導(dǎo)數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用

齊雨萱

高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，不等式是研究各項(xiàng)數(shù)學(xué)問(wèn)題的基礎(chǔ)工具，不等式證明是一種常見(jiàn)數(shù)學(xué)題型，也是同學(xué)們較為頭疼的數(shù)學(xué)題型之一，要想提高自身的不等式證明準(zhǔn)確率和效率，就必須充分掌握運(yùn)用導(dǎo)數(shù)理論展開(kāi)科學(xué)解題，導(dǎo)數(shù)理論證明不等式是最為高效和基本的一種解題方法，合理利用導(dǎo)數(shù)工具進(jìn)行不等式實(shí)踐證明，能夠有效將不等式證明過(guò)程從困難轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單，幫助自身建立起更好的數(shù)學(xué)自信心，并提高數(shù)學(xué)解題綜合能力。本文將對(duì)導(dǎo)數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用展開(kāi)分析與探討，為不等式證明過(guò)程提供一定借鑒與參考。

1 合理運(yùn)用導(dǎo)數(shù)單調(diào)性證明不等式

在實(shí)踐計(jì)算函數(shù)某個(gè)區(qū)間導(dǎo)數(shù)最大值或者小于0時(shí)，可以通過(guò)合理運(yùn)用導(dǎo)數(shù)單調(diào)性展開(kāi)科學(xué)高效證明。首先，必須準(zhǔn)確計(jì)算出該函數(shù)在此區(qū)間中表現(xiàn)出來(lái)的遞減或者遞增過(guò)程，這樣才能夠順利證明不等式問(wèn)題。在日常證明數(shù)學(xué)不等式過(guò)程中，要學(xué)會(huì)結(jié)合不等式的不同特點(diǎn)，合理運(yùn)用不同形式構(gòu)造出對(duì)應(yīng)的函數(shù)，同時(shí)科學(xué)采用導(dǎo)數(shù)工具去證明出實(shí)際構(gòu)造出函數(shù)的單調(diào)性，這樣一來(lái)就能夠根據(jù)函數(shù)單調(diào)性特征去完成對(duì)該不等式的有效證明，提高整個(gè)證明解題過(guò)程的效率。通過(guò)去科學(xué)準(zhǔn)確判斷出函數(shù)單調(diào)性，就可以比較出區(qū)間大小，同時(shí)在該區(qū)間中融入不等式，有效將不等式與函數(shù)結(jié)合在一起，除此之外，要正確認(rèn)識(shí)到利用導(dǎo)數(shù)單調(diào)性進(jìn)行證明不等式能夠?yàn)樽陨硖峁O為實(shí)用的解題思路，無(wú)論是多復(fù)雜的曲線，往往只需要經(jīng)過(guò)兩個(gè)步驟就可以實(shí)現(xiàn)對(duì)不等式題目的高效準(zhǔn)確證明。這兩個(gè)解題步驟是先將不等式與函數(shù)有機(jī)結(jié)合起來(lái)，接著準(zhǔn)確判斷出該函數(shù)在對(duì)應(yīng)區(qū)間的單調(diào)性。

比如，當(dāng)遇到這個(gè)問(wèn)題時(shí)，已知X〉0，證明X-X²/2-1N（1+X）〈0，我們?cè)谧C明這個(gè)不等式的時(shí)候，可以合理利用導(dǎo)數(shù)單調(diào)性去進(jìn)行有效證明。在相應(yīng)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，通過(guò)判斷函數(shù)是遞減還是遞增去得出該不等式是否成立。證明解題步驟如下所示：假設(shè)函數(shù)f（X）=X-X²/2-1N（1+X）（X〉0），則f（X）=X-X²/2，當(dāng)X〉0時(shí)，f（X）〈0，這樣我們就能夠準(zhǔn)確判定出f（X）在X〉0區(qū)間中該函數(shù)是一種遞減的發(fā)展趨勢(shì)，X=0可以去除函數(shù)的最大值，通過(guò)f（X）〈f（0）有效證明出f（X）〈0成立，并且也能夠準(zhǔn)確證明出X-X²/2-1N（1+X）〈0是成立的。在不等式證明學(xué)習(xí)過(guò)程中，要理解到函數(shù)f（X）不只是可以與0作比較，還可以利用其它常數(shù)展開(kāi)比較，比如常見(jiàn)的a、b等，當(dāng)真正理解掌握了導(dǎo)數(shù)原理，就能夠利用導(dǎo)數(shù)單調(diào)性快速準(zhǔn)確證明不等式問(wèn)題了。

2 合理運(yùn)用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)極值之間關(guān)系證明不等式

在高中數(shù)學(xué)中，函數(shù)極大值與極小值實(shí)質(zhì)是指在某個(gè)域上函數(shù)取得的最大值或者是最小值點(diǎn)的函數(shù)值，促使函數(shù)取得極大值與極小值的點(diǎn)則被人們稱之為極值點(diǎn)。該域不僅可以是整個(gè)函數(shù)域，也可以是一個(gè)領(lǐng)域。在不等式證明解題過(guò)程中，可以先通過(guò)合理運(yùn)用導(dǎo)數(shù)準(zhǔn)確求出極數(shù)，并有效判斷出該極數(shù)是屬于極大值，還是極小值，接著就能夠求出最終的最大值或最小值，并在極值結(jié)果下完成對(duì)不等式的證明。其定理是令F（x）=f（x）-g（x），令F^‘（x）=f（x）-g（x）=0，求出點(diǎn)a.倘若是F^‘（x）〉0，則a為極小值，倘若是F^‘（x）〈0，則a為最大值，而相對(duì)應(yīng)的f（a）是函數(shù)f（x）在某區(qū)間上的極大值或者最小值，這樣一來(lái)就能夠有效得出f（x）≤f（a），亦或者是f（x）≥f（a）。

在實(shí)踐運(yùn)用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)極值之間的關(guān)系去科學(xué)證明不等式時(shí)，所要采用的步驟如下所示：1）要根據(jù)實(shí)際不等式題目去有效構(gòu)造出對(duì)應(yīng)的輔助函數(shù)，通常情況下要以作商或者作差為主：2）針對(duì)于該輔助函數(shù)在需要證明區(qū)間內(nèi)準(zhǔn)確找出其極值或者是最值，這樣就能夠使用極值或者最值完成與需要證明條件之間的比較，從而促使不等式得到有效證明，幫助我們高效解題。

3 合理運(yùn)用導(dǎo)數(shù)定義證明不等式

在高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)過(guò)程中，導(dǎo)數(shù)定義是導(dǎo)數(shù)關(guān)系內(nèi)容中最為基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)知識(shí)?；跀?shù)學(xué)定義輔助應(yīng)用下展開(kāi)解題是高中數(shù)學(xué)實(shí)踐應(yīng)用過(guò)程中一種較為常見(jiàn)的方法，在不等式證明解題中，可以通過(guò)對(duì)導(dǎo)數(shù)不同方面的深入分析完成對(duì)定義型不等式的有效證明。在不等式題目實(shí)踐證明解題中，首先可以通過(guò)假設(shè)y=f（X），在X0的鄰近區(qū)域中可以有效定義假設(shè)出limx0f（X）-f（X0）/X-X0=lim△/△X時(shí)存在的，這樣在X0區(qū)域中f（X）可導(dǎo)。要正確了解到在X0區(qū)域中f（X）有一個(gè)極值點(diǎn)y=f（X），可以通過(guò)使用高中導(dǎo)數(shù)定義去有效證明出其中一部分定義型的不等式問(wèn)題，接著再通過(guò)合理運(yùn)用導(dǎo)數(shù)定義展開(kāi)對(duì)不等式的證明過(guò)程。值得注意的是要學(xué)會(huì)認(rèn)真觀察判斷分析題目含義，首先要科學(xué)明確實(shí)際題目中已知條件與結(jié)論的關(guān)系，要在不等式題目中準(zhǔn)確找到合適的X0鄰近區(qū)域，這樣就能夠高效運(yùn)用導(dǎo)數(shù)實(shí)現(xiàn)對(duì)應(yīng)定義。

比如，當(dāng)面對(duì)函數(shù)題目f（X）=b1sinx+b2sin2x+...bnsinnx，其中b1、b2、b3一直到bn均是實(shí)數(shù)，同時(shí)n是屬于整數(shù)。我們?cè)诮忸}過(guò)程中，首先要假設(shè)出f（X）=b1cosx+2b2cos2x+3b3cos3x...+nbncosnx，然后就能夠證明出f（0）=nb1+nb2+nb3+...nbn，最后我們只需要根據(jù)高中導(dǎo)數(shù)定義得出1b1+2b2+3b3+...nbn≤1。

4 合理運(yùn)用函數(shù)凹凸性證明不等式

在高中數(shù)學(xué)不等式證明解題中，可以通過(guò)運(yùn)用函數(shù)的凹凸性去科學(xué)有效證明不等式。要正確理解到導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性會(huì)影響到函數(shù)凹凸性，可以基于建立坐標(biāo)系方法去知道函數(shù)的導(dǎo)數(shù)會(huì)在某段區(qū)間內(nèi)呈現(xiàn)出單調(diào)遞增的現(xiàn)象，這樣就能夠得出該區(qū)間的函數(shù)是向下凹的。反之亦然，倘若是導(dǎo)數(shù)函數(shù)的整體在該段區(qū)間內(nèi)表現(xiàn)為單調(diào)遞減的狀態(tài)，這樣就能夠得出該區(qū)間的函數(shù)是向上凸的。在面對(duì)不等式證明問(wèn)題時(shí)，可以合理運(yùn)用導(dǎo)數(shù)曲線凹凸性去展開(kāi)計(jì)算和觀察分析，最終能夠得知f（x）在該段區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)。首先我們可以建設(shè)在該區(qū)間內(nèi)存在兩個(gè)點(diǎn)，它們分別是x1、x2，在函數(shù)f（x）中，f（x）〉0，x?A區(qū)間，這樣就可以得出f（x）在該區(qū)間A內(nèi)會(huì)呈現(xiàn)出一種凹陷的狀態(tài)。倘若在函數(shù)f（x）中，f（x）〈0，x?A區(qū)間，那么就可以得出f（x）在該區(qū)間A內(nèi)呈現(xiàn)出一種凸出的狀態(tài)。

比如，當(dāng)進(jìn)行對(duì)不等式問(wèn)題證明中，已知x>0，y>0，且x≠y，請(qǐng)證明出不等式xlnx+ylny>（x+y）ln。針對(duì)該不等式證明問(wèn)題時(shí)，我們可以通過(guò)合理運(yùn)用函數(shù)凹凸性去展開(kāi)證明解題。首先我們要假設(shè)一個(gè)新函數(shù)f（a），使f（a）=alna，其中a〉0，這樣就能夠得出1（a），f1（a）=>0，從而就可以判斷出函數(shù)f（a）=alna在區(qū)間（x，y）中，x>0，y>0，該函數(shù)在區(qū)間內(nèi)呈現(xiàn)出一種凹陷的狀態(tài)。利用函數(shù)凹凸性進(jìn)行不等式證明解題的弊端在于會(huì)操作起來(lái)比較麻煩，而優(yōu)勢(shì)則是在于利用函數(shù)凹凸性更加直觀清晰，能夠促使不等式較為抽象的內(nèi)容變得更加直觀明了。針對(duì)于此，我們?cè)诿鎸?duì)部分特殊不等式題型時(shí)可以科學(xué)采用函數(shù)凹凸性展開(kāi)解題，前提是要充分掌握了解函數(shù)函數(shù)f（x）基礎(chǔ)性質(zhì)，提高對(duì)問(wèn)題的判斷分析能力，避免在證明解題過(guò)程中遇到各種阻礙，造成思路出現(xiàn)不清晰的現(xiàn)象。

5 合理運(yùn)用作差法證明不等式

在高中數(shù)學(xué)不等式證明中作差法是一種學(xué)生常用的解題方法，該解題方法最為顯著的優(yōu)勢(shì)特點(diǎn)是操作簡(jiǎn)單方便、應(yīng)用難度小，只要進(jìn)行反復(fù)訓(xùn)練使用就能夠輕松掌握作差法。當(dāng)面對(duì) f（x） < g（x）或者 f（x） > g（x）這些基礎(chǔ)函數(shù)形式時(shí)，可以科學(xué)采用作差法去有效構(gòu)建出新函數(shù)。比如，函數(shù)形式Z（x）= f（x） - g（x），然后只需要證明出構(gòu)造新函數(shù)的Z（x） < 0 或者Z（x） > 0 就可以了。

當(dāng)遇到下面這個(gè)不等式證明題目時(shí)，已知x >0 時(shí)，證明 x-x²/2〈ln（x+1）恒成立。我們首先要根據(jù)題目條件展開(kāi)分析，得出該題能夠符合差數(shù)形式f（x） < g（x），因此可以通過(guò)合理運(yùn)用作差法做構(gòu)建出新的函數(shù)，然后在進(jìn)行不等式證明。該不等式證明步驟如下：令Z（x）=x-x²/2-ln（x+1）<0（x>0），將該函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)得出Z（x）=-x²/x+1。

因?yàn)閤> 0，所以得出Z（x）<0，這樣就能夠得知不等式x-x²/2〈ln（x+1）是恒成立的。

6 結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，在高中數(shù)學(xué)實(shí)踐學(xué)習(xí)中導(dǎo)數(shù)是重要組成部分，導(dǎo)數(shù)在不等式證明中的靈活應(yīng)用能夠?yàn)槲覀兏咧猩行峁└鞣N解題思路，散發(fā)學(xué)生實(shí)踐創(chuàng)新思維，從而全面提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)綜合能力和素養(yǎng)。在高中數(shù)學(xué)實(shí)踐學(xué)習(xí)過(guò)程中，要想提高自身的不等式解題水平，就必須充分發(fā)揮出導(dǎo)數(shù)在不等式證明中的作用。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵所在就在于要注重提高自身的思維推理能力和創(chuàng)新實(shí)踐能力，要學(xué)會(huì)運(yùn)用不同解題方法打開(kāi)解題思路。在不等式證明中導(dǎo)數(shù)知識(shí)應(yīng)用是極為廣泛的，我們要根據(jù)實(shí)際不等式題目情況合理選擇運(yùn)用導(dǎo)數(shù)工具，只有這樣才能夠確保高效準(zhǔn)確的達(dá)到不等式證明目的。在日常做題練習(xí)中，要認(rèn)真注意導(dǎo)數(shù)使用條件，靈活選用導(dǎo)數(shù)工具展開(kāi)不等式證明，從而避免犯錯(cuò)。

（作者單位：榕城中學(xué)）