表面積和體積的計(jì)算

◎相 輝

我們學(xué)習(xí)長(zhǎng)方體和正方體時(shí)，經(jīng)常會(huì)遇到求它們表面積和體積的問題。我們要結(jié)合條件，仔細(xì)觀察、思考，發(fā)揮空間想象力，將空間的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化成平面的位置關(guān)系，找出解題的路徑。

【例1】一個(gè)長(zhǎng)方體的正面和上面的面積之和是209平方厘米，除此以外，這個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬和高都是整厘米數(shù)且都是質(zhì)數(shù)。這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積和體積分別是多少？

【思路分析】要求長(zhǎng)方體的表面積和體積，通常要知道長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬和高。根據(jù)條件“長(zhǎng)方體的正面和上面的面積之和是209平方厘米”和乘法分配律可以知道長(zhǎng)×高+長(zhǎng)×寬=長(zhǎng)×（高+寬）=209。已知“長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬和高都是整厘米數(shù)且都是質(zhì)數(shù)”，因?yàn)?1×19=11×（17+2），所以長(zhǎng)方體的長(zhǎng)是11 厘米、高是17厘米、寬是2厘米。

解：由209=11×19=11×（17+2）可知長(zhǎng)方體的長(zhǎng)=11 厘米、寬=2 厘米、高=17厘米。

長(zhǎng)方體的表面積：（11×2+11×17+2×17）×2=486（平方厘米）

長(zhǎng)方體的體積：11×2×17=374（立方厘米）

答：這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積和體積分別是486平方厘米和374立方厘米。

【例2】一個(gè)長(zhǎng)方體，如果長(zhǎng)減少3 分米，體積就減少60 立方分米；如果寬減少2分米，體積就減少48立方分米。已知這個(gè)長(zhǎng)方體的高是5分米，這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積和體積各是多少？

【思路分析】根據(jù)條件“一個(gè)長(zhǎng)方體，如果長(zhǎng)減少3 分米，體積就減少60 立方分米”，可以求出長(zhǎng)方體左面或右面的面積，即寬×高，再結(jié)合長(zhǎng)方體的高是5分米，就能求出長(zhǎng)方體的寬。同樣根據(jù)“如果寬減少2 分米，體積就減少48 立方分米”，可以求出長(zhǎng)方體前面或后面的面積，即長(zhǎng)×高，再結(jié)合長(zhǎng)方體的高是5分米，就能求出長(zhǎng)方體的長(zhǎng)。

解：長(zhǎng)方體左面或右面的面積：60÷3=20（平方分米）

長(zhǎng)方體的寬：20÷5=4（分米）

長(zhǎng)方體前面或后面的面積：48÷2=24（平方分米）

長(zhǎng)方體的長(zhǎng)：24÷5=4.8（分米）

長(zhǎng)方體的表面積：（4.8×4+4.8×5+4×5）×2=126.4（平方分米）

長(zhǎng)方體的體積：4.8×4×5=96（立方分米）

答：這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積是126.4平方分米，體積是96立方分米。

【挑戰(zhàn)自我】一根橫截面為正方形的長(zhǎng)方體木料，表面積為114 平方厘米，鋸下一個(gè)最大的正方體后，剩余部分表面積為50 平方厘米。求鋸下的最大正方體的表面積與體積。