宋建輝

(福建省福州格致中學(xué) 350001)

透過2019年高考全國3套試卷立體幾何試題，讀到了命題人對數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)思想以及數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)考查的新理解、新思考，對即將實(shí)施的“文理不分科”新高考模式背景下的高中數(shù)學(xué)教學(xué)有積極的指導(dǎo)意義.總體而言，2019年的立體幾何試題總體還是比較平穩(wěn)的，但是也有明顯的變化.具體來說體現(xiàn)在以下兩個(gè)方面.

1 保持風(fēng)格，突出重點(diǎn)

試題繼續(xù)保持以往的全國命題風(fēng)格和考查重點(diǎn)，考查空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系以及線線角、線面角、二面角、空間向量的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識、推理論證能力、空間想象能力和運(yùn)算求解能力，并且文、理科試題有同也有別.

2019年全國3套試卷立體幾何統(tǒng)計(jì)

從表中可以看出：

選填題，除全國1卷外，全國2卷和3卷文、理科試題相同，且題次也相同；考查的內(nèi)容保持了全國卷的風(fēng)格，如全國1卷理科的求外接球的體積，全國1卷文科的求點(diǎn)面距，全國2卷的面面位置關(guān)系的判定，全國3卷的異面直線的判定和計(jì)算兩點(diǎn)間距離.

解答題，3套試卷文、理科試題背景一致，分別是直四棱柱、長方體、斜三棱柱(圖形翻折)，且第1問3套試卷文、理科試題也一致，分別考查了線面平行、線面垂直、四點(diǎn)共面與面面垂直思維的證明，第2問均體現(xiàn)了文理科的差別，3套理科試卷集中考查了二面角的計(jì)算，文科試卷分別考查了幾何體的體積和表面積的計(jì)算，全國1卷文科再次考查了點(diǎn)面距的計(jì)算，實(shí)質(zhì)是體積法的應(yīng)用，值得注意的是全國1卷和2卷均為直接求二面角的正弦值，回避了二面角銳角或鈍角的判斷“爭議”問題.

2 穩(wěn)中有變，突出素養(yǎng)

立體幾何試題更加突出了對能力與素養(yǎng)的要求，比如向量法的應(yīng)用，基本圖形的理解，立體幾何作圖的要求等能力要求均有所提高，加大了立體幾何的難度和重視程度.具體體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：

(1)分值的變化

除全國2卷和3卷繼續(xù)保持“兩小一大”的傳統(tǒng)風(fēng)格外，全國1卷的文理科均只考查了“一小一大”，分值為17分，比以往少了5分，這種情況是全國卷歷史上第一次出現(xiàn)，其中一個(gè)原因是新課程剔除了三視圖的內(nèi)容.

(2)題型的變化

2019年全國2卷文理科第16題，試題首次設(shè)計(jì)了兩個(gè)空，從過去的一題一空發(fā)展到一題兩空，目的是為了更精確地區(qū)分考生，從而分出了難度梯次，使得不同層次的考生都有展示自己的平臺，加大了試題的區(qū)分度，也為文理合卷后的試題結(jié)構(gòu)變化做了有益探索.

(2019年全國2卷理16文16)中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”(圖1)．半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體．半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美．圖2是一個(gè)棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，且此正方體的棱長為1．則該半正多面體共有________個(gè)面，其棱長為________．

圖1

圖2

試題要求考生能根據(jù)條件作出正確的截面，將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面問題，正確分析出圖形中的基本元素及其相互關(guān)系，是立體幾何教學(xué)的核心內(nèi)容以及處理空間問題的核心方法之一.試題融數(shù)學(xué)文化于其中，側(cè)重于知識的理解和運(yùn)用，對立體幾何的教學(xué)有積極的引導(dǎo)作用.

(3)難度的變化

難度的變化之一體現(xiàn)在題目的次序上.從上表的統(tǒng)計(jì)可以看出，2019年全國3套文理試卷均有一道立體幾何試題在選填題“壓軸”位置上，解答題的位置也有所變化，部分試卷的立體幾何試題在解答題的第19題位置上，可以反饋出一個(gè)重要信息，命題者對于立體幾何的重視程度.

難度變化之二體現(xiàn)在注重綜合考查，關(guān)注知識交匯，深度考查數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法.

(2019全國1卷理12)已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E,F分別是PA,AB的中點(diǎn)，∠CEF=90°，則球O的體積為

試題要求考生能根據(jù)條件推理論證出該三棱錐的線面特征，進(jìn)而判斷球心與三棱錐的位置關(guān)系，從而找到兩者間的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題來進(jìn)行運(yùn)算求解. 既考查了考生的推理論證能力、空間想象能力以及立體幾何作圖能力，也考查了考生的建?；瘹w能力，深度考查了考生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

由題意先畫出圖形，如圖1所示，根據(jù)已知條件證明三棱錐P-ABC為正三棱錐，且三條側(cè)棱兩兩互相垂直，這是解決問題的切入點(diǎn)、關(guān)鍵點(diǎn).其次，利用補(bǔ)形法，如圖2，將該三棱錐嵌入長方體，直接求得外接球的半徑；或者利用重新“作圖”，如圖3所示，利用球的截面性質(zhì)，確定球心與三棱錐的位置關(guān)系，進(jìn)而求得球的半徑，最終根據(jù)球的體積公式解決問題．

圖1

圖2

圖3

立體幾何問題總是以各種棱錐(柱)作為載體，考查線線、線面與面面的位置關(guān)系，而各種棱錐(柱)都可以由一個(gè)外接的長方體切割而成，因此找到對應(yīng)的外接長方體(立方體)，就猶如搭好了腳手架，讓問題的解決變得一目了然，正所謂“識得棱錐真面目，只緣身在立體中”.

(4)考點(diǎn)的變化

2019年全國3套文理科試卷在立體幾何考查上，知識點(diǎn)寬度明顯拓寬，“遺漏”的知識技能再次呈現(xiàn). 如全國3卷的異面直線判斷以及四點(diǎn)共面的證明，那些看似不考的內(nèi)容被一部分教師忽視，但這次給了這些教師們一個(gè)警示，所謂的“遺漏”知識技能并不是不考了，教學(xué)與高考復(fù)習(xí)中不能存在“僥幸”心理.重視基礎(chǔ)知識落實(shí)和數(shù)學(xué)基本技能、方法的靈活應(yīng)用依然是當(dāng)今新課改的主題思想.

(2019全國3卷理19文19)圖1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC組成的一個(gè)平面圖形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°．將其沿AB,BC折起使得BE與BF重合，連接DG，如圖2．

圖1

圖2

(I)(文理同問)證明：圖2中的A,C,G,D四點(diǎn)共面，且平面ABC⊥平面BCGE；

(II)(理)求圖2中的二面角B-CG-A的大?。?文)求圖2中的四邊形ACGD的面積．

本題考查考生對基本幾何圖形的變形、組合和折疊變換的想象、掌握程度.試題設(shè)置空間圖形變換的情境，考查數(shù)學(xué)推理能力，主要考查考生的理性思維，題型基礎(chǔ)性和綜合性.

試題的命制是從矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC入手，將其沿AB,BC折起使得BE與BF重合，連接DG，從而構(gòu)建一個(gè)確定的空間圖形.文理科背景一致，均有3個(gè)小問，其中兩問不偏不難、中規(guī)中矩，而證明A,C,G,D四點(diǎn)共面是全國高考幾乎沒有考查過的內(nèi)容，雖然不難，但也有不少學(xué)生不適應(yīng).

實(shí)質(zhì)上該題是通過折疊前后圖形中的某些位置關(guān)系的不變性，認(rèn)識四點(diǎn)共面，證明它既可以根據(jù)基本事實(shí)1的推論“兩直線平行確定一個(gè)平面”，也可以運(yùn)用空間向量知識，通過向量運(yùn)算來實(shí)現(xiàn)證明，該題給廣大考生充分發(fā)揮和展示自己能力的機(jī)會.

(5)強(qiáng)調(diào)應(yīng)用

強(qiáng)調(diào)應(yīng)用是高考命題的指導(dǎo)思想之一，體現(xiàn)了新課標(biāo)的“在玩中學(xué)、在學(xué)中思、在思中得”的新理念，既有利于培養(yǎng)考生的探究意識和創(chuàng)新意識，又能夠很好地提升考生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).如全國3卷文理第16題是以學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐，利用3D打印技術(shù)制作模型為背景命制的與空間幾何體的體積有關(guān)的問題.

(2019全國3卷理16文16)學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐，利用3D打印技術(shù)制作模型，如圖，該模型為長方體ABCD-A1B1C1D1，挖去四棱錐O-EFGH后所得的幾何體，其中O為長方體的中心，E，F(xiàn)，G，H，分別為所在棱的中點(diǎn)，AB=BC=6cm，AA1=4cm，3D打印所用原料密度為0.9g/cm3，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為________g．

本題一改以往直接求解空間幾何體的體積的命題方式，以勞動(dòng)實(shí)踐為背景，考生只要認(rèn)真審題，認(rèn)真計(jì)算 ，就能得到正確的結(jié)果.本題主要考查考生應(yīng)用基本圖形的相關(guān)知識解決實(shí)際問題的能力，考查了直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)，也是近年來少有的將立體幾何與實(shí)際問題相結(jié)合的應(yīng)用題.

(6)凸顯選擇性

筆者研究發(fā)現(xiàn)，2019年全國3套試卷的立體幾何試題，無論理科試題還是文科試題，基本上都既能運(yùn)用綜合(幾何)法推理論證解決，也可以運(yùn)用向量法計(jì)算求解解決，充分體現(xiàn)了起點(diǎn)低、入口寬、有梯度的特點(diǎn)，給廣大考生充分發(fā)揮和自主選擇的機(jī)會.

(2019全國3卷理8文8)如圖，點(diǎn)N為正方形ABCD的中心，△ECD為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線段ED的中點(diǎn)，則

A．BM=EN，且直線BM，EN是相交直線

B．BM≠EN，且直線BM，EN是相交直線

C．BM=EN，且直線BM，EN是異面直線

D．BM≠EN，且直線BM，EN是異面直線

所以BM≠EN.

連接BD,BE，因?yàn)镹為正方形ABCD中心，所以N在BD上，且BN=DN，所以BM,EN是△BDE的中線，所以BM，EN是相交直線，故選B.

解法3：將圖形補(bǔ)成長方體，如圖所示.設(shè)AB=2，則ED=EC=2.

由于每種方法都可以歸結(jié)為原理選擇的不同，從而對應(yīng)邏輯推理能力、空間想象能力和運(yùn)算能力的難度也不盡相同.若用幾何法，則凸顯空間想象能力；若用建立空間直角坐標(biāo)系的代數(shù)法，則凸顯運(yùn)算能力；若用補(bǔ)形法，則凸顯了對基本圖形的深刻理解，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模思想和意識，這說明試題命題者充分尊重學(xué)生個(gè)體差異，求同存異，體現(xiàn)公平性原則，也體現(xiàn)了高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的本質(zhì).

3 教學(xué)啟示

通過以上分析，我們可以得到如下教學(xué)啟示.

3.1滲透立體幾何研究方法 發(fā)展直觀想象的數(shù)學(xué)素養(yǎng)

直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用圖形理解和解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng).在立體幾何的教學(xué)中，認(rèn)識基本立體圖形，認(rèn)識基本圖形的位置關(guān)系，發(fā)現(xiàn)和探索直線、平面平行(垂直)關(guān)系的判定和性質(zhì)等過程中，要立足從整體到局部，從一般到特殊，構(gòu)建立體幾何的研究路徑，滲透立體幾何的研究方法，發(fā)展學(xué)生直觀想象的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

3.2 重視“基本圖形”的作用 形成完善的知識與思想方法體系

立體幾何問題，對于學(xué)生來說，總感到圖形線條多，又處在不同平面內(nèi)，難以發(fā)現(xiàn)要素之間的關(guān)系.實(shí)際上，空間圖形有一些簡單的“基本圖形”，把這些基本圖形的組成元素的位置關(guān)系搞清楚了，再解決其它問題時(shí)，就很容易排除干擾，提煉出本質(zhì)特征來.因此，教學(xué)中要重視基本圖形的作用，立足從“基本圖形”到“變式圖形”再到“綜合圖形”，尤其要特別關(guān)注長方體這一最基本的立體圖形，充分發(fā)揮它在研究立體圖形及其位置關(guān)系中的作用，從而形成完善的知識與思想方法體系.

3.3 循序漸進(jìn)地安排推理訓(xùn)練 發(fā)展邏輯推理的數(shù)學(xué)素養(yǎng)

邏輯推理是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的核心，立體幾何則是發(fā)展學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)的重要載體，而立體幾何定理的掌握和理解是推理論證的保障.

立體幾何定理的學(xué)習(xí)既需要理解，也需要記憶，記住定理是運(yùn)用定理的基礎(chǔ).但是，當(dāng)下學(xué)生對幾何定理記憶的意識和習(xí)慣比較差，許多學(xué)生到了高三仍對立體幾何的基本定理說不清楚，談何運(yùn)用.因此，對立體幾何定理教學(xué)在重視理解的同時(shí)，還要強(qiáng)化表述和記憶，特別是“三種語言”—文字語言、符號語言、圖形語言之間的靈活轉(zhuǎn)換. 以筆者之見，文字語言有助于記憶，符號語言有助于推理過程的正確書寫，圖形語言有助于從復(fù)雜問題情境中提取定理的基本模型，從而發(fā)展邏輯推理的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

3.4 重視向量法的過程性教學(xué) 提高數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)素養(yǎng)

向量的核心價(jià)值就是向量的運(yùn)算，向量法就是通過向量的運(yùn)算研究空間基本圖形的位置關(guān)系和度量關(guān)系.在向量運(yùn)算以及運(yùn)用運(yùn)算解決幾何具體問題的教學(xué)過程中，應(yīng)立足讓學(xué)生理解建立在這些運(yùn)算對象上的各種運(yùn)算及其運(yùn)算律的內(nèi)涵及其背景、作用，在橫向聯(lián)系與比較中感悟“運(yùn)算”的本質(zhì)，體會并領(lǐng)悟運(yùn)算律在處理運(yùn)算中的價(jià)值與意義，在借助直觀、經(jīng)驗(yàn)構(gòu)建運(yùn)算思路，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，實(shí)施運(yùn)算獲得正確結(jié)果的過程中，提高運(yùn)算技能與能力，體會與領(lǐng)悟運(yùn)算對于問題解決的價(jià)值與意義，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．

2019年高考全國3套試卷的立體幾何試題，粗看與往年的試題是“一樣的風(fēng)景”， 但命題穩(wěn)中有變，立意鮮明，體現(xiàn)了“考知識，重推理，注運(yùn)算，顯素養(yǎng)”的命題原則，并且文、理科難度有“接近”的趨勢，對即將實(shí)施的“文理不分科”新高考模式背景下的高中數(shù)學(xué)教學(xué)有積極的指導(dǎo)意義，也是在為今后新高考方案——數(shù)學(xué)“文理合卷”作鋪墊.