運(yùn)用數(shù)學(xué)函數(shù)與圖像解答物理實(shí)驗(yàn)問題

朱和平

有幸認(rèn)真拜讀了《物理教學(xué)探究》雜志2017年第2期第28卷朱文軍的《它們?yōu)槭裁纯偸侨菀鬃鲥e(cuò)》一文，頗有感受。文章提出了學(xué)生在遇到圖像問題時(shí)總是出錯(cuò)的問題。結(jié)合日常的教學(xué)，也經(jīng)常遇到帶圖像的物理實(shí)驗(yàn)題，該類型題的圖像很像數(shù)學(xué)的函數(shù)。每當(dāng)遇到該類型題學(xué)生總是找不到解題的入手點(diǎn)。為了解決帶圖像的物理實(shí)驗(yàn)題的問題，筆者進(jìn)行了研究。研究發(fā)現(xiàn)，物理與數(shù)學(xué)是最密切的學(xué)科，幾乎所有的物理概念和物理定律都是通過量化的方法用數(shù)學(xué)進(jìn)行推導(dǎo)的。

近幾年來的高考命題一直注重考生處理問題的能力，而每當(dāng)遇到帶圖像的物理實(shí)驗(yàn)題，考生都是錯(cuò)得最多的。究其原因有二，其一是考生看不懂帶圖像的物理實(shí)驗(yàn)題中圖像的意義，其二是考生找不到該類型題的解題入手點(diǎn)。在物理考試題中，圖像多以一次函數(shù)圖像出現(xiàn)，一次函數(shù)圖像是高中學(xué)生最熟悉的函數(shù)圖像。如果能有機(jī)地把帶圖像的物理實(shí)驗(yàn)題和數(shù)學(xué)函數(shù)聯(lián)系起來，定能做到學(xué)以致用、事半功倍的效果。

筆者以力學(xué)和電學(xué)實(shí)驗(yàn)各兩道例題為示范，講解如何把物理圖像和數(shù)學(xué)圖像有機(jī)結(jié)合起來。希望通過講解廣大讀者能夠有所領(lǐng)會(huì)，找到帶圖像的物理實(shí)驗(yàn)題和數(shù)學(xué)函數(shù)結(jié)合的要點(diǎn)，提高綜合素養(yǎng)。

例1.某同學(xué)利用單擺測定當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣龋l(fā)現(xiàn)單擺靜止時(shí)擺球重心在球心的正下方，他仍然將從懸點(diǎn)到球心的距離當(dāng)作擺球的擺長L，通過改變擺線的長度，測定6組L和對應(yīng)周期T，畫出了L-T2圖像，然后在圖像上選取A、B兩點(diǎn)，坐標(biāo)如圖1所示，他采用恰當(dāng)?shù)臄?shù)據(jù)處理，則計(jì)算的重力加速度與真實(shí)比較將_____(填“偏大”“偏小”“相同”)，重力加速度的表達(dá)式____________。

正確的解析：如圖1所示，可知圖像是一次函數(shù)圖像，可以用數(shù)學(xué)一次函數(shù)y=kx+b進(jìn)行比較求解，圖像中的L與y對應(yīng)，T與x對應(yīng)，如果我們找出b和k的意義是什么，題目就迎刃而解了。

由題意設(shè)球心到重心的距離為h，由，變?yōu)閿?shù)學(xué)函數(shù)y=kx+b的形式得，，相對應(yīng)可知k=由圖1圖像求得與h無關(guān)，所以此時(shí)得到的重力加速度是相同的，同時(shí)也得到g的表達(dá)式為

縱觀整個(gè)解題過程，把物理學(xué)的公式很好地變成了數(shù)學(xué)函數(shù)的形式，結(jié)合數(shù)學(xué)的斜率和截距知識很快解決了物理難題。

例2.將一單擺裝置豎直懸掛于某一深度為h(未知)且開口向下的小筒中(單擺下部分露在外面)如圖2(a)，將懸線拉離平衡位置一個(gè)小角后由靜止釋放，設(shè)單擺擺動(dòng)過程中懸線不會(huì)碰到筒壁，如果本實(shí)驗(yàn)的長度測量工具只能測到筒口下端到球心的距離l，并通過改變l而測出相對應(yīng)的周期T，再以T2為縱坐標(biāo)，l為橫坐標(biāo)，做出函數(shù)關(guān)系圖像，那么就得到想要測量的物理量。

圖1

圖2

(1)如果我們得到了實(shí)驗(yàn)的T2—l圖像如圖2(b)，那么正確的圖像是a、b、c中的___

(2)由圖2(b)可知，小筒的深度h=____cm；當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣萭=______m/s2

解析：如圖2(b)可知圖像是一次函數(shù)，可以用數(shù)學(xué)一次函數(shù)y=kx+b進(jìn)行比較求解，圖像中的l與x對應(yīng)，T2與y對應(yīng)，那我們就要找出b和k意義是什么了。由變?yōu)閿?shù)學(xué)一次函數(shù)y=kx+b的形式得，對比知，當(dāng)l=0時(shí)，T2為正數(shù)，得到a圖像正確。當(dāng)T2=0時(shí)，l=h=30cm，，故g=π2=9.86。

縱觀解題過程，題目很好地利用了數(shù)學(xué)一次函數(shù)的基本知識，把物理變量和數(shù)學(xué)變量有機(jī)結(jié)合起來，用數(shù)學(xué)的知識把函數(shù)的有關(guān)量解出來然后與物理變量對應(yīng)即可。

例3.某同學(xué)設(shè)計(jì)了如圖3的電路來測定電源的電動(dòng)勢E以及電阻R2的大小。實(shí)驗(yàn)器材有：待測電動(dòng)勢E(不計(jì)內(nèi)阻)，待測電阻R2，電壓表V(量程為1.5V，內(nèi)阻很大)，電阻箱R(0～99.99Ω)，R1=4.8Ω 開關(guān)S，導(dǎo)線若干。該同學(xué)按照電路圖接好了電路，多次調(diào)節(jié)R的大小，記錄R的大小和相應(yīng)的電壓表的讀數(shù)U，由此得到了如圖4的圖像，則該電動(dòng)勢E=____V，電阻R2=____Ω.

圖3

圖4

是k=，由圖4求得k=4.2，b=0.7，對比解得E=1.43V，R2=1.2Ω。

以上四道例題都是關(guān)于帶圖像的物理實(shí)驗(yàn)題的結(jié)果處理問題，在解決這樣的題目的時(shí)候，要知道圖像的含義，特別是一些特殊點(diǎn)的含義。了解基本的數(shù)學(xué)函數(shù)知識后，變化物理公式形式成數(shù)學(xué)函數(shù)形式，然后把數(shù)學(xué)函數(shù)圖像的變量和物理變量結(jié)合起來，達(dá)到了事半功倍的效果。