構(gòu)造斜率模型 重溫高考經(jīng)典

郭 增

在求解數(shù)學(xué)問題時(shí)，由題設(shè)條件與結(jié)論，聯(lián)想所學(xué)的知識，構(gòu)造出相關(guān)的數(shù)學(xué)模型來求解，是運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解答各類問題的有效途徑，也是一種創(chuàng)造性思維方法。

恒成立問題的普遍做法是通過函數(shù)圖像以及函數(shù)最值來解決，但也存在有些問題需要分情況討論以及還有最值難以求解的問題，所以筆者從這個(gè)角度思考能不能從構(gòu)造新的幾何意義來輔助解決這類問題。幾何量中常用于計(jì)算的有距離與斜率，所以能不能從構(gòu)造斜率模型角度來思考，或許會有一片新的天地。本文對一道作業(yè)練習(xí)的研究，從構(gòu)造斜率模型的角度來重溫經(jīng)典高考題，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想來解答不等式恒成立問題。

作業(yè)練習(xí)：設(shè)a∈R，對任意的恒小于等于0，求a的取值范圍。

解：動(dòng)點(diǎn)(a+1,a)顯然在y=x-1上，函數(shù)y=ex在x∈[0,1]上的所有點(diǎn)與直線y=x-1的點(diǎn)連線的斜率恒小于等于0或是不存在，觀察圖像斜率顯然可知在直線y=x-1的x∈[1,2]區(qū)間上恒成立，即a∈[0 ，1]

反思：通過不等式乘積的代數(shù)轉(zhuǎn)化為比值，在分式的基礎(chǔ)上構(gòu)造出兩函數(shù)圖像點(diǎn)連線的斜率模型，結(jié)合圖像觀察恒成立的情況，既清晰也直觀。

高考鏈接：(2012年浙江卷理科17題)設(shè)a∈R，若x ＞0時(shí)均有

反思：這是一道非常經(jīng)典的不等式恒成立問題，通過代數(shù)變形構(gòu)造斜率模型再次展現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的魅力以及函數(shù)構(gòu)造的高妙。

綜上所述，不等式對于具有形式的分式或者乘積形式(代數(shù)變形為分式），在此分式的基礎(chǔ)之上構(gòu)造出斜率模型，再結(jié)合相應(yīng)的圖形觀察即可。以此，我們可以知道在解決代數(shù)不等式問題時(shí)，可以嘗試構(gòu)造特殊的方程或者不等式，結(jié)合幾何模型賦予相應(yīng)的幾何意義。