楊慧娟，郭蓉蓉，孟 夢，王晶瑩

中韓小學數(shù)學教材中分數(shù)除法的比較研究

楊慧娟1，郭蓉蓉2，孟 夢3，王晶瑩1

（1．青島大學 師范學院，山東 青島 266000；2．青島市第二實驗小學，山東 青島 266000；3．中國教育科學研究院，北京 100088）

分數(shù)除法是小學數(shù)學的重要內(nèi)容．對比中韓兩國的課程標準，發(fā)現(xiàn)兩國都注重算理：韓國要求掌握帶分數(shù)的計算，中國則注重含分數(shù)除法的混合運算與應用．從宏觀與微觀比較兩國的數(shù)學教材，在結構編排方面，兩國都注重分數(shù)除法的學習基礎與循序漸進，中國更注重內(nèi)容的縱向聯(lián)系與應用，韓國突顯螺旋上升．針對具體的教學內(nèi)容，兩國都注重設置情境引入課題；注重以幾何直觀幫助學生理解分數(shù)除法算理；中國更為抽象概括，韓國更看重算法的多樣化和發(fā)揮教材的“學材”功能．

小學數(shù)學；教材；分數(shù)除法

1 問題提出

教材（教科書）是課程的重要載體，也是課程實施過程中教師教學和學生學習的重要資源與依據(jù)，“以教材為依據(jù)”已經(jīng)成為“教、學、研”的一個重要特征．隨著時代的發(fā)展，教材的功能也在發(fā)生變化，如數(shù)學教材正由靜態(tài)的文本悄悄地具有了動態(tài)屬性，它影響著教什么和如何教，學什么和如何學，還兼有隱性地承載與傳播社會文化價值的功能．國家教材局的成立，進一步表明教材的編撰對于文化傳播、落實課程標準、明確教學內(nèi)容、提升學習品質(zhì)等具有至關重要的作用．

小學數(shù)學中很大一部分為“數(shù)及其運算”，而其中分數(shù)的出現(xiàn)不僅是“數(shù)”發(fā)展的第一次擴展，也是小學生學習“數(shù)”過程的一個飛躍．“研究表明，分數(shù)概念的理解是學生數(shù)學學習的重點與難點”[1-4]，在分數(shù)四則運算的算理和算法上，加、減、乘相對容易理解，分數(shù)除法跟整數(shù)除法有相同之處，又不盡相同，所以在概念和運算的學習過程中，無法將已有的經(jīng)驗直接類比，因而分數(shù)除法又是分數(shù)學習中的一個門檻，在理解分數(shù)概念的基礎上，進一步理解分數(shù)除法的算理和培養(yǎng)相應的運算能力是解決有關分數(shù)問題（如含分數(shù)的方程）以及理解分式計算的重要基礎．

分數(shù)除法是小學數(shù)學中教師最難教、學生最難學的內(nèi)容之一，難就難在學生對“某數(shù)除以一個分數(shù)等于某數(shù)乘該分數(shù)的倒數(shù)”的算理不容易理解[5]．國外的相關研究也表明，不管對老師還是對學生而言，分數(shù)除法都是較為復雜的內(nèi)容[6]．雖然僅就算法程序而言，它是不難的，但這一主題在概念上是豐富和困難的，因為它的含義需要通過它與其它數(shù)學知識、各種表示形式或現(xiàn)實世界的聯(lián)系來解釋[7]．在教材的編排方面，張平等比較了大陸（蘇教版）和臺灣（康軒版）小學數(shù)學教材中分數(shù)除法部分，發(fā)現(xiàn)兩者在編排的整體結構和理念上都有差異，并提出“在教材編寫以及教學實踐中需關注學生概念的理解，而非聚焦于規(guī)則的記憶和答案的獲得”[8]．Yeping Li等從宏觀和微觀方面關注并比較了中、日、美3個國家教材中的分數(shù)除法概念引入、內(nèi)容組織和例題習題等的呈現(xiàn)方式，研究發(fā)現(xiàn)與美國不同，中國和日本的教材在分數(shù)除法的概念化和組織結構上相似；并進一步指出，教育差異會體現(xiàn)在數(shù)學教材中，而這種差異也為進一步探討跨文化教材對教與學的影響提供了基礎[9]．

新一輪的數(shù)學課程改革中，理解算理是一項重要目標，理解了算理才能理解算法的真正意義．對于教師不容易教，學生不容易理解的算理內(nèi)容教學，應該成為教學研究的重點．尤其對于分數(shù)除法，“對這一內(nèi)容（分數(shù)除法）的關注，應該會給我們提供一個有趣的機會，以便了解在不同的教科書中組織教學內(nèi)容時可能采取的方法”[9]．

韓國作為中國的友好鄰邦，同屬亞洲文化圈，但其社會文化、環(huán)境以及教育的很多理念又與中國不同，孔凡哲的研究得到韓國小學數(shù)學教科書編寫通常采用的基本體例是，由“在實際生活中認識”“活動”“約定”“解題的方法”“熟記”“趣味游戲”“問題解決”“生活應用”等模塊多次反復拼排而成[10]．蔡慶有等人的對比研究表明在四年級“數(shù)與代數(shù)”領域，背景題占比中國顯著高于日韓，習題行為要求中國顯著高于韓國，即韓國的模仿題占比更高[11]．這些研究從不同側(cè)面反應了韓國小學數(shù)學教材的一些特色與內(nèi)容．而對于小學數(shù)學中分數(shù)除法這一“難教難學”的內(nèi)容，研究發(fā)現(xiàn)兩國的課程標準有很大差異，因而有必要進一步對兩國教材中分數(shù)除法的內(nèi)容、組織編排、呈現(xiàn)形式等進行比較．

2 研究方法與工具選取

研究采用文本分析法，選取了中韓兩國的小學數(shù)學教材進行內(nèi)容分析比較．中國教材選取由人民教育出版社2014年3月出版的小學數(shù)學六年級上冊（簡稱“人教版”）；韓國教材選取由韓國科學創(chuàng)意財團編撰、韓國國立國語院語言規(guī)范編審、2015年8月出版的數(shù)學5-2，2016年3月出版的數(shù)學6-1（簡稱“科創(chuàng)版”），這兩套教材是兩國較新出版并使用范圍較廣，具有一定的權威性與代表性．

首先比較兩國數(shù)學課程標準中對分數(shù)除法內(nèi)容的要求，在此基礎上從宏觀和微觀層面對兩國教科書進行了比較．宏觀層面，主要涉及內(nèi)容的年級分布與整體結構特征．

“一般來說，教材的知識編排方式、內(nèi)容呈現(xiàn)形式、習題數(shù)量與分布、插圖風格、課堂活動設計等都是體現(xiàn)教材特色的重要方面”[12]，教材內(nèi)容的編排與呈現(xiàn)方式直接影響學生對內(nèi)容的認知，所以微觀層面，研究剖析教材，對教材中分數(shù)除法內(nèi)容的編排方式和內(nèi)容呈現(xiàn)形式進行了比較研究．通過比較并非分辨孰優(yōu)孰劣，而是引發(fā)思考，批判和吸收國外的數(shù)學課程經(jīng)驗，以期能為教材編寫帶來有益的啟示，進一步加強中國的教材建設等．

3 研究結果與討論

3.1 中韓數(shù)學課程標準中分數(shù)除法內(nèi)容的比較與討論

《義務教育數(shù)學課程標準（2011）》（簡稱《中課標》）的內(nèi)容標準沒有具體分年級表述，第二學段“數(shù)與代數(shù)”中，在“數(shù)的運算”部分對分數(shù)的四則運算給出要求：能分別進行簡單的小數(shù)和分數(shù)（不含帶分數(shù)）的加、減、乘、除運算及混合運算（以兩步為主，不超過三步）．能解決小數(shù)、分數(shù)和百分數(shù)的簡單實際問題[13]．

通過比較發(fā)現(xiàn)，在課程目標的要求上，《韓課標》對分數(shù)除法教學目標的描述更為詳細清晰，并明確了應該理解算理．《中課標》雖然沒有明確指出理解算理，但在數(shù)學課程改革中，幫助學生理解算理已是計算教學的重點．

從目標的描述上看，《中課標》兩次提到“簡單”，一是進行簡單的運算；二是進行簡單的應用，《韓課標》的描述則著重于“理解”．在具體“分數(shù)”的要求上，《中課標》明確要求“不含帶分數(shù)”，韓國沒有這一要求，所以從目標上看，對分數(shù)類型的要求，《韓課標》難度顯然高于《中課標》；韓國沒有提到“混合運算”和分數(shù)除法的“應用”，《中課標》對“混合運算”和“應用”提出了要求，所以在運算步驟、應用廣度和深度上，中國也強于韓國．

3.2 教材中分數(shù)除法編排方式（組織結構）的比較與討論

數(shù)學教材的編排方式應該尋求知識體系、邏輯順序和心理生成的統(tǒng)一．分數(shù)除法的學習是分數(shù)四則運算的最后一項，也是后面運用分數(shù)及其運算的轉(zhuǎn)折，在知識的整體結構和邏輯體系上起著承上啟下的關鍵價值．

3.2.1 兩版本“分數(shù)除法”的組織分布與結構特征

人教版中分數(shù)的除法全部集中在六年級上冊（六上），科創(chuàng)版分布在數(shù)學5-2（五下）和6-1（六上）兩冊中，具體內(nèi)容如表1．

表1 中韓“分數(shù)除法”內(nèi)容分布

從教材的整體安排可以看出，人教版分數(shù)除法一章共有8小節(jié)，科創(chuàng)版兩章共有11小節(jié)，兩版本這部分知識的結構關系如圖1．

編排結構圖可以看出，兩國的編排方式有很大不同，但教學內(nèi)容均與課程標準相吻合，即人教版分運算和應用兩部分，科創(chuàng)版將分數(shù)類型進行了分類，并特別有關于帶分數(shù)的除法運算．

3.2.2 比較討論

（1）兩版本都注重了學習基礎與循序漸進．

圖1 人教版分數(shù)除法編排結構

圖2 科創(chuàng)版分數(shù)除法編排結構

整體而言，兩版本都是以“分數(shù)的除法意義”和“倒數(shù)”為基礎（雖然科創(chuàng)版沒有提出倒數(shù)概念），對分數(shù)除法的理解是從被除數(shù)是分數(shù)，除數(shù)是自然數(shù)開始，進而過渡到被除數(shù)和除數(shù)都是分數(shù)，不管是被除數(shù)還是除數(shù)，分數(shù)都是從簡到繁，整體設計注重了學生的心理基礎與生成．

（2）韓國科創(chuàng)版突顯螺旋上升理念．

在教材編排方式上，螺旋上升與直線上升各有利弊，不同版本的教材有不同的編排理念與方式．當前大家普遍認同的是螺旋上升模式，尤其是對小學數(shù)學教材從整體內(nèi)容安排來看，中國目前也提倡螺旋上升模式．但如果把分數(shù)除法作為一個知識體系看，無疑人教版偏重的是直線上升式編排，科創(chuàng)版偏重的是螺旋上升式編排．所以在集中程度上，科創(chuàng)版將分數(shù)除法的知識分散在兩冊中，較好地體現(xiàn)了“螺旋式上升”這一課程教材設計的基本原則[10]．相比之下，人教版更為集中，分數(shù)除法安排在一章中，完成了由基礎到新知識再到應用的過程．

（3）中國人教版更注重知識的縱向應用．

從兩版本的內(nèi)容組織上看，人教版簡單直接，更注重滲透數(shù)學知識的應用意識，尤其是分數(shù)除法在方程之后學習，所以這部分知識自然地與方程聯(lián)系起來．如在學習了分數(shù)除法的運算之后，教材安排有3小節(jié)列方程解應用題，在解方程的過程中要運用分數(shù)除法的運算法則，這既是“無處不用數(shù)學”的體現(xiàn)，也是中國傳統(tǒng)數(shù)學學習思想的體現(xiàn)．相比之下科創(chuàng)版的這兩章則只講了分數(shù)除法的算理與算法，并沒有涉及應用方面．

3.3 教學內(nèi)容呈現(xiàn)形式的比較與討論

知識內(nèi)容以什么樣的方式呈現(xiàn)于教材，會直接影響教師的教學與學生的學習，不同版本教材內(nèi)容的呈現(xiàn)形式也是教材比較研究的重要方面．中韓兩國教材的分數(shù)除法部分在內(nèi)容的呈現(xiàn)上有共同點，同時也各有特色．

3.3.1 兩版本具體教學內(nèi)容呈現(xiàn)舉例

由上述圖表可以看出，人教版在六上的分數(shù)除法一章有兩個重點：一是分數(shù)除法的運算（算理）；二是在解決問題（解方程）中應用分數(shù)除法．

科創(chuàng)版教材共有11小節(jié)來講授分數(shù)除法，第1、2小節(jié)為基礎，后面9節(jié)均為含有分數(shù)的除法，在此，隨機選擇一節(jié)內(nèi)容展示．如科創(chuàng)版6-1第2章第4節(jié)，內(nèi)容為異分母分數(shù)的除法．如圖3所示．

圖3 科創(chuàng)版一節(jié)分數(shù)除法內(nèi)容

3.3.2 比較討論

（1）兩版本都注重情境引入，情境各具特色．

適當?shù)那榫衬軌驇椭鷮W生理解正在學習的數(shù)學知識與數(shù)學外部世界的關系，并迅速帶領學生走進知識殿堂，進而引導學生開展數(shù)學思考、解決數(shù)學問題．研究發(fā)現(xiàn)兩版本都非常注重情境引入．人教版從第3小節(jié)開始，每一節(jié)都從一個設定的情境引出該節(jié)課要學習的知識；科創(chuàng)版幾乎每一小節(jié)都從一個生動活潑的情境或是兩個小學生的對話開始，提出該節(jié)課要解決的問題．

在情境素材的選取上，人教版通常以一個現(xiàn)實情境開始，如該章第4小節(jié)，是一個大夫與小學生的對話：“每次吃半片，每天吃3次”，“這盒藥共有12片，可以吃幾天？”情境來源于現(xiàn)實，有助于讓學生認識到現(xiàn)實生活中的數(shù)學．

科創(chuàng)版的情境則一般不拘泥于現(xiàn)實，有的多了幾分生動，有的則多了幾分數(shù)學味道．如在圖3中，給出的情境是將一根長棍子做成魔法棒，另外還有小朋友乘坐魔法掃帚到學校等情境．另如5-2第三章第1節(jié)的內(nèi)容是分數(shù)除以自然數(shù)與分數(shù)乘分數(shù)的關系，教材給出的情境問題是：如果最大圓的直徑是1米，那么最小圓的直徑是多少米？如圖4．

圖4 科創(chuàng)版引入情境

這里通過融會數(shù)學中若干個基本問題，使得科幻情境中的數(shù)學味道更加豐富．雖然學生還沒有深入學習圓的有關知識，但是從圓的基本性質(zhì)，以及直觀觀察圖形之間的關系，學生則容易理解其中的分數(shù)問題．

（2）兩版本都注重利用幾何直觀幫助學生理解算理．

“數(shù)缺形時少直觀”，幾何直觀是國際數(shù)學教育界的公認理念，也是《中課標》中的10個核心概念之一，同時，在中國《高中數(shù)學課程標準（2017版）》中，直觀想象也是6個數(shù)學核心素養(yǎng)之一．不管是幾何直觀還是直觀想象，都注重建立數(shù)與形的聯(lián)系，利用幾何圖形描述問題，借助幾何直觀理解抽象的算理，這是解決問題的有效手段之一．

在分數(shù)知識的教學中，利用直觀圖形幫助理解分數(shù)的概念、算理等已是大家認可的方法．中韓兩國的教學內(nèi)容中，注重運用幾何圖形來幫助學生理解分數(shù)除法．如人教版從分割長方形開始，到運用線段圖來理解題意并幫助列方程、解方程．

（3）中國人教版更為概括和抽象．

相比較而言，科創(chuàng)版則用了11小節(jié)來講分數(shù)的除法，11小節(jié)的區(qū)別主要體現(xiàn)與被除數(shù)和除數(shù)中分數(shù)的類型．由此可見，在內(nèi)容的深度、抽象性和概括性上，人教版更為明顯．

（4）韓國科創(chuàng)版更注重算法多樣化．

圖5 科創(chuàng)版學生活動

教材在完成了第一個問題后，總結給出了3種運算思路．思路一在中國的教材中并沒有提到，文[5]提出在教學中可以采用這種思路，同時也說明這種思路有一定的局限性，但從培養(yǎng)學生數(shù)學思維的角度講，對分數(shù)除法運算規(guī)則的推導不失為一種很好的思考方式．在沒有認識到“除以一個數(shù)等于乘這個數(shù)的倒數(shù)”之前，從算理上講，分數(shù)除法——除數(shù)或被除數(shù)是分數(shù)，最終必然要將兩者化為整數(shù)進行計算[16]．思路二和思路三的區(qū)別在約分的順序上．教材中對這3種運算思路的總結，實際上也是對這一章或者分數(shù)除法的一個總結，最后給出提示思考：請在上面3種計算方法中找出你覺得最簡單快捷的一個，并說出理由．

由最后的一個思考提示可以看出，教材并不給學生規(guī)定一定要用哪種計算方法（思路），而是給學生提供多種選擇，讓學生主動納入自我已有的認知結構．這種提倡算法多樣化的思想也表現(xiàn)在韓國的數(shù)學課堂上，“會鼓勵學生利用多元表征或多種方法解決問題，讓他們在全班同學面前，呈現(xiàn)自己的解決辦法，鼓勵全班同學積極參與討論，討論不同方法之間的差異和聯(lián)系或者最優(yōu)方法的選擇．課堂小結時，再次強調(diào)這些不同方法．整個過程中，教師不以方法的優(yōu)劣來評價學生．采用多種方法解決問題，已成為韓國數(shù)學課堂普遍的社會規(guī)則”[17]．由此可見，從教材到課堂，注重算法多樣化是韓國數(shù)學教育的特點．

（5）韓國科創(chuàng)版教材更注意發(fā)揮“學材”的功能．

科創(chuàng)版教材繼承了韓國小學數(shù)學教材編寫的理念，即教材也是學生學習的學材[10]．如在圖3中，3個活動分別給出了計算思路，值得注意的是教材中每一步都不給出答案，以填空的方式幫助學生理解分數(shù)除法的意義，從引導學生的思考出發(fā)，讓學生自己完成，最后在理解的基礎上，歸納運算法則（兩章分數(shù)除法的內(nèi)容均為如此）．這種方式在中國的教材中并不多見．這并非是說中國不注重學材，相反，中國不同版本的教材幾乎都配有相應的課堂練習冊（同步練習冊等），以至于英國在引進上海教材的同時也引進了相應的“一課一練”．從世界范圍來看，教材的功能正在變成學材，呈現(xiàn)出從教的方面向?qū)W的方面轉(zhuǎn)化的趨勢，指向了教師的課堂教學實踐，更是明確指向了學的主體——學生，這實際上也是教材滿足數(shù)學課堂教學實踐需要的一大轉(zhuǎn)向[18]．科創(chuàng)版將教材與學材融為一體，也是教材功能轉(zhuǎn)變的體現(xiàn)．

4 結語

教材中的其它內(nèi)容，如章末練習題、章頭圖等，兩個版本也呈現(xiàn)不同的特點，如科創(chuàng)版中的章末練習模塊多樣（故事、游戲等），章頭圖的設計、篇幅以及內(nèi)涵上呈現(xiàn)出的開放性與多樣化都值得借鑒．

科學知識本無國界，雖為東亞鄰國，且具有相同的文化淵源，但由于國情不同，人教版的高效率、短平快，科創(chuàng)版的小步走、慢節(jié)奏都體現(xiàn)了中韓小學數(shù)學教材在分數(shù)除法內(nèi)容處理上的特色．早有研究表明，“在涉及到整數(shù)的乘、除運算以及含有分數(shù)、小數(shù)的基本運算能力上來看，韓國學生的正確率略高于中國學生”[19]．無獨有偶，在趙冬臣等關于職前小學數(shù)學教師教學知識（分數(shù)除法）的調(diào)查研究中發(fā)現(xiàn)，“韓國師范生在多數(shù)題目上的得分率都明顯高于中國師范生；理解算理的韓國師范生的比例高于中國師范生；使用直觀表征的師范生的比例高于中國師范生”[20-32]．這些研究結果以及兩國教材中對分數(shù)除法截然不同的處理方式引發(fā)進一步深思，教材的編排對學生認識數(shù)及培養(yǎng)其運算能力的影響有多大；更為具體的問題如小學六年級是否可以接受帶分數(shù)與相關運算以及帶分數(shù)學習的意義與價值；在分數(shù)的乘除法學習中，是否有必要將分數(shù)分類（真分數(shù)、假分數(shù)、帶分數(shù)）進行處理；將分數(shù)除法轉(zhuǎn)變?yōu)檎麛?shù)除法（通分法）的弊端到底在哪里；九章算術中的通分術能否帶給學生新的學習感悟？隨著社會與時代的前進，如何進一步促進教材的多樣化與開放性發(fā)展，使之更有助于師生開展數(shù)學教學與自主探究．這些問題也促使廣大研究者審視教材編寫中如何做到“學科邏輯與心理邏輯的均衡統(tǒng)一”“知識的學科性與文化性的均衡統(tǒng)一”“時代開放性與數(shù)學傳統(tǒng)性的均衡統(tǒng)一”“國家特色與世界主流觀念的均衡統(tǒng)一”[12]，這樣才能推進教材的良性有序發(fā)展．

致謝：感謝中國海洋大學外國語學院黃大華教授的翻譯指導與幫助．

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[25] 史寧中．關于除數(shù)是分數(shù)或者小數(shù)除法的一個注[J]．數(shù)學教育學報，2019，28（5）：1．

[26] 李化俠．學習進階視角下小學生統(tǒng)計思維發(fā)展水平研究[J]．數(shù)學教育學報，2019，28（6）：55-57．

[27] 葉育樞．香港小學數(shù)學課程評價：“理念”“方式”與“啟示”[J]．數(shù)學教育學報，2019，28（5）：19-21．

[28] 徐云鴻．小學高年段空間觀念測評體系研究[J]．數(shù)學教育學報，2019，28（5）：9-13．

[29] 李懷軍，張維忠．小學生數(shù)學問題提出能力發(fā)展研究[J]．數(shù)學教育學報，2019，28（5）：2-8．

[30] 俞宏毓，朱向陽，顧泠沅．管窺小學數(shù)學課堂教學現(xiàn)狀——“兩位數(shù)減兩位數(shù)退位減法”教學案例分析[J]．數(shù)學教育學報，2019，28（1）：43-45．

[31] 楊紅萍，楊捷．小學生數(shù)學閱讀能力結構的因素分析[J]．數(shù)學教育學報，2019，28（5）：14-18．

[32] 付天貴，宋乃慶．走向小學數(shù)學文化自覺的思考[J]．數(shù)學教育學報，2019，28（6）：51-54．

A Comparative Study on Fractional Division in Primary School Mathematics Textbooks between China and Korea

YANG Hui-jun1, GUO Rong-rong2, MENG Meng3, WANG Jing-ying1

(1. Teacher Education College of Qingdao University, Shandong Qingdao 266000, China;2. Second Experimental Primary School of Qingdao, Shandong Qingdao 266000, China;3. National Institute of Education Sciences, Beijing 100088, China)

Fractional division was significant to mathematics learning during primary school. Compared the curriculum standards between China and South Korea, it was found that both of them think highly of calculation rules: South Korea requires to master the calculation of mixed fractions, while China laid emphasis on the mixed calculation and application of fractional division. By further compared the content of fractional division in each textbook from macro and micro perspective, it was found that both textbooks took the basic and progressive learning content seriously: textbook in China had more focus on the vertical links of content and application, otherwise textbook in South Korea had more focus on the content spiraling upward. For the specific teaching content, both textbooks paid attention to setting the context for introducing the topic; paying attention to help students understand the fractional division by geometric intuition; textbook in China was more abstract and general, otherwise textbook in South Korea had more values to the diversity of algorithms and the “l(fā)earning materials” function of the textbook.

primary school mathematics; textbooks; fractional division

G40–059.3

A

1004–9894（2020）02–0064–06

2019–12–21

青島大學2017年教學研究項目——《數(shù)學文化》研究性課堂教學改革與課程建設——基于卓越小學教師的培養(yǎng)（2017JG26）；山東省哲學社會科學重點課題——山東省免費師范生招生、培養(yǎng)與聘用一體化研究（16BJYJ01）

楊慧娟（1974—），女，山東招遠人，副教授，博士，主要從事數(shù)學教育和教師教育研究．

楊慧娟，郭蓉蓉，孟夢，等．中韓小學數(shù)學教材中分數(shù)除法的比較研究[J]．數(shù)學教育學報，2020，29（2）：64-69．

[責任編校：周學智、張楠]