關(guān)燕鵬　張文婷　平國(guó)楠

摘? ?要：針對(duì)一類具有事件觸發(fā)信息傳輸機(jī)制的網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)，對(duì)系統(tǒng)故障執(zhí)行器個(gè)數(shù)進(jìn)行稀疏約束，研究系統(tǒng)在有限個(gè)執(zhí)行器失效情況下的指數(shù)穩(wěn)定及控制器設(shè)計(jì)問(wèn)題。將系統(tǒng)故障執(zhí)行器個(gè)數(shù)的約束轉(zhuǎn)化為對(duì)控制器增益矩陣行的勢(shì)約束，利用混合整數(shù)方法來(lái)解決這類稀疏約束的容錯(cuò)控制問(wèn)題。在此基礎(chǔ)上，利用Lyapunov泛函方法，得出閉環(huán)系統(tǒng)在有限個(gè)執(zhí)行器失效情況下系統(tǒng)呈指數(shù)穩(wěn)定的充分條件以及具有行稀疏約束的控制器設(shè)計(jì)方法。最后，通過(guò)一個(gè)飛行控制系統(tǒng)的數(shù)值仿真實(shí)例驗(yàn)證所提控制方法的可行性和有效性。

關(guān)鍵詞：網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng);事件觸發(fā)傳輸機(jī)制;執(zhí)行器故障;稀疏約束;容錯(cuò)控制

中圖分類號(hào)：TP273? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

Fault-tolerant Control of Event-triggered Networked

System Based on Sparse Actuator Fault

GUAN Yan-peng？覮，ZHANG Wen-ting，PING Guo-nan

（Department of Automation，Shanxi University，Taiyuan，Shanxi 030006，China）

Abstract：For a class of networked control systems with event-triggered information transmission mechanism，the number of fault actuators is sparsely constrained，and the exponential stability and controller design of the system with a limited number of actuator failures are studied. The contribution is to convert the number of fault actuators to a cardinality constraint on the controller gain matrix. The mixed integer programming is used to solve this kind of sparse constraint problem. By using the Lyapunov functional method，we obtained a sufficient condition for the closed loop system to be exponentially stable with a limited number of actuator failures and a controller design method with row sparse constraints is also presented. Finally，the effectiveness of the proposed method is verified by a numerical simulation example about a flight control system.

Key words：networked control systems;event-triggered transmission mechanism;actuator failure;sparse constraint;fault-tolerant control

控制系統(tǒng)是由被控對(duì)象、控制器、傳感器、執(zhí)行器以及計(jì)算機(jī)軟硬件組成的閉環(huán)系統(tǒng)，系統(tǒng)的各個(gè)環(huán)節(jié)都有可能發(fā)生故障，據(jù)統(tǒng)計(jì)，80%以上的控制系統(tǒng)故障都是由執(zhí)行器或傳感器發(fā)生故障所導(dǎo)致，所以在設(shè)計(jì)系統(tǒng)時(shí)如果不考慮控制系統(tǒng)的某些部件（如傳感器或執(zhí)行器等）在其運(yùn)行過(guò)程中發(fā)生故障或失效對(duì)系統(tǒng)的影響，那么一旦出現(xiàn)故障就有可能導(dǎo)致系統(tǒng)性能下降或系統(tǒng)不穩(wěn)定，甚至導(dǎo)致整個(gè)系統(tǒng)崩潰，由此帶來(lái)的損失是無(wú)法估量的，所以容錯(cuò)控制理論正成為控制理論與控制工程的研究熱點(diǎn)[1-10]。近幾年，許多研究者都在進(jìn)行故障容錯(cuò)控制方面的研究[11-17]。例如文[11]研究了一類具有干擾和執(zhí)行器故障的不確定大規(guī)?；ヂ?lián)系統(tǒng)的分散自適應(yīng)容錯(cuò)控制問(wèn)題，故障類型包括卡滯、停電和失效。文[12]針對(duì)一類具有隨機(jī)執(zhí)行器故障的網(wǎng)絡(luò)化T-S模糊系統(tǒng)，提出一種能有效減少數(shù)據(jù)傳輸量的事件觸發(fā)機(jī)制。文[13]研究一類具有輸出擾動(dòng)的離散時(shí)間切換系統(tǒng)的執(zhí)行器故障檢測(cè)問(wèn)題。文[14] 研究了串聯(lián)同軸管道風(fēng)扇飛機(jī)在系統(tǒng)不確定，不匹配擾動(dòng)以及執(zhí)行器飽和情況下的魯棒自適應(yīng)容錯(cuò)控制問(wèn)題。文[15]針對(duì)一類具有執(zhí)行器故障的非線性系統(tǒng)，提出基于線性矩陣不等式的一體化魯棒主動(dòng)容錯(cuò)控制器設(shè)計(jì)方法。

目前文章中執(zhí)行器故障的表現(xiàn)形式主要分以下兩類，第一類為執(zhí)行器故障情況隨時(shí)間而改變，如文[16]針對(duì)一類帶有執(zhí)行器故障的不確定線性系統(tǒng)，設(shè)計(jì)帶有參數(shù)更新律的自適應(yīng)H無(wú)窮容錯(cuò)控制器，其執(zhí)行器故障模式為uF（t） = u（t） + F（t），F(xiàn)（t）為其時(shí)變故障向量;第二類為引入故障開關(guān)陣F = diag{f1，f2，…fn}，fi值為1，代表第 個(gè)執(zhí)行器正常，值為0，代表第i個(gè)執(zhí)行器失效。如文[17]針對(duì)一類網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時(shí)滯模型，設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋形式的自適應(yīng)容錯(cuò)控制器，執(zhí)行器故障模式表示為uF（t）=（1-ρ）u（t），其中ρ = diag{ρ1，ρ2，…，ρn}，ρi∈{0，1]是未知常數(shù)，ρi = 1和ρi = 0分別代表第i個(gè)執(zhí)行器故障或正常。

容錯(cuò)控制可分為主動(dòng)容錯(cuò)和被動(dòng)容錯(cuò)兩大類別。主動(dòng)容錯(cuò)控制需要在線提取故障診斷信息，所設(shè)計(jì)的控制器結(jié)構(gòu)和參數(shù)均需要在線調(diào)整，目前應(yīng)用最為廣泛的主動(dòng)容錯(cuò)方法為自適應(yīng)容錯(cuò)控制，此方法可以有效應(yīng)對(duì)各種故障類型，在線動(dòng)態(tài)彌補(bǔ)故障情況，進(jìn)而設(shè)計(jì)出期望的系統(tǒng)性能，但自適應(yīng)率對(duì)于故障的估算通常會(huì)消耗大量的計(jì)算信息和計(jì)算時(shí)間，且自適應(yīng)系統(tǒng)自身也存在非線性特性，而這些問(wèn)題均會(huì)削弱系統(tǒng)的容錯(cuò)效果。被動(dòng)容錯(cuò)即設(shè)計(jì)一個(gè)控制器，其結(jié)構(gòu)和參數(shù)都是恒定的，不需要在線調(diào)整，在設(shè)計(jì)系統(tǒng)之前就已經(jīng)考慮了系統(tǒng)可能發(fā)生的故障，系統(tǒng)不包含故障檢測(cè)和隔離單元，具有易于實(shí)現(xiàn)的優(yōu)點(diǎn)，但同時(shí)也增加了系統(tǒng)的保守性，魯棒容錯(cuò)控制就是一種典型的被動(dòng)容錯(cuò)方法。

值得指出的是，無(wú)論是主動(dòng)容錯(cuò)還是被動(dòng)容錯(cuò)，目前所提出的系統(tǒng)故障模型大多為傳感器或執(zhí)行器發(fā)生故障，且隨機(jī)設(shè)定故障傳感器或執(zhí)行器，均沒(méi)有考慮對(duì)傳感器或執(zhí)行器故障個(gè)數(shù)進(jìn)行稀疏約束的問(wèn)題，針對(duì)這類問(wèn)題，本文對(duì)一類帶有稀疏執(zhí)行器故障的事件觸發(fā)網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)進(jìn)行容錯(cuò)控制，將故障執(zhí)行器個(gè)數(shù)的約束轉(zhuǎn)化為對(duì)系統(tǒng)控制器增益矩陣行的勢(shì)約束，利用混合整數(shù)方法來(lái)解決這類帶有稀疏約束的容錯(cuò)控制問(wèn)題，結(jié)合Lyapunov泛函方法以及矩陣變換，得到使系統(tǒng)呈指數(shù)漸近穩(wěn)定的充分條件以及具有行稀疏約束的控制器設(shè)計(jì)方法，并通過(guò)數(shù)值例子證明此方法的有效性。

2? ?問(wèn)題描述

考慮如下一類線性系統(tǒng)：

（t） = Ax（t） + Bu（t）? ? ? y（t） = Cx（t）? ? ? ? （1）

其中：x（t）∈Rn為系統(tǒng)狀態(tài)向量，u（t）∈Rm為系統(tǒng)的控制輸入向量，y（t）∈RT為被控輸出量，A、B、C為適當(dāng)維數(shù)的常數(shù)矩陣，系統(tǒng)初始條件為x（0） = x0。在本文中，我們利用采樣周期為h的采樣器來(lái)測(cè)量狀態(tài)x（t），為了充分利用網(wǎng)絡(luò)資源，減少冗余數(shù)據(jù)的傳輸和計(jì)算，并非所有測(cè)量狀態(tài)都將用于反饋控制，為此，我們提出一種基于事件觸發(fā)的信息傳輸機(jī)制來(lái)確定狀態(tài)測(cè)量值是否被傳遞給控制器，以用于控制輸入計(jì)算。其系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖1所示：

圖1? ?事件觸發(fā)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意圖

系統(tǒng)的采樣時(shí)刻序列為{kh}∞1，而被傳輸?shù)臄?shù)據(jù)采樣時(shí)刻序列為{tkh}∞1，為了更好地說(shuō)明問(wèn)題，不考慮信號(hào)采樣和傳輸過(guò)程中的時(shí)延問(wèn)題，但對(duì)于具有時(shí)延的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)，所提出的方法同樣適用。在當(dāng)前采樣狀態(tài)值x（kh）與最近一次被傳輸?shù)牟蓸訝顟B(tài)值x（tkh）之間的誤差突破事件觸發(fā)閥值條件時(shí)，當(dāng)前采樣狀態(tài)值才可被傳輸，本文所采用的事件觸發(fā)條件如式（2）所示：

[x（kh） - x（tkh）]TΦ[x（kh） - x（tkh）] <

δxT（tkh）Φx（tkh）? ? ? ? （2）

其中，Φ > 0為加權(quán)矩陣，δ∈（0，1）為事件閥值參數(shù)。那么時(shí)間序列{tkh}∞1的產(chǎn)生可表示為如下形式：

tk+1h = minkh > tkh|[x（kh） - x（tkh）]TΦ[x（kh） - x（tkh）] ≥ δxT（tkh）Φx（tkh）

（3）

選取狀態(tài)反饋控制律，其形式為：

u（t） = Kx（tkh），t∈[tkh，tk+1h]? ? ?Cardrow（K）≤κr

（4）

Km×n是待求的控制器增益矩陣，Cardrow（K）≤κr表示矩陣的非零行個(gè)數(shù)不超過(guò)κr個(gè)，全零行的個(gè)數(shù)不少于 m - κr個(gè)，1≤κr≤m，即意味著系統(tǒng)故障執(zhí)行器個(gè)數(shù)不少于m-κr個(gè)。換言之，當(dāng)控制器增益矩陣非零行個(gè)數(shù)為κr時(shí)，系統(tǒng)需要選取κr個(gè)執(zhí)行器保持工作以維持系統(tǒng)所需的性能。當(dāng)κr值越小即意味著系統(tǒng)在保持一定性能指標(biāo)的前提下所需執(zhí)行器的個(gè)數(shù)越少，系統(tǒng)的容錯(cuò)能力越強(qiáng)，從而可以節(jié)省網(wǎng)絡(luò)資源，降低成本。在區(qū)間t∈[tkh，tk+1h）內(nèi)，定義：

rk，ih=tkh+ih，i∈Ω：=0，1，2，…，tk+1-tk-1（5）

e（rk，ih） = x（rk，ih） - x（tkh）? ? ? ? （6）

當(dāng)t∈[tkh，tk+1h），i∈Ω時(shí)，令η（t） = t - rk，i h，那么，0≤η（t）

x（tkh）=x（t-η（t））-e（rk，ih），t∈[tkh，tk+1h]? （7）

根據(jù)式（4）可將帶有執(zhí)行器故障的事件觸發(fā)閉環(huán)系統(tǒng)表示為：

（t） = Ax（t） + BKx（t - η（t） -BKe（rk，i））

y（t） = Cx（t），t∈[tkh，tk+1h]? ? （8）

Cardrow（K） ≤ κr

目標(biāo)是設(shè)計(jì)如式（4）所示的行稀疏狀態(tài)反饋控制器增益矩陣K，將系統(tǒng)故障執(zhí)行器個(gè)數(shù)的約束轉(zhuǎn)化為對(duì)控制器增益矩陣行的勢(shì)約束，使得閉環(huán)系統(tǒng)（8）在有限個(gè)執(zhí)行器失效的情況下達(dá)到指數(shù)漸近穩(wěn)定。

3? ?主要結(jié)果

在本節(jié)中，將給出閉環(huán)系統(tǒng)（8）呈指數(shù)漸近穩(wěn)定的充分條件，以下引理將被用于主要結(jié)果的推導(dǎo)：

引理1[18]：Y，R為適當(dāng)維數(shù)的矩陣，R>0，存在常數(shù)h>0，η（t）∈[0，h），且可積函數(shù)■（t）：[-h，0]→Rn，如果矩陣R? ? ?YYT? ? R > 0成立，那么不等式（9）即可成立。

-h■■（v）R■（v）dv ≤ ξT（t）πξ（t）? ? ? ? （9）

其中

ξ（t） =? ? ? x（t）x（t - η（t））? ?x（t - h），π =-R? ? ?R + Y? ? ? -Y *? -2R-Y-YT? R+Y *? ? ? ? ? *? ? ? ? ? ?-R

（10）

*表示對(duì)稱矩陣中的對(duì)稱項(xiàng)。

實(shí)現(xiàn)對(duì)控制器增益矩陣行的勢(shì)約束是關(guān)鍵部分，根據(jù)文[19]中關(guān)于向量零范數(shù)等效轉(zhuǎn)換的論述，本文對(duì)矩陣的行稀疏約束進(jìn)行如下處理。

引理2[19]：對(duì)于一個(gè)矩陣K∈Rm×n，假設(shè)矩陣 中各元素絕對(duì)值的最大值不超過(guò)M，即矩陣滿足條件‖K‖≤M，M是一個(gè)正數(shù)，如果不等式Cardrow（K）≤κr成立，則存在一個(gè)二進(jìn)制序列bi∈{0，1}，i = 1，2，…，m，使得不等式（11）成立。

K（i，j） ≤ M（1 - bi），■bi ≥ m - κr? ? ?（11）

證明：必要性：因?yàn)镃ardrow（K）≤κr，其代表矩陣K非零行的個(gè)數(shù)r（K）≤κr，所以m-r（K）≥m-κr。定義一個(gè)二進(jìn)制序列bi，當(dāng)矩陣K第i行為非零行，bi值為0，當(dāng)矩陣K第i行為全零行，bi值為1，則容易驗(yàn)證■bi = m-r（K）≥m-κr。又因?yàn)椤琄‖≤M，所以bi為0時(shí)，K（i，j）≤M，bi為1時(shí)，K（i，j） = 0，所以，K（i，j）≤M（1 - bi）。

充分性：由于K（i，j）≤M（1 - bi）且bi是一個(gè)二進(jìn)制序列，所以當(dāng)bi為1時(shí)，可使矩陣K第i行為全零行，那么■bi即代表矩陣K全零行的個(gè)數(shù)。因?yàn)椤鯾i ≥ m-κr，則表明矩陣K全零行的個(gè)數(shù)不少于m-κr個(gè)，也表明矩陣K非零行的個(gè)數(shù)不多于κr個(gè)，即Cardrow（K）≤κr，證畢。

通過(guò)這樣的方法將稀疏約束條件轉(zhuǎn)化為混合整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題，利用Matlab中intlinprog函數(shù)即可有效地解決這類求解問(wèn)題。

下面將給出閉環(huán)系統(tǒng)（8）的穩(wěn)定性條件，并利用此條件給出容錯(cuò)控制器的設(shè)計(jì)方法。

定理1：給定的標(biāo)量α > 0，σ > 0，δ∈（0，1），h > 0以及一個(gè)滿足1≤κr≤m的整數(shù)，如果存在實(shí)矩陣P > 0，Q > 0，R > 0，以及具有適當(dāng)維數(shù)的矩陣Y，K，且存在一個(gè)標(biāo)量M > 0以及一個(gè)二進(jìn)制序列bi∈{0，1}，i = 1，2，…，m，使得下列不等式成立：

（13）

其中Γ11 = AP + PAT + 2αP + Q - e-2αhR，則帶有稀疏執(zhí)行器故障的事件觸發(fā)網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)在衰減速率為α的情況下呈指數(shù)穩(wěn)定，且K = KP-1，并滿足條件Cardrow（K）≤κr。

證明：選取如下李雅普諾夫函數(shù)：

V（t，x（t）） = xT（t）Px（t）

+ ■e2α? （v - t）xT（v）Qx（v）dv

+ h■■e2α? （s- t）xT（s）R■（s）dsdv? ? （14）

其中P、Q、R為正定矩陣。

對(duì)李雅普諾夫函數(shù)關(guān)于時(shí)間t求導(dǎo)可得：

■（t，x（t）） = 2xT（t）P■（t）

+ ■2αe2α? （v - t）xT（v）Qx（v）dv

+ xT（t）Qx（t） + h2■T（t）R■（t）

+ h■■-2αe-2α? （s - t）■T（s）R■（s）dsdv

- h■e2α? （v - t）■T（v）R■（v）dv? ? ? ? （15） ? ? ? ? 將式（15）加上2αV（t，x（t）），可得：

■（t，x（t）） + 2αV（t，x（t））=

2xT（t）P■（t） + 2αxT（t）Px（t） + xT（t）Qx（t）+

h2■T（t）R■（t） - h■e2α? （v - t）■T（v）R■（v）dv

（16）

根據(jù)引理1可知：

-h■e2α? （v - t）■T（v）R■（v）dv ≤ e-2αhξT（t）πξ（t）

（17）

其中，

ξ（t）=x（t）x（t - η（t））x（t - h），π=-R? ? ?R + Y? ? ? ? -Y *? ? -2R-Y-YT? R+Y *? ? ? ? ? ? *? ? ? ? ? ?-R

所以式（16）可表示為：

■（t，x（t）） + 2αV（t，x（t））

≤2xT（t）P[Ax（t） + BKx（t - η（t））-BKe（rk，i）]+

2αxT（t）Px（t） + xT（t）Qx（t） + h2xT（t）Rx（t）+

e-2αhξT（t）πξ（t）? ? ? ? （18）

由事件觸發(fā)條件式（2）可知：

eT（rk，i）Φe（rk，ih）

< δ[x（t-η（t））-e（rk，ih）]TΦ[x（t-η（t））-e（rk，ih）]

其等價(jià)于：

[xT（t - η（t））? eT（rk，ih）]? δΦ? ? ? -δΦ-δΦ? （δ-1）Φx（t-η（t））? e（rk，ih）>0

（19）

結(jié)合式（18）-（19），可得如下不等式：

（t，x（t））+2αV（t，x（t））≤φ（t）（Υ+h2MTRM）φ（t）

（20）

其中，

φ（t） =? ? ξ（t）e（rk，ih），M = [A? ?BK? ?0? ?-BK]

Υ = Υ11? ? ? PBK+e-2αh（R + Y）? ? ? ? ? -e-2αhY? ? ? ?-PBK *? δΦ-e-2αh（2R + Y + YT）? e-2αh（R + Y）? ? -δΦ *? ? ? ? ? ? ? ? ? *? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?e-2αhR? ? ? ? ? 0 *? ? ? ? ? ? ? ? ? *? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? *? ? ? ? （δ - 1）Φ

且Υ11 = PA + ATP + 2αP + Q - e-2αhR，結(jié)合Schur補(bǔ)定理，可得到系統(tǒng)在衰減速率為α的情況下呈指數(shù)漸近穩(wěn)定的一個(gè)充分條件：

R? ? ?YYT? ? R ≥ 0

Ξ = Ξ11? ? ? PBK+e-2αh（R + Y）? ? ? ? ? -e-2αhY? ? ? ?-PBK? ? ? ? ?hAT *? ? δΦ-e-2αh（2R + Y + YT）? ?e-2αh（R + Y）? ?-δΦ? ? ? ? ?hKTBT *? ? ? ? ? ? ? ? ? *? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?e-2αhR? ? ? ? ? ? 0? ? ? ? ? ? ? ?0 *? ? ? ? ? ? ? ? ? *? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? *? ? ? ? ? （δ - 1）Φ? ?-hKTBT *? ? ? ? ? ? ? ? ? *? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? *? ? ? ? ? ? ? ?*? ? ? ? ? ? ? -R-1<0

（21）

其中Ξ11 = PA + ATP + 2αP + Q - e-2αhR。

基于以上對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的分析，可通過(guò)矩陣變換來(lái)獲得系統(tǒng)的控制器增益矩陣。對(duì)矩陣Ξ兩邊均乘以對(duì)角陣{P-1，P-1，P-1，P-1，I}，令P = P-1，Q = P-1QP-1，R = P-1RP-1，K = KP，Y = P-1YP-1，Φ = P-1ΦP-1，可得式（22），

Γ11? ? ? B■+e-2αh（■+■）? ? ? ? ? -e-2αh■? ? ? ?-B■? ? ? ? ? h■AT *? δ■-e-2αh（2■+■+■T）? e-2αh（■+■）? ? -δ■? ? ? ? ? h■TBT *? ? ? ? ? ? ? ? ? *? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?e-2αh■? ? ? ? ? ?0? ? ? ? ? ? ? ? ?0 *? ? ? ? ? ? ? ? ? *? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? *? ? ? ? （δ - 1）■? ? ? -h■TBT *? ? ? ? ? ? ? ? ? *? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? *? ? ? ? ? ? ? ?*? ? ? ? ? ? ? ?-R-1<0

（22）

同時(shí)得到系統(tǒng)的控制器增益矩陣K = KP-1。

由于矩陣中存在非線性項(xiàng)-R-1，且-R-1=-[P-1 RP-1]-1，為了便于使用Matlab工具箱進(jìn)行求解，可將其進(jìn)行如下轉(zhuǎn)換：

由于P，R為正定矩陣，必然存在參數(shù)σ使得式（23）成立，

（■ - σ■）■-1（■ - σ■） ≥ 0? ? ? ? （23）

將其展開后可得：

-PR-1■ ≤ -2σ■ + σ2■? ? ? ? （24）

所以-R-1可用-2σ■ + σ2R來(lái)替代，由此可得式（13），若式（13）成立，則式（25）即可成立。

■（t，x（t）） + 2αV（t，x（t）） < 0? ? ? ? （25）

結(jié)合引理2可知，若式（26）成立，則控制器增益矩陣K滿足稀疏約束條件，即Cardrow（K）≤κr。

■（i，j）≤M（1-bi），■bi≥m-κr? ? ? ? （26）

由此說(shuō)明，基于事件觸發(fā)的稀疏執(zhí)行器故障網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)在衰減速率為α的情況下呈指數(shù)漸近穩(wěn)定，控制器增益矩陣K = KP-1，且滿足條件Cardrow（K）≤κr，證畢。

4? ?仿真實(shí)例

為了證明所提方法的有效性，以波音747的飛機(jī)橫向動(dòng)力學(xué)模型為仿真算例，其線性化模型可以描述為[20]：

■（t） = Ax（t） + Bu（t）? x（t） = [β，yr，p，？準(zhǔn)]T? （27）

其中，β代表側(cè)滑角，yr代表偏航率，p為滾轉(zhuǎn)率，？準(zhǔn)為滾轉(zhuǎn)角，初始條件為x（0） = [0.5，-0.8，-1， 0.8]T，u是代表三個(gè)控制信號(hào)的控制向量u = [u1，u2，u3]，分別代表三個(gè)方向舵的伺服控制系統(tǒng)，在40000英尺水平飛行和前進(jìn)速度為774英尺/秒（馬赫0.8）的情況下，波音747橫向動(dòng)力學(xué)矩陣如下：

A = -0.0558? ?-0.9968? ?0.0802? ?0.0415? 0.598? ? ? -0.115? ?-0.0318? ? ? ?0 -3.05? ? ? ? 0.388? ? ?-0.465? ? ? ? 0? ? ?0? ? ? ? ? 0.0805? ? ? ? ?1? ? ? ? ? ? 0

B = 0.00729? ?0.01? ?0.05 -0.475? ?-0.5? ?-0.3? 0.153? ? ? 0.2? ? ?0.1? ? ?0? ? ? ? ? ?0? ? ? ? 0

選擇采樣周期h = 0.1s，指數(shù)衰減率α = 0.01，增益矩陣K各元素絕對(duì)值的最大值不超過(guò)105，即M = 105，事件觸發(fā)閥值參數(shù)δ = 0.2，以κr≤2為例，利用Matlab中的LMI工具箱求解線性矩陣不等式（13），可求得增益矩陣K為：

K = -0.21759? 0.64001? 0.088754? 0.058592-0.21621? 0.64755? 0.089534? 0.058649? ? ? ? 0? ? ? ? ? ? ?0? ? ? ? ? ? ? 0? ? ? ? ? ? ? ?0

事件觸發(fā)權(quán)重矩陣Φ為：

Φ=? 0.0032619? ? ?-0.0048638? ? -0.00050473? ? -0.00067897 -0.0048683? ? ? 0.018229? ? ? ?0.0027539? ? ? ? ?0.0015164-0.00050473? ? 0.0027539? ? ? 0.00049883? ? ? ?0.00020134-0.00067897? ? 0.0015164? ? ? 0.00020134? ? ? ?0.00018582

在運(yùn)行時(shí)間T = 50 s情況下，系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)曲線如圖2所示，事件觸發(fā)時(shí)刻如圖3所示：

圖3? ?事件觸發(fā)時(shí)刻圖

由以上仿真結(jié)果可知，Cardrow（K） = 2，即代表系統(tǒng)控制器增益矩陣K有兩行為非零行，也可代表系統(tǒng)有一個(gè)執(zhí)行器出現(xiàn)故障，其余兩個(gè)均正常。根據(jù)圖2可知，在一個(gè)執(zhí)行器出現(xiàn)故障的情況下，系統(tǒng)仍可保持穩(wěn)定，從而說(shuō)明系統(tǒng)需選取兩個(gè)執(zhí)行器保持工作以維持系統(tǒng)所需的性能，也可說(shuō)明系統(tǒng)具有一定的容錯(cuò)能力。在系統(tǒng)仿真過(guò)程為50秒的情況下，被傳輸?shù)牟蓸訝顟B(tài)共120次，與采樣次數(shù)相比數(shù)據(jù)傳輸量明顯降低，表明帶有稀疏執(zhí)行器故障的事件觸發(fā)網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)可有效節(jié)省網(wǎng)絡(luò)資源，達(dá)到降低成本的目標(biāo)。

5? ?結(jié)? ?論

提出了一種針對(duì)網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)稀疏執(zhí)行器故障的容錯(cuò)控制設(shè)計(jì)方法。通過(guò)對(duì)控制器增益矩陣行的勢(shì)約束實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)故障執(zhí)行器個(gè)數(shù)的稀疏約束，利用混合整數(shù)的方法解決這類稀疏約束問(wèn)題，并結(jié)合李雅普諾夫泛函方法得出系統(tǒng)在事件觸發(fā)條件下呈指數(shù)漸近穩(wěn)定的充分條件以及具有行稀疏約束控制器的設(shè)計(jì)方法，最后通過(guò)一個(gè)實(shí)際數(shù)值仿真例子驗(yàn)證了所提方法的有效性。

參考文獻(xiàn)

[1]? ? YE S，ZHANG Y，WANG X. Fault-tolerant control for a class of uncertain systems with actuator faults[J]. Tsinghua Science & Technology，2010，15（2）：174—183.

[2]? ? WU L. Robust adaptive fault-tolerant control for linear systems with actuator failures and mismatched parameter uncertainties[J]. Iet Control Theory & Applications，2014，8（6）：441—449.

[3]? ? XU Y，TONG S，LI Y. Prescribed performance fuzzy adaptive fault-tolerant control of non-linear systems with actuator faults[J]. Iet Control Theory & Application，2014，8（6）：420—431.

[4]? ? WANG Z，RODRIGUES M. Actuator fault estimation observer design for discrete-time linear parameter varying descriptor systems[J]. International Journal of Adaptive Control & Signal Processing，2015，29（2）：242—258.

[5]? ? DEFOORT M，VELUVOLU K. Adaptive sensor and actuator fault estimation for a class of uncertain Lipschitz nonlinear systems[J]. International Journal of Adaptive Control & Signal Processing，2016，30（2）：271—283.

[6]? ? LI Y，YANG G. Robust fuzzy adaptive fault-tolerant control for a class of nonlinear systems with mismatched uncertainties and actuator fault[J]. Nonlinear Dynamic，2015，81（1—2）：1—15.

[7]? ? YE D，PARK J. Adaptive robust actuator fault compensation for linear systems using a novel faults estimation mechanism[J]. International Journal of Robust & Nonlinear Control，2015，26（8）：1597—1614.

[8]? ? 王君，姚曉婉. NNCS混合容錯(cuò)控制方法[J].控制與決策，2018，33（2）：316—329.

[9]? ? SAMIR Z，HEMZA M. Actuator fault tolerant control using adaptive RBFNN fuzzy sliding mode controller for coaxial octorotor UAV[J]. ISA Transactions，2018，26（8）：256—268.

[10]? YANG P ，MA B. Fault-tolerant consensus of leader following multi-agent systems based on distributed fault estimation observer[J]. International Journal of Control Automation and Systems，2018，16（5）：1—9.

[11]? XIE C，YANG G. Decentralized adaptive fault-tolerant control for large-scale systems with external disturbances and actuator faults[J]. Automatica，2017，85（8）：83—90.

[12]? 張進(jìn)，彭晨. 基于事件觸發(fā)的網(wǎng)絡(luò)化T-S模糊系統(tǒng)容錯(cuò)控制[J]. 信息與控制，2016，45（1）：73—85.

[13]? DU D，XU S. Actuator fault detection for discrete-time switched linear systems with output disturbance[J]. International Journal of Control，Automation and System，2017，15（6）：2590—2598.

[14]? WANG X ，XIANG C. Robust adaptive fault-tolerant control of a tandem coaxial ducted fan aircraft with actuator saturation[J]. Chinese Journal of Aeronautics，2018，16（2）：365—378.

[15]? 劉聰，錢坤. 基于LMI的一體化魯棒主動(dòng)容錯(cuò)控制器設(shè)計(jì)[J]. 控制與決策，2018，33（1）：53—59.

[16]? 彭曉易，武力兵. 一類帶有執(zhí)行器故障不確定線性系統(tǒng)的自適應(yīng)H無(wú)窮控制[J]. 遼寧科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2017，40（4）：292—297.

[17]? 鄧偉璍，費(fèi)敏銳. 帶有執(zhí)行器故障的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的自適應(yīng)容錯(cuò)H無(wú)窮控制[J]. 控制理論與應(yīng)用，2010，27（2）：269—272.

[18]? GE X，HAN Q L. Distributed event-triggered H-infinity filtering over sensor networks with communication delays[J]. Information Science，2015，29（1）：128—142.

[19]? BURDAKOV O P，KANZOW C，SCHWARTZ A. Mathematical programs with cardinality constraints：reformulation? ?by complementarity-type conditions and a regulation? method[J]. SIAM Journal on Optmization，2016，26（1）：397—425.

[20]? TAO G，CHEN S H. An adaptive actuator failure compensation controller using output feedback[J]. IEEE Tr- ansactions on Automatic Control，2002，47（3）：506—511.