楊明輝 吳志勇 趙明華

摘 ? 要：重點分析了在墻后填土寬度較小情況下，墻后土體土拱效應(yīng)的形成機理，并假定小主應(yīng)力拱為圓弧線，考慮擋墻與土體摩擦點的極限平衡條件，導(dǎo)得了大小主應(yīng)力的偏轉(zhuǎn)角表達(dá)式. 在此基礎(chǔ)上，考慮剛性擋墻平動變位模式情況，結(jié)合水平微分單元法，建立了墻后有限寬度土體的主動土壓力合力及強度的理論表達(dá)式.與室內(nèi)試驗數(shù)據(jù)及前人方法的對比表明，該方法得到的土壓力值具有較好合理性. 最后，分析了不同填土寬高比n下的主動土壓力分布規(guī)律，結(jié)果表明，主動土壓力隨n增加而逐漸增加，但n達(dá)到0.5后于穩(wěn)定，該值可作為墻后土體有限寬度的界限值.

關(guān)鍵詞：主動土壓力;有限土體;土拱效應(yīng);曲線滑裂面;水平微分單元法

中圖分類號：U560.4540 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻標(biāo)志碼：A

Soil Arch Effect Analysis and Earth Pressure Calculating Method

for Finite Width Soil behind Retaining Wall

YANG Minghui？覮，WU Zhiyong，ZHAO Minghua

（Geotechnical Institute of Hunan University，Changsha 410082，China）

Abstract：The formation mechanism of soil arching effect behind the retaining wall was significantly analyzed in the case of limited backfill width. It is assumed that the small principal stress arch is circular arc. Considering the limit equilibrium condition of the friction point between the retaining wall and the soil，the expression of the deflection angle of the large and small principal stress was derived. On this basis，considering the translational displacement mode of rigid retaining wall and the horizontal differential element method，the theoretical expressions of active earth pressure resultant force and intensity distribution of finite width soil behind the wall were established. Comparison with laboratory test data and previous methods indicates that the earth pressure value obtained by this method has preferably rationality. Finally，the distribution of the active earth pressure was analyzed under different ratios n of the width to height of the backfill. The results show that the active earth pressure increases with the increasing n，but approaches to a constant value as n reaches a threshold of limited width of 0.5.

Key words：the active earth pressure;limited backfill;soil arching effect;curved slip surface;horizontal differential element method

作用于結(jié)構(gòu)物上的土壓力計算是巖土工程的經(jīng)典問題之一，其大小的合理取值是結(jié)構(gòu)物設(shè)計的重要依據(jù)[1]. 目前傳統(tǒng)的土壓力計算大多采用經(jīng)典朗肯、庫侖土壓力理論或基于經(jīng)典理論修正的經(jīng)驗公式[2]，但均建立在墻后填土為半無限空間體的基本假定基礎(chǔ)上. 隨著城市建設(shè)的發(fā)展，很多支擋工程中出現(xiàn)擋墻后填土寬度有限的情況，例如臨近既有地下室基坑支護結(jié)構(gòu)、臨近基巖面的邊坡?lián)跬翂?、地鐵車站狹窄基坑支護結(jié)構(gòu)等[3-5]. 此時，經(jīng)典土壓力理論顯然并不適用于有限寬度土體的土壓力計算，需要尋求更為合理的計算方法. 同時，有限寬度擋土墻墻背并非絕對光滑，朗肯土壓力理論假定墻背絕對光滑，從而忽略了墻土摩擦力的影響. 而墻土間摩擦的存在必將引起土體應(yīng)力偏轉(zhuǎn)而形成土拱現(xiàn)象[6]，從而對土壓力的分布產(chǎn)生影響. 顯然，對于墻后填土為有限寬度情況下，考慮土拱效應(yīng)及土體寬度的影響對于更合理的計算土壓力值十分必要.

目前，已有不少國內(nèi)外學(xué)者將土拱效應(yīng)成功地應(yīng)用于土壓力計算中，如Handy[7]將土拱定義為小主應(yīng)力的軌跡，假定兩平行粗糙墻間土拱的形狀為懸鏈線，經(jīng)過嚴(yán)密數(shù)學(xué)推導(dǎo)后得到墻后土壓力分布;Paik等[8]將土拱曲線簡化為圓弧曲線形狀，分別以擋土墻面和朗肯滑裂面作為兩端拱腳，從而導(dǎo)出考慮土拱效應(yīng)的剛性擋土墻主動土壓力計算公式;尹志強等[9]以黏性填土的單排支護樁為研究對象，借鑒并改進了擋土墻的主應(yīng)力偏轉(zhuǎn)理論，推導(dǎo)出了黏性填土排樁樁后土壓力的解析式，且認(rèn)為土拱效應(yīng)主要影響樁體H/3深度以下部分，使該部分土壓力減小，且越靠近樁底，減小速率越大;劉洋等[10]考慮條間剪切應(yīng)力的影響，通過對滑動土體中二維微分單元的受力分析建立平衡微分方程，推導(dǎo)出土拱曲線的解析表達(dá)式，在此基礎(chǔ)上提出一個實用的土壓力計算公式.

同時，針對墻后有限土體土壓力計算的研究也取得了眾多研究成果.如Greco V[11-12]針對無黏性土填土的有限寬度擋墻，提出多折線的土體破壞模式，采用極限平衡法推導(dǎo)出有限寬度土體土壓力的計算公式;Frydman等[13]通過離心機試驗?zāi)M了臨近基巖面的剛性擋土墻，推導(dǎo)出谷倉土壓力公式用以計算臨近基巖面擋土墻的無黏性土靜止和主動土壓力;Fan等[14]采用有限元研究了臨近傾斜基巖面剛性擋土墻上主動土壓力的分布;應(yīng)宏偉等[15]對不同寬度的深基坑進行數(shù)值模擬，提出了考慮基坑寬度影響的基坑坑底抗隆起穩(wěn)定分析模式，并修正了狹窄基坑被動側(cè)的被動土壓力系數(shù);劉忠玉[16]以墻背和穩(wěn)定巖質(zhì)坡面間為有限無黏性填土的剛性擋土墻為研究對象，假定在平面應(yīng)變條件下，墻體破壞模式為直線形或折線形滑裂面，考慮滑動土楔內(nèi)水平土層間存在的平均剪應(yīng)力，得到非線性分布的主動土壓力表達(dá)式.但以上研究基本前提仍假定土體破壞為直線破壞模式，而很多研究均表明墻后土體的滑裂面將會是曲面[17-18]. 楊明輝等[19]開展了剛性擋墻三種不同變位模式情況下墻后有限寬度土體破壞試驗，得到了墻后填土寬度較小情況下的土體破壞模式，并提出了墻體平動變位模式下土體曲線滑裂面為對數(shù)螺旋線的結(jié)論[20-21].

綜上，雖然墻后有限土體土壓力計算在試驗和理論計算方面已有不少研究，但缺乏對于此種情況下?lián)鯄笸馏w土拱效應(yīng)的分析. 因此，為更合理地計算土壓力的分布情況，本文通過解析方法，將對土拱效應(yīng)的分析運用到墻后有限寬度土體的土壓力計算問題中，并針對具體的土體曲線破壞面模式，提出在曲線破壞模式下相應(yīng)的主動土壓力計算方法，并深入討論土體有限寬度的界定方法，以供相關(guān)工程設(shè)計參考.

1 ? 墻后有限寬度土體情況土拱效應(yīng)

眾所周知，當(dāng)墻體產(chǎn)生背離土體方向位移時，墻后變形土體將與穩(wěn)定土體產(chǎn)生剪切摩擦，從而使變形土體承受的土壓力轉(zhuǎn)移至周圍穩(wěn)定土體區(qū)域，形成土拱.在擋土墻問題中，若墻背非絕對光滑，墻土摩擦以及變形土體與穩(wěn)定土體之間的摩擦必將引起土體應(yīng)力偏轉(zhuǎn)，土拱效應(yīng)是客觀存在的[6]. 而對于墻后土體寬度狹窄時，由于墻體的側(cè)向擠壓作用更易形成土拱，從而對土壓力的分布產(chǎn)生影響. 因此，將土拱理論應(yīng)用到有限寬度土體土壓力計算問題中進行分析更為合理.

1.1 ? 應(yīng)力狀態(tài)分析

Terzaghi通過活動門試驗證明了土拱效應(yīng)，并將其定義為土壓力從屈服區(qū)域轉(zhuǎn)移到鄰近靜止區(qū)域的現(xiàn)象.

墻體與已有建筑物地下墻之間有限土體受力的應(yīng)力偏轉(zhuǎn)如圖1（a）所示. 為簡便起見，設(shè)土體為無黏性土，土體重度為γ，內(nèi)摩擦角為φ，墻土摩擦角為δ，變形土體達(dá)到主動極限應(yīng)力狀態(tài)時，墻土摩擦力充分發(fā)揮. 當(dāng)擋土墻為靜止?fàn)顟B(tài)、擋土墻和填土的沉降相等時，墻土之間無摩擦，則填土中的微分單元體之大小主應(yīng)力分別為豎直方向和水平方向.

隨著支護結(jié)構(gòu)的側(cè)移，土體逐漸出現(xiàn)豎向變形，墻土及土體內(nèi)部剪切滑裂面摩擦力逐漸發(fā)揮作用，直至其墻后土體處于極限平衡狀態(tài)時. 此時，假定有限土體產(chǎn)生足夠的豎向變形，墻土摩擦力充分發(fā)揮，根據(jù)土拱原理，墻體相鄰?fù)馏w的微元之大小主應(yīng)力由于受到剪切力的影響，主應(yīng)力發(fā)生旋轉(zhuǎn)，其主應(yīng)力的方向與豎直或水平方向出現(xiàn)一個夾角，變形區(qū)的土體將產(chǎn)生應(yīng)力偏轉(zhuǎn).支護結(jié)構(gòu)AB與剪切滑裂面BC之間土體達(dá)到塑性平衡狀態(tài)，DF之間各點的小主應(yīng)力軌跡將形成一條連續(xù)的拱曲線，這時的小主應(yīng)力軌跡線為一條下凸曲線.

1.2 ? 應(yīng)力偏轉(zhuǎn)角

支護結(jié)構(gòu)所承受土壓力即為墻后土體水平向的側(cè)向壓力，因此土壓力計算的關(guān)鍵在于求解支護結(jié)構(gòu)之后土體的水平方向應(yīng)力，但此時由于應(yīng)力偏轉(zhuǎn)，水平向應(yīng)力已不是最小主應(yīng)力，所以首先得求出應(yīng)力偏轉(zhuǎn)角.

如圖1（a）所示，高度H的擋墻后土體達(dá)到主動極限平衡形成土拱.在距填土表面y處取寬dy的水平向土條，長度L. 為簡化計算，采用與Paik等[8]相同的圓弧拱，圓弧拱的圓心位于圖中的O點，半徑為R，作用在水平微單元體上的大主應(yīng)力正交于虛線表示的土拱跡線，而虛線表示的土拱線即是小主應(yīng)力軌跡.圓弧拱起始點D和圓心O連線與水平方向成角 θ，滑裂面上任意一點處的切線與水平方向夾角為α.如果墻面光滑，此時不能形成土拱效應(yīng)，圓心O將位于無限遠(yuǎn)處.在未變形前的土條中E點取寬度dA的微單元，該單元所受豎向合力dV，該點變形后和圓心O的連線與水平方向夾角Φ.

圖1（a）中D點主動破壞時的Mohr應(yīng)力圓如圖1（c）所示，σv是主動破壞時D點的豎向應(yīng)力，σh是主動破壞時D點的側(cè)向應(yīng)力，墻土界面處土體所受摩擦力τD方向向上.從圖中的幾何關(guān)系可以得到D點的應(yīng)力關(guān)系，主動破壞時：

如圖1（a）所示，由于墻土摩擦角的作用，墻背D點的主應(yīng)力方向已逐漸發(fā)生偏轉(zhuǎn)，作用在墻背的水平向應(yīng)力已經(jīng)不再是小主應(yīng)力. 在擋墻任意深度y處D、F兩點的小主應(yīng)力軌跡形成了一條圓弧拱曲線，即為小主應(yīng)力拱. 在破裂面上，由極限平衡條件可知大主應(yīng)力作用面與破裂面切線的夾角為β=π/4+φ/2.

2 ? 主動土壓力計算

2.1 ? 墻后土體滑裂面方程

在墻后有限寬度土體的情況下，已有室內(nèi)模型試驗表明[18]，當(dāng)擋土墻在平動模式下背離填土方向達(dá)到主動極限平衡狀態(tài)時，墻后有限寬度無黏土的滑裂面曲線為一條通過墻趾的對數(shù)螺旋線，滑裂面方程為：

2.3 ? 主動土壓力合力及其分布

在距滑楔體表面y處取一厚度為dy的水平微分單元abcd，水平微分單元的受力如圖3所示. v為作用于水平微分單元頂面的平均豎向應(yīng)力，v+dv為作用于水平微分單元底面的平均豎向應(yīng)力. σh為擋土墻的水平反力，τD為作用在擋土墻上墻土摩擦力. σn為不動土體對滑楔體在垂直于破裂面上的反力，τf為不動土體對滑楔體的摩擦力，dW為水平微分單元自重. 當(dāng)dy足夠小時，bd可近似為直線，α為水平微分單元破裂面與水平面的夾角，易得：

式中：θB為墻踵處滑裂面切線與水平方向的夾角.

由文獻[19]試驗現(xiàn)象3可知，土體破壞線始終位于庫侖破壞線內(nèi)側(cè)，同時破壞線的破壞角θB始終大于庫侖剪切破壞角θcr，即θB > θcr.且當(dāng)墻后填土為有限寬度時，二者的差距更大，這與文獻[22]的結(jié)論一致.故由式（36）可知，θh < π/2 + φ - θcr = π/4 + φ/2，θh的取值將小于π/4 + φ/2. 圖4為Ea隨 θh的變化曲線（n=0.1），由圖可見，二者為單調(diào)遞增函數(shù). 所以θh取π/4+φ/2時求得的Ea是偏于安全的，可供設(shè)計時參考.

由此可得到土體的主動土壓力強度分布，與筆者的室內(nèi)模型試驗數(shù)據(jù)[19]對比，如圖5所示.當(dāng)墻后填土為有限寬度時，擋墻上水平土壓力強度呈非線性鼓形分布，可見理論計算與試驗結(jié)果[19]非常吻合.

3 ? 前人方法比較

3.1 ? Frydman和Keissar[13]的模型試驗

在Frydman和Keissar[13]的離心機模型試驗中，墻背和巖面豎直，無黏性填料的最大和最小干密度分別為1.64 g/cm3和1.40 g/cm3，填料的相對密實度為70%，內(nèi)摩擦角φ = 36°，填料與鋁制擋土墻之間的摩擦角δ1 = 22° ～ 25°，與模型箱之間的摩擦角δ2 = 30°，測得的主動土壓力試驗值見圖6.

Frydman等[13]將Janssen[23]的谷倉側(cè)向壓力計算公式在應(yīng)用于計算極限土壓力時對其中的側(cè)壓力系數(shù)進行修正，取φ = 36°對試驗結(jié)果按其修正公式進行了模擬，其結(jié)果如圖6所示.圖中為填土寬度b = 1 m時的本文解、Frydman修正解、Coulomb解以及離心試驗數(shù)據(jù)的對比. 雖然試驗點比較離散，但本文解與Frydman修正解的計算結(jié)果吻合較好，基本上可描述主動土壓力與深度的關(guān)系.對比兩者可以發(fā)現(xiàn)，本文計算的土壓力值大于Frydman的修正值，可能的原因為計算土壓力值采用的是θh取π/4 + φ/2時的假設(shè)，故本文求得的土壓力值是偏于安全的. 隨著深度（y/b）增加至約6.3處，本文計算的土壓力值開始出現(xiàn)小于Frydman修正理論值的趨勢.

3.2 ? Take和Valsangkar[24]的模型試驗

Take和Valsangkar[24]的離心機模型試驗描述的是墻背和巖面都豎直的工況.無黏性填料的最大和最小干密度分別為1.62 g/cm3和1.34 g/cm3，填料的相對密實度為79%，峰值和臨界狀態(tài)對應(yīng)的內(nèi)摩擦角分別為36°和29°，填料與鋁制擋土墻之間摩擦角的峰值和臨界值分別為25°和23°，試驗加速度為35.7g（g為重力加速度），這樣高度為140 mm的模型擋土墻相當(dāng)于5 m高的原型墻.填土寬度分別取L=15 mm、38 mm，相當(dāng)于填土寬度b=0.53 m、1.36 m，測得的土壓力值見圖7.這里取φ = 29°、δ = 23°按本文理論解進行了模擬，由圖可知，試驗結(jié)果與Take和Valsangkar[24]的離心機模型試驗結(jié)果比較接近.

4 ? 有限寬度土體的臨界寬高比

4.1 ? 寬高比臨界值

墻后有限寬度土體的問題早已引起眾多學(xué)者的關(guān)注，但有限寬度與無限寬度的界定一直缺乏較準(zhǔn)確合理的取值.大多學(xué)者根據(jù)庫侖土壓力理論計算的寬度作為臨界值，但由于庫侖土壓力的直線破裂面假設(shè)的缺陷，該值并不準(zhǔn)確.為此，本文采用逐漸逼近的方法，深入探討了臨界值問題.具體方法為：填土寬高比n取值由小逐漸變大，分別求出對應(yīng)的土壓力強度分布，當(dāng)土壓力強度趨于穩(wěn)定時，對應(yīng)的寬高比為臨界寬高比，相應(yīng)的土壓力值為無限填土的土壓力值.

取基本參數(shù)如下：擋土墻高度H = 1.3 m，填土重度γ = 14.58 kN/m3，內(nèi)摩擦角φ = 32.75°，δ =21.83°，填土表面水平，寬高比n取值從0.1至0.6，間隔為0.1，計算結(jié)果如圖8（a）所示.

由圖可知，隨著填土寬高比的增大，主動土壓值逐漸增大，且增大幅度越來越小，當(dāng)填土寬高比n≥0.5時，主動土壓力值基本保持不變，此時即為有限寬度填土和無限寬度的臨界值.若根據(jù)庫侖土壓力理論，得出臨界填土寬高比ncr = 0.67，可見經(jīng)典的庫侖土壓力理論夸大了土體破壞寬度.

4.2 ?有限寬度臨界值的參數(shù)分析

圖8（b）是在不同的擋墻高度H下主動土壓力Ea隨著寬高比n的變化曲線.參數(shù)假定為：內(nèi)摩擦角φ = 32.75°，墻土摩擦角δ = φ，填土重度γ = 14.88 kN/m3，擋土墻高度分別為H = 3 m、4 m、5 m、6 m，寬高比n的變化范圍為0.1～0.8.由圖可知，隨著擋土墻高度的增大，主動土壓力值顯著增大. 在不同的擋土墻高度下，主動土壓力值隨寬高比的變化均呈先單調(diào)遞增，但變化幅度不明顯，之后趨于穩(wěn)定的土壓力值.主動土壓力值基本保持不變時的寬高比為n = 0.5，即為有限寬度臨界值.

圖8（c）是在不同的墻土摩擦角δ下主動土壓力Ea隨著寬高比n的變化曲線. 參數(shù)假定為：擋土墻高度H=1.4 m，內(nèi)摩擦角φ=32.75°，填土重度γ=14.88 kN/m3，

墻土摩擦角分別為δ = φ/3、δ =φ/2、δ = φ2/3、δ = φ，寬高比n的變化范圍為0.1～0.8. 由圖可知，隨著墻土摩擦角的增大，主動土壓力值顯著減小. 在不同的墻土摩擦角下，主動土壓力值隨寬高比的變化均呈先單調(diào)遞增，后趨于穩(wěn)定的土壓力值. 主動土壓力值基本保持不變時的寬高比為n = 0.5，即為有限寬度臨界值.

圖8（d）是在不同的內(nèi)摩擦角φ下主動土壓力Ea隨著寬高比n的變化曲線. 參數(shù)假定為：擋土墻高度H = 1.4 m，墻土摩擦角δ = φ，填土重度γ = 14.88 kN/m3，填土內(nèi)摩擦角分別為φ = 15°、20°、25°、30°、35°，寬高比n的變化范圍為0.1～0.8. 由圖可知，隨著內(nèi)摩擦角的增大，主動土壓力值顯著減小. 在不同內(nèi)摩擦角下，主動土壓力值隨寬高比的變化均呈先單調(diào)遞增，后趨于穩(wěn)定的土壓力值.主動土壓力值基本保持不變時的寬高比為n = 0.5，即為有限寬度臨界值.

5 ? 結(jié) ? 論

本文基于室內(nèi)試驗結(jié)果及解析方法，對墻后有限寬度填土情況下無黏性土的曲線滑裂面破壞模式進行了深入研究，并在此基礎(chǔ)上，對土壓力的分布進行了求解. 得出主要結(jié)論如下：

1）考慮墻土間摩擦力對墻后填土土壓力的影

響，通過對墻后填土應(yīng)力的分析，解釋了墻后有限寬度土體在主動極限狀態(tài)下主應(yīng)力偏轉(zhuǎn)現(xiàn)象及土拱的形成機理，并導(dǎo)得應(yīng)力偏轉(zhuǎn)角表達(dá)式;

2）針對無黏性土體，基于剛性擋墻平動變位模式下有限寬度土體土壓力試驗關(guān)于對數(shù)螺旋滑裂面的結(jié)果，假定小主應(yīng)力軌跡為圓弧拱，結(jié)合水平微分單元法，推導(dǎo)得到了墻后有限寬度土體平動模式下主動土壓力的表達(dá)式，與試驗結(jié)果及前人方法的對比證明了本文方法的合理性;

3）基于土壓力值隨填土寬高比的變化規(guī)律，提

出了墻后填土有限寬度臨界值的界定方法，該方法相比由庫侖土壓力理論得出的界定值有一定的合理性.

參考文獻

[1] ? ?GB50007—2002 ? 建筑地基基礎(chǔ)設(shè)計規(guī)范[S]. 北京：中國建筑工業(yè)出版社，2002：31—33.

GB50007—2002 ?Code for design of building foundation[S]. Beijing：China Architecture & Building Press，2002：31—33.（In Chinese）

[2] ? ?龔曉南. 土力學(xué)[M]. 北京：中國建筑工業(yè)出版社，2002：135—176.

GONG X N. Soil mechanics[M]. Beijing：China Architecture & Building Press，2002：135-176.（In Chinese）

[3] ? ?楊超煒，趙明華. 高陡橫坡段樁柱式橋梁雙樁基礎(chǔ)受力分析[J]. 湖南大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2018，45（3）：129—135.

YANG C W，ZHAO M H. Force analysis of bridge double-piles foundation in high and steep cross slopes[J]. Journal of Hunan University（Natural Sciences），2018，45（3）：129—135.（In Chinese）

[4] ? ?肖南，高曉軍. 淺談有限范圍填土土壓力的計算[J]. 巖土工程技術(shù)，2009，12（12）：45—47.

XIAO N，GAO X J. A brief talk on the calculation of earth pressure of finite range filling[J]. Mineral Exploration，2009，12（12）：45—47.（In Chinese）

[5] ? ?蔣沖，李天斌. 排樁支護明挖隧道基坑樁側(cè)極限抗力系數(shù)研究[J]. 湖南大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2018，45（7）：111—116.

JIANG C，LI T B. Study on pile side resistance limit coefficient of row pile supported ming dig tunnel excavation foundation pit[J]. Journal of Hunan University（Natural Sciences），2018，45（7）：111—116.（In Chinese）

[6] ? ?TERZAGHI K. Large retaining wall tests Ⅰ-pressure of dry sand[J]. News Record，1936，112（1）：136—140.

[7] ? ?HANDY R L. The arch in soil arching[J]. Journal of Geotechnical Engineering，1985，111（3）：302—318.

[8] ? ?PAIK K H，SALGADO R. Estimation of active earth pressure against rigid retaining walls considering arching effect[J]. Geotechnique，2003，53（7）：643—653.

[9] ? ?尹志強，佘成學(xué)，姚海林. 考慮土拱效應(yīng)的黏性填土排樁樁后土壓力研究[J]. 巖土力學(xué)，2018，39（S1）：140—148.

YIN Z Q，SHE C X，YAO H L. Research on earth pressure behind row piles from clayey backfill considering soil arching effect[J]. Rock and Soil Mechanics，2018，39（S1）：140—148. （In Chinese）

[10] ?劉洋，于鵬強. 剛性擋土墻平移模式的土拱形狀與主動土壓力分析[J]. 巖土力學(xué)，2019，40（2）：506—516.

LIU Y，YU P Q. Analysis of soil arch and active earth pressure on translating rigid retaining walls[J]. Rock and Soil Mechanics，2019，40（2）：506—516.（In Chinese）

[11] ?GRECO V. Active thrust on retaining walls of narrow backfill width[J]. Computers and Geotechnics，2013，50：66—78.

[12] ?GRECO V. Analytical solution of seismic pseudo-static active thrust acting on fascia retaining walls [J]. Soil Dynamics and Earthquake Engineering，2014，57：25—36.

[13] ?FRYDMAN S，KEISSAR I. Earth pressures on retaining walls near rock faces[J]. Journal of Geotechnical Engineering，ASCE，1987，113（6）：586—599.

[14] ?FAN C H，F(xiàn)ANG Y S. Numerical solution of active earth pressures on rigid retaining walls built near rock faces[J]. Computers and Geotechnics，2010，37：1023—1029.

[15] ?應(yīng)宏偉，王小剛，張金紅. 考慮基坑寬度影響的基坑抗隆起穩(wěn)定分析[J]. 工程力學(xué)，2018，35（5）：127—133.

YING H W，WANG X G，ZHANG J H. Analysis on heave-resistant stability considering the effect of excavation width [J]. Engineering Mechanics，2018，35（5）：127—133.（In Chinese）

[16] ?劉忠玉. 有限無黏性填土剛性擋土墻主動土壓力計算[J]. 中國公路學(xué)報，2018，31（2）：154—164.

LIU Z Y. Active earth pressure calculation of rigid retaining walls with limited granular backfill space[J]. China Journal of Highway and Transport，2018，31（2）：154—164.（In Chinese）

[17] ?周應(yīng)英，任美龍. 剛性擋土墻后主動土壓力的試驗研究[J]. 巖土工程學(xué)報，1990，12（2）：19—26.

ZHOU Y Y，REN M L. Experimental study of the active earth pressure on rigid retaining wall[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering，1990，12（2）：19—26.（In Chinese）

[18] ?TERZAGHI K. Theoretical soil mechanics[M]. New York：Wiley，1943：118—122.

[19] ?楊明輝，戴夏斌，趙明華. 曲線滑裂面下有限寬度填土主動土壓力計算[J]. 巖土力學(xué)，2017，38（7）：2029—2035.

YANG M H，DAI X B，ZHAO M H. Calculation of active earth pressure for limited soils with curved sliding surface[J]. Rock and Soil Mechanics，2017，38（7）：2029—2035.（In Chinese）

[20] ?王奎華，馬少俊. 擋土墻后曲面滑裂面下黏性土主動土壓力計算[J]. 西南交通大學(xué)學(xué)報，2011，46（5）：732—738.

WANG K H，MA S J. Active earth pressure of cohesive soil backfill on retailing wall with curved sliding surface[J]. Journal Southwest Jiaotong University，2011，46（5）：732—738.（In Chinese）

[21] ?陳建功，周廷強. 柔性支護結(jié)構(gòu)主動土壓力的變分計算方法研究[J]. 巖土力學(xué)，2016，37（12）：3365—3370.

CHEN J G，ZHOU T Q. A variational method for calculating the active earth pressure on a flexible retaining wall[J]. Rock and Soil Mechanics，2016，37（12）：3365—3370.（In Chinese）

[22] ?馬平，秦四清，錢海濤. 有限土體主動土壓力計算[J]. 巖石力學(xué)與工程學(xué)報，2008，27（S1）：3070-3074.

MA P，QIN S Q，QIAN H T. Calculation of active earth pressure for limited soils[J]. Journal of Rock Mechanics and Engineering，2008，27（S1）：3070-3074.（In Chinese）

[23] ?克列因. 散體結(jié)構(gòu)力學(xué)[M]. 陳大鵬，譯. 北京：人民鐵道出版社，1983：67—68.

KLEIN Г К. Bulk structural mechanics[M]. Translated by CHEN Dapeng. Beijing：People's Railway Publishing House，1983：67—68.（In Chinese）

[24] ?TAKE W A，VALSANGKAR ?A J. Earth pressures on unyielding retaining walls of narrow backfill width[J]. Journal of Canadian Geotechnical，2001，38：1220—1230.