劉乃毓，蔡國偉，楊德友，王博聞

(1.東北電力大學(xué)電氣工程學(xué)院，吉林 吉林 132012；2.中國電力工程顧問集團東北電力設(shè)計院有限公司，吉林 長春 130022)

電力電子設(shè)備的廣泛應(yīng)用以及大規(guī)模新能源并網(wǎng)導(dǎo)致電網(wǎng)在受到?jīng)_擊后低頻振蕩的非平穩(wěn)、非線性問題日益嚴重[1].為保證電力系統(tǒng)平穩(wěn)運行，需對低頻振蕩模式進行準確有效地辨識.

特征分析法基于電力系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型建立全系統(tǒng)的線性狀態(tài)方程，從而對系統(tǒng)的靜態(tài)穩(wěn)定進行分析，由于實際系統(tǒng)維度高，導(dǎo)致特征分析法易產(chǎn)生“維數(shù)災(zāi)”問題[2].向量測量裝置(Phasor Measurement Unit,PMU)的發(fā)展為低頻振蕩的分析和辨識提供了新的平臺.通過各類辨識手段可以從PMU量測信號中辨識振蕩模式，避免了“維數(shù)災(zāi)”的問題.Prony算法通過對指數(shù)項等距采樣數(shù)據(jù)擬合辨識信號振蕩信息，該方法廣泛應(yīng)用于辨識低頻振蕩模式[3]，但其抗噪能力較差.文獻[3]和文獻[4]分別將形態(tài)濾波和滑窗處理與Prony算法結(jié)合，在一定程度上降低了噪聲的影響.希爾伯特-黃算法(HHT)同樣廣泛用于處理非線性、非穩(wěn)定問題，通過經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解法(EMD)將輸入信號分解為多個固有模態(tài)(IMF)，并利用希爾伯特變換得到各IMF振蕩頻率和幅度，但該方法受限于其核心算法EMD.EMD在處理信號時易受噪聲的影響，從而導(dǎo)致模態(tài)混合和虛假模態(tài)等問題[5-7].為解決該問題提出了其衍生算法EEMD法，該方法基于白噪聲的均勻分布特性，對信號多次分解后進行平均處理以消去噪聲的影響[8].文獻[9]與文獻[10]通過改進EEMD濾波器以及矩陣束算法與EEMD算法結(jié)合的方法，有效地降低了噪聲對振蕩參數(shù)辨識的影響，但其復(fù)雜的計算過程導(dǎo)致了運行時間過長的問題[11].變分模態(tài)分解法(VMD)具有抗噪能力強、辨識精度高等特點[12-13]，目前廣泛應(yīng)用于信號分解與參數(shù)識別，但VMD的精準程度受其模態(tài)設(shè)定值K的限制，K值需要人為設(shè)定，并且該方法不能對多元數(shù)據(jù)進行分解[14-15].文獻[14]通過窗口傅里葉變換法(WFT)確定K值，但存在不能對多元信號同時分解的問題.為了解決多元數(shù)據(jù)分解的問題，基于EMD算法提出了MEMD算法，該算法雖然可以進行多元數(shù)據(jù)分解，但其基本原理與EMD相同，同樣繼承了EMD算法易受噪聲影響的特點[16-17].

為解決以上問題，本文提出的一種自適應(yīng)多元變分模態(tài)分解算法對多元信號進行辨識分解.自適應(yīng)MVMD法繼承了VMD方法的抗噪能力，有效避免了模態(tài)混疊，并可以通過模態(tài)復(fù)原近似度自適應(yīng)確定模態(tài)設(shè)定值K，利用該算法對多元多模態(tài)耦合信號進行分解后，通過Hilbert變換提取各分離模態(tài)的振蕩參數(shù)，并且通過構(gòu)建多元解析信號集合解決了VMD算法及其衍生算法不能同時對多元信號進行辨識的問題.通過對測試信號及仿真信號的分析可以看出，自適應(yīng)MVMD算法解決了K值確定困難的問題，可以準確有效地分離多元多模態(tài)耦合信號，同時可以對不同信號中相同頻率模態(tài)進行辨識，并且該算法具有良好的抗噪能力.

1 自適應(yīng)多元變分模態(tài)分解算法

MVMD與VMD一樣作為一種非遞歸的分解方法，通過構(gòu)造變分優(yōu)化問題以分離包含在多元輸入信號中的固有振蕩模式，多元信號中各模式對應(yīng)的帶寬和中心頻率在約束變分模型的限制下，經(jīng)過迭代更新達到最優(yōu)值.

1.1 多元約束變分模型的構(gòu)建

MVMD算法將多元信號中K個固有模態(tài)函數(shù)轉(zhuǎn)化為一組AM-FM信號u(t)，解析信號集合為

(1)

公式中：ai(t)和φi(t)分別為第i個信號分量相對應(yīng)的幅值函數(shù)和相位函數(shù).利用Hilbert變換獲得和矢量信號u(t)對應(yīng)的解析信號u+(t)為

(2)

由公式(2)可見，u+(t)由原矢量信號u(t)和經(jīng)希爾伯特變換的Hu+(t)構(gòu)成.取諧波混合信號的L2范數(shù)的平方獲得u(t)的帶寬.針對矢量信號集合u(t)帶寬的約束變分優(yōu)化模型為

(3)

公式中：k、c分別為分離模態(tài)數(shù)和輸入信號數(shù)；?為微分算子；ωk為分解后各模態(tài)中心頻率；xc(t)為多元輸入信號的集合；uk，c(t)為分離信號的集合.公式(3)中上式是一個不等式約束條件，其目的是使從c個信號中分離的uk，c(t)的帶寬和最小，同時為了確保分離后各模態(tài)的精確性，通過公式(3)中的等式約束進行信號重構(gòu)，保證重構(gòu)信號與原信號相等.

1.2 多元約束變分模型求解

為使約束變分限制轉(zhuǎn)變?yōu)闊o約束變分問題，利用拉格朗日乘數(shù)法對公式(3)進行構(gòu)造，并引入α和λ(t)確保其滿足約束條件，根據(jù)公式(3)構(gòu)造的拉格朗日函數(shù)為

(4)

公式中：α為懲罰因子，其作用是提高算法的抗噪性；λ(t)為拉格朗日乘子，使變量不受約束.通過交替方向乘子法(ADMM)可將公式(4)中完整的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為一系列子優(yōu)化問題，并通過迭代對各子問題進行更新求解以得到多元信號的最優(yōu)模態(tài)及最優(yōu)中心頻率.利用ADMM法簡化后的二次子優(yōu)化問題可以在頻域內(nèi)解決.

(5)

(6)

(7)

1.3 基于復(fù)原近似度的自適應(yīng)MVMD算法

MVMD算法如VMD算法一樣，在進行模態(tài)分離時需對模態(tài)數(shù)K進行人為設(shè)置，若K值設(shè)定過小會使模態(tài)分離不充分，導(dǎo)致模態(tài)混疊和缺失，若K值設(shè)定過大則會導(dǎo)致對信號的過度分離，從而產(chǎn)生虛假模態(tài)，影響辨識結(jié)果的準確性.因此，為了準確地確定模態(tài)數(shù)K，本文引入復(fù)原近似度η對K值進行估計.

圖1 自適應(yīng)MVMD算法流程圖

(8)

3 基于MVMD-Hilbert的模態(tài)參數(shù)辨識

自適應(yīng)MVMD算法將多模態(tài)耦合的低頻振蕩信號分離成多個固有模態(tài)，通過對各模態(tài)進行希爾伯特變換可以獲得其振蕩參數(shù)，步驟如表1所示.

自適應(yīng)MVMD通過對多信號帶寬和以及中心頻率的約束變分問題迭代求解，將多元信號分離為K個固有振蕩模式.通過MVMD算法將多模態(tài)耦合的多元低頻振蕩信號進行分解，可以實現(xiàn)各低頻振蕩模態(tài)的辨識和分離，并可以辨識出不同采樣信號中相同頻率的振蕩模式.MVMD算法通過對變分約束模型設(shè)置懲罰因子有效地規(guī)避了噪聲的影響，同時通過信號重構(gòu)約束保證了模態(tài)分解的精確性，因此，可以保證基于希爾伯特變換對分離后的多元信號模態(tài)進行參數(shù)辨識的精確性.

表1 希爾伯特變換步驟

3 仿真分析

3.1 測試信號分析

為驗證算法的有效性，首先采用公式(9)所示測試信號進行驗證分析.該信號由二元信號構(gòu)成，兩信號均含2個主導(dǎo)模式，信號1兩模式頻率為0.4 Hz和1.8 Hz，信號2兩模式頻率為0.2 Hz和1.8 Hz，其中兩信號均設(shè)置頻率為1.8 Hz的主導(dǎo)模式以驗證MVMD算法對多元信號相同模式辨識的有效性，疊加30 dB高斯白噪聲的信號，如圖2所示.

(9)

圖2 含噪聲測試信號

基于復(fù)原近似度η對K值進行選取，當K=2時獲得最復(fù)原大近似度為53.547 7 dB和57.085 4 dB.在K=2時基于本文的自適應(yīng)MVMD算法分解的結(jié)果，如圖3所示，兩信號均辨識出2個主要模態(tài)分量，且對頻率為1.8 Hz的相同模式進行了辨識分類.為進一步驗證模態(tài)辨識的準確性，利用WFT對各模態(tài)進行頻譜分析，辨識結(jié)果，如圖4所示.辨識后的兩信號分離模態(tài)頻率分別為0.401 Hz、1.805 Hz和0.201 Hz、1.810 Hz，與測試信號頻率0.4 Hz、1.8 Hz和0.2 Hz、1.8 Hz近似相同，可見自適應(yīng)MVMD在噪聲的影響下可對多元信號進行有效分離，具有較好的辨識精確度，并可對多元信號中相同頻率模態(tài)進行提取.

圖3 測試信號MVMD分解圖圖4 MVMD分解模態(tài)WFT頻譜圖

為驗證MVMD算法的優(yōu)越性，利用經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解法對附加噪聲的測試信號進行辨識，辨識結(jié)果，如圖5所示.由于兩信號情況相似，僅以信號1為例進行對比分析.信號1經(jīng)EMD分解后得到4個IMF分量以及一個剩余分量，利用EMD分解后模態(tài)數(shù)多于測試信號的模態(tài)數(shù)，產(chǎn)生了2個虛假模態(tài).利用WFT對經(jīng)EMD分解的信號1各模態(tài)進行頻譜分析辨識結(jié)果，如圖6所示.

表2 測試信號復(fù)原擬合度對比

通過圖6可見，IMF1與噪聲混疊，IMF1和IMF2均含有多個模態(tài)，出現(xiàn)了嚴重的模態(tài)混疊，且出現(xiàn)頻率為0.352 Hz、0.201 Hz的虛假模態(tài)IMF3和IMF4，對振蕩參數(shù)辨識影響極大.利用信號復(fù)原近似度和Hilbert變換對分離模態(tài)的振蕩參數(shù)進行辨識，進一步對本文方法的有效性進行驗證，結(jié)果如表2和表3所示.可以看出由自適應(yīng)MVMD法分解獲得的模態(tài)頻率與阻尼比接近于理論值，且復(fù)原近似度較大，辨識精確度較高，而HHT算法受限于EMD抗噪能力差的問題，辨識的各模態(tài)參數(shù)偏差相對較大，且復(fù)原近似度遠小于本文方法.

表3 測試信號主要模態(tài)結(jié)果

圖7 聯(lián)絡(luò)線6-31、2-30有功信號

由以上分析可以看出本文方法可對多元信號準確分離，并能對多元信號中相同頻率模式進行識別，同時具有較強的抗噪性.

3.2 仿真信號分析

以新英格蘭10機39節(jié)點模型作為算例，基于Digsilent/PowerFactory平臺在節(jié)點3處設(shè)置0.1 s的三相短路故障，并對6-31及2-30聯(lián)絡(luò)線有功信號進行分析，仿真信號，如圖7所示.

為驗證本文方法的抗噪能力，對以上信號疊加30dB高斯白噪聲，利用本文方法對其進行分解，當K=2時復(fù)合近似度最大，模態(tài)分解結(jié)果及WFT頻譜圖，如圖8和圖9所示.通過兩圖可見，兩信道信號分別包含兩種主要模態(tài)分量.為驗證模態(tài)分解的準確性，利用復(fù)原近似度及Hilbert變換提取振蕩參數(shù)進行驗證，并與HHT法進行比較，結(jié)果如表4和表5所示.由表4可見，自適應(yīng)MVMD法分離模態(tài)頻率分別為1.052、0.632和1.105、0.637Hz，獲得頻率與QR法計算的理論模態(tài)相吻合，其頻率及對應(yīng)阻尼比與計算結(jié)果相比誤差較小，且并未產(chǎn)生虛假模態(tài)，同時也對雙信道中均包含的區(qū)間振蕩模式0.639 Hz分量進行辨識提取.相反HHT法由于抗噪性較差，出現(xiàn)了模態(tài)混疊，導(dǎo)致辨識結(jié)果誤差較大，并且還有模態(tài)缺失的問題.

圖8 仿真信號MVMD分解圖圖9 仿真信號MVMD分解圖

表5 測試信號復(fù)原擬合度對比

信號復(fù)原近似度，如表5所示，采用自適應(yīng)MVMD方法的模態(tài)近似度為29.375 7 dB和31.249 8 dB，遠大于HHT法的近似度.由以上分析可見，本文方法具有良好的抗噪性，且規(guī)避了HHT方法中由于噪聲導(dǎo)致的模態(tài)混疊以及虛假模態(tài)等問題，可對多元信號精確分解.

4 結(jié) 論

本文將自適應(yīng)MVMD方法應(yīng)用于電力系統(tǒng)多元低頻振蕩信號辨識中，并基于MVMD-Hilbert方法對振蕩參數(shù)進行提取，通過對測試信號及仿真信號的分析獲得結(jié)論如下：

(1)通過將模態(tài)復(fù)原近似度與MVMD算法結(jié)合，改善了MVMD自適應(yīng)性的問題；

(2)自適應(yīng)MVMD算法通過設(shè)置懲罰參數(shù)α提升了算法的抗噪性，規(guī)避了EMD算法中模態(tài)混疊及虛假模態(tài)等問題；

(3)自適應(yīng)MVMD算法通過構(gòu)建多元模態(tài)集合，使該方法可對多元振蕩信號進行分解，同時可對不同信號中相同頻率模態(tài)分類提取，解決了傳統(tǒng)VMD及其衍生算法不能進行多元信號辨識的問題.

本文方法可精確辨識多元信號模態(tài)，并基于Hilbert變換提取振蕩參數(shù)，是一種有效的辨識方法.如何提高計算速度以實現(xiàn)在線應(yīng)用是下一步研究工作.