江蘇省蘇州大學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校 陸 椿

發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，通過(guò)數(shù)學(xué)教學(xué)來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，是數(shù)學(xué)教學(xué)的根本任務(wù)之一，也是核心素養(yǎng)背景下數(shù)學(xué)教育的價(jià)值追求。然而無(wú)論是形象思維還是抽象思維都極具抽象性，課堂上教師通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生多感官操作，讓數(shù)學(xué)思維“可視化”，幫助學(xué)生把思維路徑呈現(xiàn)出來(lái)，更好地讓學(xué)生反饋數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的不足和優(yōu)勢(shì)，“可視化”數(shù)學(xué)教學(xué)是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維的有效途徑之一。

一、做一做

數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)過(guò)程緩慢而艱巨，往往是伴隨著教學(xué)活動(dòng)由淺入深產(chǎn)生的。這種特質(zhì)對(duì)教師的教學(xué)提出了要求，同時(shí)也對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)產(chǎn)生了正向影響。思維本就是一種抽象的概念，對(duì)于小學(xué)生來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)這一課程的引入更是對(duì)認(rèn)知的極大的挑戰(zhàn)。小學(xué)階段的數(shù)學(xué)教學(xué)對(duì)學(xué)生今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)以及科學(xué)理性思維的培養(yǎng)都起著至關(guān)重要的作用。因此把“可視化”思維運(yùn)用于教學(xué)更需要教師細(xì)致的教學(xué)規(guī)劃。抽象的數(shù)學(xué)思維要在課堂上得到外顯，離不開數(shù)學(xué)活動(dòng)。為了更直觀地讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)思維的運(yùn)用，在教學(xué)時(shí)，教師通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手“做”，讓學(xué)生經(jīng)歷操作、演示、實(shí)驗(yàn)、實(shí)踐等過(guò)程，從而能觀察出學(xué)生的思維走向，進(jìn)而更好地培養(yǎng)發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

在第一學(xué)段，讓學(xué)生動(dòng)手“做”所借助的工具非常多，特別是在學(xué)習(xí)“數(shù)與代數(shù)”模塊中，可以選用小棒、計(jì)數(shù)器、算盤等工具。學(xué)生借助工具，親手觸碰小棒等學(xué)習(xí)工具來(lái)將數(shù)字具象化的過(guò)程，來(lái)呈現(xiàn)學(xué)習(xí)數(shù)數(shù)或是加減法等內(nèi)容時(shí)，就是一種簡(jiǎn)單的讓教師能充分觀察出學(xué)生的思維過(guò)程的教學(xué)措施。

例如：一年級(jí)《兩位數(shù)加整十?dāng)?shù)一位數(shù)》，教學(xué)45+30 和45+3，你是怎樣算的？當(dāng)學(xué)生用擺小棒的方法計(jì)算45+30 時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生先擺哪個(gè)數(shù)，再擺哪個(gè)數(shù)，為什么要這樣擺？學(xué)生在擺小棒時(shí)，往往會(huì)這樣擺：把3 捆和4 捆放在一起（如圖1），這是因?yàn)閹桌Φ木秃蛶桌Φ姆旁谝黄?。而在?jì)算45+3 時(shí)，學(xué)生是這樣擺的：把3 根和5 根放在一起（如圖2），這是因?yàn)閹赘暮蛶赘姆旁谝黄?，如此通過(guò)學(xué)生的動(dòng)手“做”，充分展現(xiàn)了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，也體現(xiàn)了計(jì)算時(shí)的基本算理，3 個(gè)十和4 個(gè)十合起來(lái)，5個(gè)一和3 個(gè)一合起來(lái)。通過(guò)學(xué)生的動(dòng)手“做”，區(qū)別了不同的算法。

再如二年級(jí)《認(rèn)識(shí)千以內(nèi)的數(shù)》，當(dāng)教學(xué)九百九十九添上1 是多少時(shí)，往往讓學(xué)生經(jīng)歷邊撥計(jì)數(shù)器邊數(shù)數(shù)的過(guò)程，學(xué)生會(huì)如下操作（如圖3）：

圖3

根據(jù)學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，九百九十 九添上1 是一千，那么一千這個(gè)數(shù)是怎么來(lái)的呢，是何意義呢？通過(guò)撥珠，學(xué)生對(duì)一千這個(gè)數(shù)的含義會(huì)更深刻，個(gè)位添上1 顆滿10 向十位進(jìn)1，十位添上1 顆滿10 向百位進(jìn)1，百位添上1 顆滿10 向千位進(jìn)1，原來(lái)10 個(gè)一百是一千，1 個(gè)千是一千。

小學(xué)階段的學(xué)生普遍處于心智不成熟的狀態(tài)，這種情況在小學(xué)低年級(jí)的學(xué)生日常學(xué)習(xí)生活中更為明顯。低年級(jí)學(xué)生學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)和人生經(jīng)驗(yàn)淺薄，很容易跟不上教學(xué)思路，經(jīng)常呈現(xiàn)的思維是零碎的片段。上例一年級(jí)學(xué)生對(duì)于計(jì)算較為抽象的題目，對(duì)于初學(xué)數(shù)學(xué)的低年級(jí)小學(xué)生這樣特殊的受眾群體確實(shí)有一定的難度，對(duì)于教師來(lái)說(shuō)，幫助學(xué)生打好數(shù)學(xué)基礎(chǔ)培養(yǎng)數(shù)學(xué)興趣是教學(xué)的關(guān)鍵。而教師采用“可視化”的教學(xué)策略，使用“做一做”的方法將數(shù)學(xué)思維更直觀地呈現(xiàn)了出來(lái)，這樣教學(xué)難點(diǎn)就迎刃而解了。而二年級(jí)學(xué)生的數(shù)數(shù)結(jié)合操作，則讓數(shù)數(shù)過(guò)程中“滿十進(jìn)一”的計(jì)數(shù)規(guī)則，以及對(duì)于十進(jìn)制有了更加深刻的認(rèn)識(shí)?！翱梢暬钡臄?shù)學(xué)教學(xué)通過(guò)學(xué)生的動(dòng)手“做”，讓學(xué)生思維更清晰，借助學(xué)生的動(dòng)手“做”，讓思維更有跡可循。

二、畫一畫

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，練習(xí)也是重要的一個(gè)環(huán)節(jié)。因此，數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)在練習(xí)這一步驟中也應(yīng)該有相應(yīng)的體現(xiàn)。學(xué)生在數(shù)學(xué)練習(xí)中，可以把自己的思維過(guò)程通過(guò)文字、符號(hào)或圖形等表示出來(lái)，畫圖是一種較簡(jiǎn)潔易行的方法之一。

例如：二年級(jí)《認(rèn)識(shí)方向》，當(dāng)學(xué)生認(rèn)識(shí)了地圖上的（上）北、（下）南、（左）西、（右）東之后，要解決物體與物體間的相對(duì)位置時(shí)，就可以通過(guò)“畫一畫”的形式，很好地解決問(wèn)題。如：學(xué)校在人民橋的（ ）面，在體育場(chǎng)的（ ）面；少年宮的西北面是（ ），西南面是（ ）。學(xué)生會(huì)呈現(xiàn)出箭頭形式（如圖4）：

圖4

學(xué)校在人民橋的哪一方向，從已知的人民橋指向未知的學(xué)校位置，那么箭頭所指的方向就是所要的方向；同理，根據(jù)這樣的思路去解決學(xué)校在體育場(chǎng)的哪一面，就迎刃而解了。少年宮的西北面是什么，從已知的少年宮指向西北方向，就知道西北方向有什么了。從圖中的箭頭可以看出，學(xué)生已經(jīng)分清了要問(wèn)的是什么，相對(duì)于誰(shuí)來(lái)說(shuō)，然后用畫箭頭的方式來(lái)找出他們之間的相對(duì)位置。學(xué)生的動(dòng)手“畫”是學(xué)生自我解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種方法，不同于以往的平面單一思考，簡(jiǎn)單的線條也能讓遇到的難題變得立體化，更加有利于學(xué)生答題，是一種有效且適用的答題方法，也體現(xiàn)了學(xué)生解決問(wèn)題的思維方式。

再如：三年級(jí)《小數(shù)的初步認(rèn)識(shí)》，在表征小數(shù)，理解小數(shù)含義時(shí)，讓學(xué)生用直觀圖表示出0.6 元，結(jié)果不同的學(xué)生呈現(xiàn)出不同的表征方式。有的學(xué)生是畫了一個(gè)長(zhǎng)方形，覺(jué)得0.6是其中一半再多一些，于是在中間多一些的地方直接畫了一條線，像這樣的學(xué)生僅僅只停留在會(huì)讀會(huì)寫水平，但對(duì)小數(shù)含義的理解還較模糊，他的直觀圖僅僅是根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)，憑借感覺(jué)來(lái)畫的。有的學(xué)生覺(jué)得憑感覺(jué)畫一條線來(lái)表示0.6 肯定不準(zhǔn)確，于是他覺(jué)得應(yīng)該把長(zhǎng)方形平均分成10 份，取其中的6 份，才能表示0.6，像這樣的學(xué)生已經(jīng)理解了小數(shù)的具體含義，并能用這樣直觀的圖來(lái)表示其中的0.6，這類學(xué)生已經(jīng)有了一定的直觀思考與定量表達(dá)。還有的學(xué)生是畫了一條線段，平均分成了10 份，取其中的6 段，來(lái)表示0.6，像這樣的學(xué)生他的認(rèn)知水平在解題的過(guò)程中又得到了進(jìn)一步的提升與發(fā)展，數(shù)學(xué)思維也得到了鍛煉。

以上述教學(xué)實(shí)例為例，通過(guò)簡(jiǎn)單的線條繪制和示意圖的展示，不僅在程度上豐富了教師教學(xué)的策略，更讓教師直觀地看出了學(xué)生不同的思維路徑和水平?！翱梢暬钡臄?shù)學(xué)教學(xué)不僅具象化了抽象的數(shù)學(xué)概念，便利了學(xué)生學(xué)習(xí)，也讓學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識(shí)、鞏固舊知識(shí)的同時(shí)將思維現(xiàn)狀直觀地反饋給了教師。在這樣相互便利的基礎(chǔ)上，教師也有了更好地了解學(xué)生思維現(xiàn)狀的機(jī)會(huì)，“可視化”的數(shù)學(xué)教學(xué)有利于教師及時(shí)調(diào)整教學(xué)策略。

三、說(shuō)一說(shuō)

在新課改指導(dǎo)的教學(xué)中，要讓學(xué)生成為課堂的主人，給予學(xué)生充分表達(dá)觀點(diǎn)的時(shí)間與空間。而數(shù)學(xué)課程是更需要學(xué)生獨(dú)立思維參與的一門學(xué)科，教師在日常教學(xué)的過(guò)程中，在倡導(dǎo)學(xué)生積極參與的同時(shí)，更應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)能力，通過(guò)師生和生生之間關(guān)于數(shù)學(xué)的對(duì)話、溝通、質(zhì)疑與辨析，逐漸幫助學(xué)生培養(yǎng)運(yùn)用數(shù)學(xué)思維的表達(dá)能力，良好的習(xí)慣的養(yǎng)成不僅能使學(xué)生的表達(dá)更準(zhǔn)確，還能進(jìn)一步提升和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

例如：二年級(jí)《有余數(shù)的除法》，用12 或13、14、15、16 根小棒分別擺一個(gè)4 根小棒搭成的正方形，結(jié)果會(huì)怎樣？通過(guò)學(xué)生的操作及觀察比較，學(xué)生能發(fā)現(xiàn)除法算式中的余數(shù)都要比除數(shù)小。這時(shí)候教師追問(wèn)，為什么余數(shù)一定比除數(shù)小呢？如果余數(shù)等于除數(shù)或大于除數(shù)又會(huì)怎樣呢？學(xué)生思考并回答，余數(shù)是剩下的小棒，不夠再搭一個(gè)正方形，所以余數(shù)肯定比除數(shù)4 小，如果余數(shù)等于除數(shù)或者大于除數(shù)，還可以再搭一個(gè)正方形，商就會(huì)增加1。當(dāng)學(xué)生能夠使用自己的語(yǔ)言將他對(duì)余數(shù)為什么要小于除數(shù)的道理表述出來(lái)時(shí)，就說(shuō)明學(xué)生對(duì)有余數(shù)除法計(jì)算的理解已經(jīng)到位了，同時(shí)也表達(dá)出了清醒的解題思路。

數(shù)學(xué)思維用語(yǔ)言的形式表達(dá)出來(lái)，在促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的同時(shí)也給了學(xué)生在學(xué)習(xí)中鍛煉語(yǔ)言表達(dá)能力的機(jī)會(huì)。思維跟語(yǔ)言表達(dá)相結(jié)合，口腦結(jié)合，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能得到更進(jìn)一步的提升與升華。如：二年級(jí)《兩步計(jì)算解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題》，解決問(wèn)題在低學(xué)段中需要讓學(xué)生具備會(huì)說(shuō)已知什么，要求什么，以及解決該問(wèn)題是怎么想的？數(shù)量關(guān)系式的具體表達(dá)對(duì)于低年段的學(xué)生來(lái)說(shuō)還是較難的，在教學(xué)過(guò)程中，用自己的話來(lái)表達(dá)就很有必要，這樣的表達(dá)不僅是解決了問(wèn)題，同時(shí)也展現(xiàn)了學(xué)生的思維。例如：原有37張畫片，又買來(lái)了13 張，送給小芳15 張，還剩幾張？討論中有這么幾種想法：①原有37 張加上又買來(lái)的13張，再減去送給小芳的15 張，列式：37+13-15。②可以用一共的37 張先減去送給小芳的15 張，再加上買來(lái)的13 張，列式：37-15+13。③把送給小芳的15 張減去買來(lái)的13 張等于2 張，再用一共的37 張減去2 張，就還剩35張，15-13=2（張）是多送出去的2 張，多以用37-2=35（張）。前兩種方法是屬于簡(jiǎn)單思維，而第三種思維就有了一定的提升，對(duì)幾種數(shù)量之間的關(guān)系理解得很透徹了。

本文通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)思維“可視化”教學(xué)的策略的分析與介紹，簡(jiǎn)要地梳理了這一策略操作的必要性和可行性。通過(guò)學(xué)生的操作與實(shí)踐，將數(shù)學(xué)思維通過(guò)實(shí)物教學(xué)工具呈現(xiàn)出來(lái)；通過(guò)畫圖，將數(shù)學(xué)思維以直觀圖形表征；通過(guò)語(yǔ)言表達(dá)，將抽象的數(shù)學(xué)思維外顯化。良好地運(yùn)用“可視化”策略教學(xué)，更需要教師和學(xué)生的配合，教學(xué)中重視教師對(duì)學(xué)生實(shí)際操作的指導(dǎo)，靈活地運(yùn)用多感官學(xué)習(xí)途徑，就可以將“看不見”的數(shù)學(xué)思維“可視化”，從而提高和發(fā)展學(xué)生的思維水平。 ▍