王 琳,馬 成

(1.東北大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，遼寧 沈陽(yáng) 110004；2.黑龍江工程學(xué)院 電氣與信息工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150050)

隨著社會(huì)的發(fā)展，電網(wǎng)中的負(fù)荷越來(lái)越多，以及分布式電源的大幅增加，不但改變電力系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，也改變了系統(tǒng)的電源分布[1],從而導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)內(nèi)無(wú)功分布不合理，影響線路的電壓質(zhì)量。因此，電力系統(tǒng)運(yùn)行部門(mén)主要考慮如何降低損耗、提高電力系統(tǒng)輸電效率和保證電力系統(tǒng)經(jīng)濟(jì)運(yùn)行，這些問(wèn)題成為電力系統(tǒng)的研究方向之一[2]。

電力系統(tǒng)無(wú)功優(yōu)化在減少電力系統(tǒng)功率損耗、提高電力系統(tǒng)輸電效率和保證電力系統(tǒng)經(jīng)濟(jì)運(yùn)行等方面具有重大的意義。其原則是在滿足約束條件下通過(guò)調(diào)節(jié)發(fā)電機(jī)電壓、電壓器分接頭和無(wú)功補(bǔ)償設(shè)備，給出1套合理的配置方案，達(dá)到所要求的目標(biāo)[3]。各國(guó)學(xué)者都對(duì)無(wú)功優(yōu)化問(wèn)題做出了相關(guān)的研究。常規(guī)優(yōu)化方法包括線性規(guī)劃法[4]、非線性規(guī)劃法[5]、動(dòng)態(tài)規(guī)劃法[6]等。這些方法有成熟的理論基礎(chǔ)，可以簡(jiǎn)化約束條件。但仍存在一些問(wèn)題無(wú)法解決：線性規(guī)劃法要將模型線性化，這會(huì)導(dǎo)致誤差；只有連續(xù)可導(dǎo)的函數(shù)才能使用非線性規(guī)劃法，否則無(wú)法得到最優(yōu)解；動(dòng)態(tài)規(guī)劃法建模復(fù)雜，存在“維數(shù)災(zāi)”問(wèn)題。同時(shí)這些傳統(tǒng)優(yōu)化方法都存在處理離散變量困難的情況。為了克服常規(guī)優(yōu)化算法的這些缺點(diǎn)，近些年，智能優(yōu)化算法被引入到無(wú)功優(yōu)化這一領(lǐng)域，主要包括模擬退火算法(SA)[7]、遺傳算法(GA)[8]和粒子群算法(PSO)[9]等。SA雖然全局收斂性好，但計(jì)算時(shí)間過(guò)長(zhǎng)，仍存在維數(shù)隨系統(tǒng)擴(kuò)大而擴(kuò)大的問(wèn)題；GA雖然不存在維數(shù)擴(kuò)大的問(wèn)題，但存在優(yōu)化速度慢、局部搜索能力弱等問(wèn)題；PSO易于實(shí)現(xiàn)，速度快，但存在易于陷入局部最優(yōu)、物種多樣性下降等問(wèn)題。

針對(duì)PSO存在的不足，文獻(xiàn)[10]提出動(dòng)態(tài)粒子群算法，但物種多樣性沒(méi)有得到改善；文獻(xiàn)[11]采用具有增加的慣性權(quán)重和增加的收斂參數(shù)改進(jìn)粒子群算法，但粒子在新區(qū)域“勘探”能力沒(méi)有得到改善。針對(duì)以上研究的不足，本文提出含擾動(dòng)的改進(jìn)吸引排斥粒子群算法用于求解電力系統(tǒng)無(wú)功優(yōu)化問(wèn)題，通過(guò)判斷粒子多樣性和迭代次數(shù)對(duì)速度更新公式和位置更新公式進(jìn)行改進(jìn)，優(yōu)化不但考慮了全局極值的新區(qū)域“勘探”能力，也考慮了物種多樣性，較好地克服了PSO的缺點(diǎn)，并在IEEE-14節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)上進(jìn)行仿真驗(yàn)證，驗(yàn)證改進(jìn)算法的有效性。

1 無(wú)功優(yōu)化數(shù)學(xué)模型

電力系統(tǒng)無(wú)功優(yōu)化問(wèn)題從數(shù)學(xué)的角度上講是一個(gè)多目標(biāo)、多約束、多變量的非線性動(dòng)態(tài)規(guī)劃問(wèn)題，是連續(xù)變量和離散變量相結(jié)合的優(yōu)化問(wèn)題。數(shù)學(xué)模型通常表示為

minf(x,u)

(1)

式中：f為目標(biāo)函數(shù)；g為等式約束條件；h為不等式約束條件；hmin為不等式約束條件可取到的最小值；hmax為不等式約束條件可取到的最大值；x為狀態(tài)變量；u為控制變量，控制變量有發(fā)電機(jī)電壓、電壓器分接頭位置和無(wú)功補(bǔ)償設(shè)備的容量。其中,發(fā)電機(jī)電壓為連續(xù)控制變量，電壓器分接頭位置和無(wú)功補(bǔ)償設(shè)備的容量為離散控制變量。

本文選取有功損耗最小為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)

(2)

式中:Ui,Uj為節(jié)點(diǎn)i、節(jié)點(diǎn)j處的電壓幅值，Gij為節(jié)點(diǎn)i,j之間的電導(dǎo)，θij為節(jié)點(diǎn)i,j之間的電壓相位角之差。

等式約束條件為

(3)

式中:Pi,Qi為節(jié)點(diǎn)i處注入的有功功率、無(wú)功功率；QG i為節(jié)點(diǎn)i處無(wú)功補(bǔ)償設(shè)備提供的無(wú)功功率；PD i,QL i為節(jié)點(diǎn)i處負(fù)荷消耗的有功功率、無(wú)功功率；Bij為節(jié)點(diǎn)i,j之間的電納。

不等式約束條件為

(4)

式中:Uimin,Uimax為節(jié)點(diǎn)i處的電壓幅值最小值、最大值；Qimin,Qimax為節(jié)點(diǎn)i處注入的無(wú)功功率最小值、最大值；QGimin,QGimax為節(jié)點(diǎn)i處無(wú)功補(bǔ)償設(shè)備提供的無(wú)功功率最小值、最大值；Pimin,Pimax為節(jié)點(diǎn)i處注入的有功功率最小值、最大值；Timin,Timax為第i臺(tái)變壓器分接頭變比的最小值、最大值。

2 吸引排斥粒子群算法及其改進(jìn)

2.1 粒子群算法

粒子群算法(Particle Swarm Optimization)是由Kennedy和Eberhart于1995年在文獻(xiàn)[12]中提出的，算法模仿了鳥(niǎo)類的捕食行為。鳥(niǎo)類捕食時(shí)，搜索當(dāng)前距離食物最近的鳥(niǎo)是最簡(jiǎn)單有效的方法，因此，是一種多點(diǎn)隨機(jī)算法。粒子在一個(gè)多維搜索空間中尋找潛在解，每個(gè)粒子都根據(jù)它自己和其周邊粒子的飛行經(jīng)驗(yàn)，時(shí)時(shí)在搜索空間中粒子的位置，對(duì)于一個(gè)M維的搜索空間，第i個(gè)粒子的位置和速度可以分別表示為xi=(xi1,xi2,…,xiM)和vi=(vi1,vi2,…,viM)。而粒子的優(yōu)劣性則表示為具體目標(biāo)函數(shù)的適應(yīng)度值。隨后，每個(gè)粒子通過(guò)個(gè)體極值和全局極值，對(duì)速度和位置進(jìn)行更新，更新公式為

vi=ωvi+c1r1(pbesti-xi)+c2r2(gbest-xi).

(5)

xi=xi+vi.

(6)

式中:pbesti為第i個(gè)粒子的個(gè)體極值，具體表示為pbesti=(pbesti1,pbesti2,…,pbestiM)；gbest為整個(gè)種群的全局極值，具體表示為gbest=(gbest1,gbest2,…，gbestM)；c1為認(rèn)知，c2為社會(huì)認(rèn)知，都是非負(fù)的常數(shù)；r1,r2為介于[0,1]之間的隨機(jī)數(shù)。

最后，將速度位置更新后的粒子重新求解適應(yīng)度，并與之前的pbesti和gbest相比較，若需要更新，則對(duì)pbesti和gbest進(jìn)行更新。

2.2 吸引排斥粒子群算法及其改進(jìn)

吸引排斥粒子群算法(Attractive and Repulsive Particle Swarm Optimization, ARPSO)是由Riget和Vesterstrom于2002年在文獻(xiàn)[13]中首次提到。由于粒子群算法在迭代的過(guò)程中物種多樣性會(huì)顯著降低，陷入早熟，為了克服早熟現(xiàn)象，ARPSO根據(jù)多樣性值大小提出了多樣性吸引狀態(tài)和排斥狀態(tài)，不同的狀態(tài)選擇不同速度更新公式，改善了物種多樣性。文獻(xiàn)[14]則對(duì)吸引排斥狀態(tài)進(jìn)行研究，提出了改進(jìn)吸引排斥粒子群算法(ATER-PSO)。但ARPSO和ATER-PSO都沒(méi)有考慮陷入局部最優(yōu)的原因并予以改進(jìn)。針對(duì)存在的問(wèn)題，本文參考文獻(xiàn)[15]中提出含擾動(dòng)的改進(jìn)吸引排斥粒子群算法(ATER-pPSO)。改進(jìn)方法如下：

1)對(duì)每次迭代得到的全局極值進(jìn)行擾動(dòng)更新，更新公式為

gbest′=N(gbest,σ).

(7)

通過(guò)更新公式可以看出，gbest′具有正態(tài)分布的特征。其中,σ表示全局極值極性的不確定程度。這樣可以保證gbest′在超出搜索軌跡定義的區(qū)域進(jìn)行探索，通過(guò)將每個(gè)gbest的不確定性作為時(shí)間的函數(shù)來(lái)考慮，gbest′在σ較大的早期階段提供一個(gè)簡(jiǎn)單而有效的探索，并在σ較小的后期階段進(jìn)行局部微調(diào)。因此，這種方法有助于減少陷入局部最優(yōu)的可能性，并將搜索范圍引向有希望的搜索區(qū)域。

2)根據(jù)ATER-PSO的速度更新公式[14]，引入根據(jù)式(7)得到的全局極值，定義ATER-pPSO的速度更新公式為

(8)

式中:div為粒子群算法的多樣性，計(jì)算方法及過(guò)程詳見(jiàn)文獻(xiàn)[16]。

2.3 含擾動(dòng)的改進(jìn)吸引排斥粒子群算法無(wú)功優(yōu)化

本文采用含擾動(dòng)的改進(jìn)吸引排斥粒子群算法求解無(wú)功優(yōu)化問(wèn)題，該優(yōu)化算法用于電力系統(tǒng)無(wú)功優(yōu)化的過(guò)程如下：

1)輸入網(wǎng)絡(luò)、運(yùn)行參數(shù)：包括網(wǎng)絡(luò)線路參數(shù)值、發(fā)電機(jī)相關(guān)參數(shù)、控制變量的描述、含擾動(dòng)的改進(jìn)吸引排斥粒子群算法相關(guān)參數(shù)等。

2)初始化粒子群：以發(fā)電機(jī)節(jié)點(diǎn)電壓、無(wú)功補(bǔ)償設(shè)備容量和變壓器分接頭作為控制量，構(gòu)成解的可行域，在各自的上下限中隨機(jī)取值，并組成n個(gè)M維粒子。由上文可知，控制變量個(gè)數(shù)即為粒子位置的維度M。

3)潮流計(jì)算：對(duì)所有粒子進(jìn)行潮流計(jì)算，根據(jù)式(2)得到各個(gè)粒子的有功損耗，并判斷各個(gè)粒子是否滿足節(jié)點(diǎn)電壓、節(jié)點(diǎn)有功和節(jié)點(diǎn)無(wú)功約束，若不滿足約束，則重新初始化不滿足條件的粒子。并找出個(gè)體極值pbesti和全局極值gbest。

4)全局最優(yōu)值優(yōu)化更新：采用式(7)，將得到的全局極值gbest更新為gbest′。

5)速度更新和位置更新：速度更新采用式(8)，位置更新采用式(7)。為了保證算法全局和局部搜索能力，ω使用時(shí)時(shí)變化調(diào)整策略，即

ω=ωmax-(ωmax-ωmin)k/kmax.

(9)

式中：ωmax,ωmin為慣性權(quán)重最大值、最小值；k為當(dāng)前迭代次數(shù)；kmax為最大迭代次數(shù)。

同時(shí)，認(rèn)知c1和社會(huì)認(rèn)知c2也采用實(shí)時(shí)調(diào)整策略，即

c1=(cmin-cmax)k/kmax+cmax，

(10)

c2=(cmax-cmin)k/kmax+cmin.

(11)

式中：cmax,cmin為認(rèn)知最大值、最小值。

6)更新粒子潮流計(jì)算：計(jì)算更新后的粒子有功損耗。

7)更新粒子的極值：對(duì)更新每個(gè)粒子計(jì)算得到的有功損耗值與局部極值pbest和優(yōu)化后的全局極值gbest′計(jì)算得到的有功損耗值進(jìn)行比較，若迭代得到的有功損耗值較小，則更新pbest和gbest′。

8)重復(fù)步驟4)至步驟7)，直到滿足最大迭代次數(shù)為止。

3 仿真與驗(yàn)證

3.1 IEEE-14節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)

IEEE-14節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)由14個(gè)節(jié)點(diǎn)、20條支路、5臺(tái)發(fā)電機(jī)、3臺(tái)可調(diào)變壓器、1個(gè)并聯(lián)補(bǔ)償電容器節(jié)點(diǎn)(節(jié)點(diǎn)9)組成。網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 IEEE-14節(jié)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

其中，連續(xù)型變量發(fā)電機(jī)電壓的范圍為0.95～1.10 p.u.。離散型變量可調(diào)變壓器的范圍為0.90～1.10 p.u.，調(diào)節(jié)步長(zhǎng)為0.02 p.u.；并聯(lián)電容器的上限為0.5 p.u.電納，步長(zhǎng)為0.05 p.u.。其它關(guān)于IEEE-14節(jié)點(diǎn)的數(shù)據(jù)詳見(jiàn)參考文獻(xiàn)[17]。

3.2 含擾動(dòng)的改進(jìn)吸引排斥粒子群算法無(wú)功優(yōu)化仿真

為了驗(yàn)證本文提出的算法相比于粒子群算法、改進(jìn)吸引排斥粒子群算法[14]和含擾動(dòng)粒子群算法[15]具有優(yōu)勢(shì)，本文以IEEE-14節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)為例，用MATLAB編程，對(duì)本文提出的算法進(jìn)行無(wú)功優(yōu)化仿真驗(yàn)證。仿真中認(rèn)知最大值取2.5，認(rèn)知最小值取0.5，慣性權(quán)重最大值取0.9，慣性權(quán)重最小值取0.4，最大迭代次數(shù)100，σ在迭代次數(shù)不超過(guò)最大迭代次數(shù)的一半時(shí)取0.05；在迭代次數(shù)超過(guò)最大迭代次數(shù)的一半時(shí)但不超過(guò)最大迭代次數(shù)時(shí)取0.1，多樣性最大值取0.5，多樣性最小值取0.3，粒子數(shù)取40，迭代次數(shù)取100，潮流計(jì)算采用牛頓拉夫遜法，以節(jié)點(diǎn)1作為平衡節(jié)點(diǎn)，優(yōu)化結(jié)果如表1所示。

表1 有功損耗優(yōu)化結(jié)果

從表中可以明顯看出，經(jīng)過(guò)優(yōu)化后的有功損耗明顯減少；如果使用不同的算法，得到的有功損耗也不同，而且本文提出的優(yōu)化方法能減少更多的有功損耗，用本文提出的算法比用傳統(tǒng)粒子群算法減少有功損耗1.054 2 MW, 比用含擾動(dòng)粒子群算法減少有功損耗0.202 8 MW，節(jié)約了發(fā)電成本，使運(yùn)行更經(jīng)濟(jì)，同時(shí)能較好地跳出局部最優(yōu)解。每種算法的有功損耗收斂曲線如圖2所示。從圖中可以看出，相比于其它幾種粒子群算法，本文提出的優(yōu)化算法能夠保證物種在迭代過(guò)程的中后期仍能保證物種的多樣性，提高了后期迭代效率。從圖中可以看出ATER-pPSO的收斂速度變慢，因?yàn)槿褐悄芩惴ǖ摹伴_(kāi)采”和“勘探”能力是相互制約的，“開(kāi)采”能力越強(qiáng)，則多樣性越差，而“勘探”能力越強(qiáng)，則收斂速度越慢。由于pPSO對(duì)全局極值進(jìn)行了擾動(dòng)，擴(kuò)大了搜索區(qū)域，增強(qiáng)了局部“勘探”能力，所以結(jié)合ATER-PSO后收斂速度總體變慢。

圖2 每種算法的有功損耗收斂曲線

4 結(jié)束語(yǔ)

本文提出了一種含擾動(dòng)的改進(jìn)吸引排斥粒子群算法。通過(guò)對(duì)改進(jìn)吸引排斥粒子群算法中全局極值進(jìn)行優(yōu)化，算法可以降低陷入局部最優(yōu)的可能性，保證物種的多樣性。并將該算法應(yīng)用到電力系統(tǒng)無(wú)功優(yōu)化問(wèn)題中。IEEE-14節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)的計(jì)算結(jié)果表明：與粒子群算法、含擾動(dòng)的粒子群算法等優(yōu)化算法相比，含擾動(dòng)的改進(jìn)吸引排斥粒子群算法降低了有功損耗、能更好地跳出局部最優(yōu)解、收斂性更好、解的質(zhì)量更高。該算法在電力系統(tǒng)無(wú)功優(yōu)化等方面有更廣闊的應(yīng)用前景。