火箭的情況，充分說明了殘骸落區(qū)對構型論證的影響，因此，殘骸落區(qū)的選擇是在運載火箭構型設計時必須首要考慮的設計因素。