李良，范啟富，徐金仙

一種以扭轉(zhuǎn)系數(shù)K實(shí)現(xiàn)諧振響應(yīng)分析的方法

李良1,2，范啟富1，徐金仙3

（1.上海交通大學(xué) 電子信息與電氣工程學(xué)院自動(dòng)化系，上海 200240；2.松下電器機(jī)電（中國）有限公司，上海 200120；3.上海浩蕊峰自動(dòng)化設(shè)備有限公司，上海 201204）

以精密機(jī)床的機(jī)械諧振響應(yīng)特性研究為出發(fā)點(diǎn)，以電機(jī)動(dòng)子及負(fù)載作為兩個(gè)慣性系統(tǒng)、通過扭轉(zhuǎn)系數(shù)作為銜接，對慣性系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)特性進(jìn)行建模，分析機(jī)械諧振特性與上述變量之間的相關(guān)特性。給出了一種以扭轉(zhuǎn)系數(shù)為基礎(chǔ)的諧振系統(tǒng)諧振響應(yīng)分析方法，建立了數(shù)學(xué)模型，進(jìn)一步引申到伺服控制系統(tǒng)的閉環(huán)特性，通過MATLAB對不同慣性、扭轉(zhuǎn)系數(shù)組合的閉環(huán)特性進(jìn)行頻率分析，解構(gòu)機(jī)械諧振發(fā)生的機(jī)制，并在線性模組的測試中獲得驗(yàn)證。

扭轉(zhuǎn)系數(shù)；慣量；彈性模量；諧振響應(yīng)特性

在數(shù)控機(jī)床等需要高精度傳動(dòng)控制場合，電氣系統(tǒng)增益的提升受到機(jī)械諧振特性響應(yīng)的限制，提升至一定程度會出現(xiàn)系統(tǒng)振蕩，增益無法繼續(xù)提高，限制了整個(gè)傳動(dòng)系統(tǒng)的響應(yīng)特性。為改善響應(yīng)特性，文獻(xiàn)[1]提出了慣量必須匹配的觀點(diǎn)，文獻(xiàn)[2-3]提出了慣量比的合理取值，文獻(xiàn)[4]提出了基于PI的諧振抑制方式，文獻(xiàn)[5]則用達(dá)朗貝爾原理給出了剛體基于慣性力平衡的動(dòng)力學(xué)模型，基于這種方法更容易建立扭轉(zhuǎn)系動(dòng)力學(xué)模型。

為了提升效率和加工質(zhì)量，傳動(dòng)部件的系列化、標(biāo)準(zhǔn)化、智能化設(shè)計(jì)是未來趨勢[6]。高效、精密的機(jī)械設(shè)計(jì)過程中，需要一種簡潔的方法，將扭轉(zhuǎn)系數(shù)K和期望的諧振特性范圍引入到傳動(dòng)器件的機(jī)械設(shè)計(jì)中去。

以數(shù)控機(jī)床為例，典型傳動(dòng)方式由電機(jī)、聯(lián)軸器、絲桿、導(dǎo)軌模組組成，經(jīng)典的傳動(dòng)模型無法分析諧振的發(fā)生特性。嘗試通過引入扭轉(zhuǎn)系數(shù)K，從扭轉(zhuǎn)系數(shù)、負(fù)載慣量對于閉環(huán)系統(tǒng)響應(yīng)帶寬影響的角度分析傳動(dòng)系統(tǒng)諧振發(fā)生特性。

1 傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型及傳動(dòng)系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)模型

理想的傳動(dòng)模型是K電機(jī)轉(zhuǎn)子和負(fù)載為純剛性連接，即轉(zhuǎn)子所轉(zhuǎn)過的角度與負(fù)載在任何時(shí)刻都是同步的，然而，實(shí)際的傳動(dòng)連接必然存在彈性扭轉(zhuǎn)。假定電機(jī)和負(fù)載之間存在彈性扭轉(zhuǎn)連接，扭轉(zhuǎn)角度為，傳動(dòng)模型如圖1所示。

圖1 傳動(dòng)系統(tǒng)模型

圖1中電機(jī)轉(zhuǎn)子和負(fù)載作為兩個(gè)不同的慣量系統(tǒng)，以扭轉(zhuǎn)系數(shù)K作為銜接，建立傳動(dòng)扭轉(zhuǎn)模型如圖2所示。

圖2 傳動(dòng)系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)模型

電機(jī)驅(qū)動(dòng)的負(fù)載包括電機(jī)本體的慣量J和之外的J。

運(yùn)動(dòng)方程[9]為：

假設(shè)理想狀態(tài)下粘滯摩擦系數(shù)為0，外部擾動(dòng)力矩為0，消去扭轉(zhuǎn)角度變量可以獲得：

式中：為拉式變換的復(fù)參變量。

其中，扭轉(zhuǎn)系數(shù)模型為：

式中：為扭轉(zhuǎn)彈性模量，GPa；為扭轉(zhuǎn)處橫截面的扭轉(zhuǎn)常量（Torsion Constant），與截面形狀和面積大小相關(guān)；為負(fù)載的長度，指與柱狀連接負(fù)載發(fā)生扭轉(zhuǎn)部分的長度。

為便于分析，簡化速度環(huán)增益為K、電流環(huán)增益為K，構(gòu)造伺服電機(jī)控制的速度閉環(huán)控制回路如圖3所示。

為速度指令；為轉(zhuǎn)矩電流指令；為速度偏差，；KV為速度環(huán)增益；KC為電流環(huán)增益

2 通過仿真系統(tǒng)來模擬（，）閉環(huán)系統(tǒng)傳動(dòng)模型的響應(yīng)曲線

獲得系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型之后，通過MATLAB仿真，可以比較直觀地獲得諧振頻率的響應(yīng)特性分析，建立參數(shù)對照組，根據(jù)模型的三個(gè)主要變量：J、J、K，設(shè)計(jì)不同組合的對照組。

Case1：低J、低J、低K的頻率響應(yīng)。

Case2：低J、高J、低K的頻率響應(yīng)。

Case3：低J、高J、高K的頻率響應(yīng)。

Case4：低J、低J、高K的頻率響應(yīng)。

Case5：高J、低J、高K的頻率響應(yīng)。

如表1所示。

因已知閉環(huán)傳遞函數(shù)，代入J、J、K參數(shù)后，容易獲得如圖4所示頻率響應(yīng)曲線的仿真結(jié)果。

表1 仿真所采用的參數(shù)組

由此明確，通過扭轉(zhuǎn)系數(shù)K負(fù)載慣量J以及電機(jī)轉(zhuǎn)子慣量J實(shí)現(xiàn)頻率響應(yīng)分析可行。通過式（5），并定義慣量比＝J/J，對傳遞函數(shù)進(jìn)行重構(gòu)為：

定義：

式（6）可表示為：

圖4 不同參數(shù)的閉環(huán)頻率響應(yīng)

令：

此時(shí)式（8）可表示為一階形式：

由式（9）可見，當(dāng)≠ω時(shí)，慣量比在系統(tǒng)中起到了時(shí)間常數(shù)調(diào)整的作用。

由上述仿真及分析，可得結(jié)論：通過扭轉(zhuǎn)系數(shù)K的分析可以獲得諧振頻率響應(yīng)特性，而慣量比在其中起到了時(shí)間常數(shù)的作用。

3 實(shí)驗(yàn)對比

圖5為測試系統(tǒng)的系統(tǒng)構(gòu)成框圖，期望通過其中扭轉(zhuǎn)系數(shù)K的變化，來驗(yàn)證扭轉(zhuǎn)系數(shù)對于頻率響應(yīng)的影響特性。實(shí)驗(yàn)中，保證負(fù)載慣量不變，電機(jī)與負(fù)載連接的部分聯(lián)軸器采用外徑、長度相同的規(guī)格，根據(jù)式（4）對于扭轉(zhuǎn)系數(shù)的定義，K的唯一影響因素為電機(jī)的軸徑。

對實(shí)驗(yàn)內(nèi)容進(jìn)行說明：

測試負(fù)載采用圖6的絲杠模組，測試過程中不對絲杠模組進(jìn)行更換，僅更換電機(jī)和聯(lián)軸器，傳動(dòng)系統(tǒng)的構(gòu)成為：①伺服電機(jī)，②聯(lián)軸器，③絲杠模組、螺母副及直線導(dǎo)軌。

圖5 測試系統(tǒng)構(gòu)成示意圖

圖6 滾珠絲桿直線模組

（1）伺服電機(jī)

電機(jī)一和電機(jī)二如圖7、表2所示。

（2）聯(lián)軸器

聯(lián)軸器一：內(nèi)徑11 mm；外徑30 mm，長度40 mm。

聯(lián)軸器二：內(nèi)徑14 mm；外徑30 mm，長度40 mm。

（3）絲杠模組、螺母副及直線導(dǎo)軌

絲杠：長度500 mm，直徑10 mm，導(dǎo)程5 mm；螺母副及導(dǎo)軌為直線模組的配套件。

速度閉環(huán)響應(yīng)的測定：速度閉環(huán)響應(yīng)為伺服電機(jī)對于速度指令的響應(yīng)，通過控制系統(tǒng)發(fā)送速度指令，指令反饋通過編碼器的位置信息進(jìn)過一次微分后獲得。

圖7 直徑不同的兩組電機(jī)

速度閉環(huán)測試的響應(yīng)頻率分析可采用伺服電機(jī)廠家提供的FFT（Fast Fourier Transform，快速傅里葉變換）測定工具測定。FFT測試是通過對速度閉環(huán)系統(tǒng)發(fā)送振幅固定的一系列正弦速度指令，并采集相應(yīng)的系統(tǒng)反饋速度，采用快速離散傅里葉變換的方式提取閉環(huán)系統(tǒng)的頻率特征，即伯德圖。

閉環(huán)速度頻率響應(yīng)如圖8、圖9所示。

表2 不同軸徑下兩組測試參數(shù)的比較

圖8 電機(jī)一的頻率響應(yīng)特性曲線

-3 dB截止頻率作為閉環(huán)系統(tǒng)頻率響應(yīng)特性的判斷依據(jù)，可以通過伺服驅(qū)動(dòng)器廠家的FFT速度閉環(huán)頻率特性測定軟件經(jīng)過頻率特性測試獲得。

圖9 電機(jī)二的頻率響應(yīng)特性曲線

至此，本實(shí)驗(yàn)揭示了扭轉(zhuǎn)系數(shù)K對于頻率響應(yīng)的影響，從而證實(shí)了通過扭轉(zhuǎn)系數(shù)K實(shí)現(xiàn)諧振響應(yīng)分析的可行性。

進(jìn)一步證明上述結(jié)論需要區(qū)分轉(zhuǎn)子慣量、轉(zhuǎn)子半徑、轉(zhuǎn)子材質(zhì)進(jìn)行定量分析。本測試在一定程度上可說明扭轉(zhuǎn)系數(shù)K及負(fù)載慣量J對于傳動(dòng)系統(tǒng)響應(yīng)帶寬的影響，為進(jìn)一步分析傳動(dòng)系統(tǒng)諧振響應(yīng)帶寬改善提供了一種思路。

4 總結(jié)

本文從扭轉(zhuǎn)系數(shù)K的角度，分析傳動(dòng)系統(tǒng)的諧振響應(yīng)特性，旋轉(zhuǎn)傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的響應(yīng)帶寬受到傳動(dòng)軸的半徑、材質(zhì)、長度、負(fù)載的慣量的重要影響。提出了一種通過分析扭轉(zhuǎn)系數(shù)特性，實(shí)現(xiàn)改善傳動(dòng)系統(tǒng)諧振響應(yīng)特性的方法。改善傳動(dòng)系統(tǒng)的諧振響應(yīng)特性，可以從連接部分的材料、橫截面積以及縮短負(fù)載的長度著手，具體的實(shí)施方法比如選擇軸徑更大的電機(jī)、剛度更大的聯(lián)軸器、長度更短的絲杠，并盡可能地減小負(fù)載的整體慣量。

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Method of Resonant Response Analysis Based on Torsion CoefficientK

LI Liang1,2，F(xiàn)AN Qifu1，XU Jinxian3

( 1.School of Electronic Information and Electrical Engineering, Shanghai Jiaotong University, Shanghai 200240, China; 2.Panasonic Industrial Devices Sales (China) Co., Ltd., Shanghai 200120, China; 3.Shanghai Haoruifeng Automation Equipment Co., Ltd., Shanghai 201204, China )

On the basis of the research on the mechanical resonance response characteristics of the precision machine tool, this paper takes the motor rotor and load as two different inertial systems, and connects them with the torsional coefficientK. As a result, the torsional characteristics of the inertial systems are modeled, and the relevant characteristics between the mechanical resonance characteristics and the above variables are analyzed. This paper presents a method of resonance response analysis of resonance system based on torsion coefficientK, establishes a mathematical model which is further extended to the closed-loop characteristics of servo control system, analyzes the closed-loop characteristics of the combinations of different inertia and torsion coefficient by MATLAB, and deconstructs the mechanism of mechanical resonance which is later verified in the test of linear module.

torsion coefficient；inertia；elasticity modulus；resonant response characteristics

TG659

A

10.3969/j.issn.1006-0316.2020.03.003

1006－0316 (2020) 03－0014－06

2019－10－09

李良（1982－），男，上海人，碩士研究生，主要研究方向?yàn)樗欧姍C(jī)在精密機(jī)床中的改善、運(yùn)動(dòng)控制理論；范啟富（1962－），男，山西太谷人，博士，副教授，主要研究方向?yàn)檎駝?dòng)、運(yùn)動(dòng)控制、FPGA在控制與信號處理中的應(yīng)用；徐金仙（1971－），女，浙江金華人，碩士，高級工程師，主要研究方向?yàn)榫軝C(jī)械及儀器儀表。