武小鵬，孔企平

基于AHP理論的數(shù)學(xué)高考試題綜合難度模型構(gòu)建與應(yīng)用

武小鵬1，2，孔企平2

（1．黔南民族師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，貴州 都勻 558000；2．華東師范大學(xué) 教師教育學(xué)院，上海 200062）

高考作為中國高利害性考試，其試題的難易程度直接影響著測試的質(zhì)量和測量的公平性，綜合難度系數(shù)模型能夠在測試前對試題的整體難度做出評估，為有效合理的測量提供了保障．綜合難度系數(shù)模型認(rèn)為，影響數(shù)學(xué)高考試題難度的因素分為背景、是否含有參數(shù)、運(yùn)算水平、推理能力、知識含量、思維方向、認(rèn)知水平7個因素，各因素之間分為不同水平．研究選取16位數(shù)學(xué)學(xué)科專家對綜合難度系數(shù)各因素與不同水平的難度做出比較評判，在此數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上采用層次分析理論（AHP）對不同因素的權(quán)重和同一維度中不同水平的權(quán)重進(jìn)行求解，進(jìn)而建立了更為切合實際的綜合難度系數(shù)模型．利用該模型對2019年理科數(shù)學(xué)全國Ⅰ和全國Ⅱ卷進(jìn)行評價，并對該模型的應(yīng)用前景和未來研究的方向進(jìn)行了討論．

層次分析法；測試項目；綜合難度；數(shù)學(xué)高考；難度模型

教育測評作為一項非常重要且又十分復(fù)雜的教育活動，它對整個教育起到“牛鼻子”的引領(lǐng)功能[1]．測試作為學(xué)習(xí)者學(xué)習(xí)結(jié)果檢測和教育教學(xué)效果監(jiān)測的重要方法，在整個教育過程中得到廣泛的使用．一項測試項目的質(zhì)量往往受到多個因素的影響，如測試的信度、效度、區(qū)分度和難度等．然而在這些因素中試題的難度最能引起社會的高度關(guān)注．試題的難度在一定程度上影響著測試的公平性，尤其是在高利害性的測試中，難度更能夠決定應(yīng)試者的成敗，如中考、高考、研究生入學(xué)考試等．然而，目前對難度的計算都是在測試完成后，基于測試數(shù)據(jù)得到的，雖然這種計算難度的方法比較科學(xué)[2]．但是大多高利害性的測試都不允許提前大規(guī)模預(yù)測，以免造成試題曝光，導(dǎo)致試題泄漏．現(xiàn)有的評價注重綜合性，在評價的意義上分析，已超越了僅僅依靠定量評價的自然方法論[3]．綜合難度系數(shù)模型從影響測試項目的因素出發(fā)，依據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)對測試項目進(jìn)行深入的邏輯分析，能對測試項目的難易程度提前做出預(yù)判，能夠較大幅度提升測試的質(zhì)量[4]．雖然綜合難度系數(shù)模型已有較多的研究者在不同學(xué)科領(lǐng)域做了研究，如數(shù)學(xué)[5–6]、物理[7]、地理等[8]，但是對于難度系數(shù)模型中各因素之間的權(quán)重和同一因素中不同水平之間的權(quán)重計算存在很大的弊端．各因素之間一般采取簡單相加，不同水平之間也采用簡單的1、2、3分的主觀記分方式．這里采用專家評分的方式，借用AHP理論對該模型中的權(quán)重進(jìn)行計算，進(jìn)一步完善了綜合難度系數(shù)模型，使得模型更加貼近實際情況．

1 綜合難度系數(shù)模型

綜合難度系數(shù)模型是對表1中的因素和水平進(jìn)行有效的加權(quán)，聚合成一個指標(biāo)的過程．因素的難度系數(shù)為d：

表1 測試項目的綜合難度系數(shù)模型界定

其中，k是指第個因素的權(quán)重系數(shù)．

該模型充分考慮到不同影響因素對整個測試項目難度的影響．但在模型求解過程中，不同因素的權(quán)重系數(shù)k和同一因素中不同水平的權(quán)重系數(shù)k是未知的．已有研究的做法是方便權(quán)重，即認(rèn)為k都等于1，k則按照從低到高的水平分別為1、2、3等．這種計算方法顯然存在較大的問題．權(quán)重的大小沒有科學(xué)依據(jù)．以下研究以專家評判的方式，利用AHP理論計算得出k與k的值．從而較為科學(xué)地完善了綜合難度系數(shù)模型．

2 基于AHP的權(quán)重計算方法

1990年，Satty教授“如何做決定——層次分析的過程”一文中提出了計算不同影響因素權(quán)重的方法[16]．該方法歸結(jié)起來由以下4個過程構(gòu)成[17]．

2.1 構(gòu)造判斷矩陣

在計算不同影響因素的權(quán)重系數(shù)之前需要給不同的指標(biāo)進(jìn)行重要性排序，排序通常用9點(diǎn)法評分，標(biāo)度表如表2．

表2 指標(biāo)評分標(biāo)度

依據(jù)以上評分規(guī)則，可建立判斷矩陣，

其中a表示第個指標(biāo)與第個指標(biāo)相比得到的標(biāo)度．

2.2 權(quán)重系數(shù)的計算[18]

2.3 權(quán)重系數(shù)的一致性檢驗

通常一致性檢驗指標(biāo)采用[19]

表3 RI取值

當(dāng)≤0.01，權(quán)重系數(shù)具有可接受的一致性．

3 綜合難度系數(shù)模型中各權(quán)重系數(shù)的建構(gòu)

為了較為合理地獲得權(quán)重系數(shù)，利用專家法構(gòu)建評判矩陣．專家組由16人組成，其中6人是具有多年教學(xué)經(jīng)驗的教學(xué)名師，有深入的一線教學(xué)經(jīng)驗和應(yīng)試能力，10人為具有試題研究經(jīng)歷的博士研究生，部分博士具有奧賽研究和輔導(dǎo)經(jīng)歷．通過專家組評判得到評分標(biāo)度數(shù)據(jù)．

3.1 各因素的權(quán)重系數(shù)計算

依據(jù)上述計算方法，通過對16位教師計算的結(jié)果求平均找近似的方法得到了如表4的數(shù)據(jù)．

表4 各因素標(biāo)度值

因此，不同因素的判別矩陣為：

在層次分析法中，判別矩陣的計算方法可以將人主觀評判進(jìn)行定量化的分析，這是將定性描述轉(zhuǎn)化為定量計算的重要環(huán)節(jié)[20]．依據(jù)進(jìn)一步計算得到

3.2 不同水平的權(quán)重系數(shù)計算

依據(jù)專家對不同水平的評判結(jié)果和AHP理論對權(quán)重的計算方法，得到不同水平權(quán)重系數(shù)計算信息表，如表5所示．

表5 不同水平權(quán)重系數(shù)計算數(shù)據(jù)

再依據(jù)一致性檢驗指出計算方法得到1=0.008?12，2=0.007?38，3=0.004?09，4=0.000?93，5=0.006?17，6=0.009?01，7=0.003?90．其值均小于0.01的標(biāo)準(zhǔn)，因此，不同水平的權(quán)重系數(shù)存在較好的一致性．

4 綜合難度系數(shù)模型的應(yīng)用

為了驗證以上建立的綜合難度系數(shù)模型的有效性．選取了2019年全國高考理科Ⅰ卷和Ⅱ卷作為分析對象．對試題依據(jù)表1的界定，從7個因素共19個水平進(jìn)行編碼統(tǒng)計．由于考慮到試題分值帶來的影響．編碼過程中將解答題進(jìn)行分布編碼，即作為兩道獨(dú)立的題目編碼兩次，以達(dá)到分值的平衡．同時為了檢驗編碼的一致性，編碼采用兩組研究人員分別編碼，編碼一致性為89.17%，再對不一致的編碼項進(jìn)行討論得到最終編碼結(jié)果．

4.1 各因素不同水平對比分析

通過對每個影響因素不同水平編碼數(shù)量進(jìn)行統(tǒng)計，計算在整個測試中的比例，并繪制出圖1的水平對比折線圖．由于“是否含參”這一因素，卷Ⅰ和卷Ⅱ的數(shù)據(jù)完全一致，因此，這一圖像沒有呈現(xiàn)．

圖1反映了兩個測試在各因素不同水平上考查的對比結(jié)果，從圖1中可以看出，除了“是否含參”因素完全保持一致并且有參數(shù)和無參數(shù)各占一半外，“背景因素”“推理水平”“思維方向”這3個因素也基本保持一致．“背景因素”中無背景的題目占據(jù)絕大多數(shù)，占整個題目的80%左右，實際生活背景和科學(xué)背景的題目很少，僅不到20%．這說明項目考查中情境性很低，沒有將試題融入到具體情境中考查，數(shù)學(xué)問題的考查僅僅圍繞學(xué)科本身，降低了試題的趣味性．現(xiàn)有對核心素養(yǎng)的測評認(rèn)為，項目的考查需要關(guān)注的是課程學(xué)習(xí)的“真實性學(xué)業(yè)成就”[21]真實性學(xué)業(yè)成就不只是習(xí)得事實性的學(xué)科知識和概念，而是能夠運(yùn)用這些知識或概念解決復(fù)雜的現(xiàn)實性問題[22]．在“推理能力”這一因素中，可以看出簡單推理和復(fù)雜推理的比例基本在6∶4，說明試題的考查在注重基本推理的基礎(chǔ)上，保證了復(fù)雜推理的考查，因此，也符合選拔性考試的特征．“思維方向”的影響因素中，卷Ⅰ的逆向思維項目略高于卷Ⅱ，逆向思維開始于高級推理，是創(chuàng)新思維的基礎(chǔ)，屬于高階思維水平[23]．可見卷Ⅰ在思維方向難度略高于卷Ⅱ．

圖1 各因素不同水平對比折線圖

在“運(yùn)算水平”“知識含量”“認(rèn)知水平”3個因素上，卷Ⅰ和卷Ⅱ有較大的差異．卷Ⅱ的運(yùn)算水平相對要高于卷Ⅰ，尤其是卷Ⅰ占有較大比例的簡單數(shù)值運(yùn)算，但卻在簡單符號運(yùn)算方面卷Ⅱ高于卷Ⅰ．運(yùn)算水平在一定的程度上體現(xiàn)了試卷的復(fù)雜程度，尤其是作答需要的時間，在這個方面來看，卷Ⅱ要略高于卷Ⅰ．在“知識含量”因素上，卷Ⅰ在兩個知識點(diǎn)和3個及3個以上知識點(diǎn)的水平上表現(xiàn)出更高的難度，數(shù)據(jù)均高于卷Ⅰ．但兩個測試項目在知識含量方面多集中在單個知識點(diǎn)的考查，跨章節(jié)跨領(lǐng)域知識的考查很少．在“認(rèn)知水平”因素來看，同樣卷Ⅰ在高認(rèn)知水平上的比例要大于卷Ⅱ，尤其是在分析層次水平上的項目明顯高于卷Ⅱ．在這一因素上，卷Ⅰ有更高的難度．

4.2 各因素綜合難度分析

利用上述研究獲得的權(quán)重系數(shù)，將編碼數(shù)據(jù)帶入公式（1），可以得到各個因素的難度系數(shù)．各因素的難度系數(shù)得到的雷達(dá)圖，如圖2所示．

圖2 卷Ⅰ和卷Ⅱ不同因素綜合難度系數(shù)雷達(dá)圖

圖2在一定程度上反映了整個測試的難度構(gòu)成，以及不同測試在各因素上的難度差異．從綜合難度系數(shù)來分析，整個測試的難度主要集中在“思維方向”“推理能力”“是否含參”這3個因素上．并且這3個因素遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于其它因素．學(xué)生要突破難點(diǎn)則需要在思維的靈活性，尤其是逆向思維的培養(yǎng)訓(xùn)練方面下功夫．教師也應(yīng)該多關(guān)注學(xué)生逆向思維的培養(yǎng)．推理能力是數(shù)學(xué)教育的最核心問題之一，在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中起到至關(guān)重要的作用[24]．這一因素成為影響試卷難度的重要部分，是符合數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)特點(diǎn)的．參數(shù)作為由“靜態(tài)”到“動態(tài)”轉(zhuǎn)變的關(guān)鍵指標(biāo)，對測試難度也起到至關(guān)重要的作用．由不含參數(shù)到含參數(shù)的變化，是由靜態(tài)知識向動態(tài)能力提升的過程．“背景因素”承載的難度最小，這與高考試題中很少出現(xiàn)實際生活背景和科學(xué)背景的原因有直接關(guān)系．“認(rèn)知水平”和“知識含量”的難度系數(shù)處于中間地位，在一定的程度上影響了試題的難度．從兩個測試的各難度系數(shù)的差異上分析，兩者基本保持難度分布的一致性，僅有個別因素有一定的差異，如在“認(rèn)知水平”“知識含量”這兩個維度上，卷Ⅰ難度明顯高于卷Ⅱ，在“運(yùn)算水平”上卷Ⅱ反而要高于卷Ⅰ．但總體來看，卷Ⅰ的各難度系數(shù)不同程度的要高于卷Ⅱ．

4.3 測試項目綜合難度系數(shù)

5 討論與展望

5.1 討論

（1）綜合難度系數(shù)模型大幅度提升了測試的內(nèi)容效度和結(jié)構(gòu)效度．

綜合難度系數(shù)模型從數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)和影響學(xué)生問題解決的因素出發(fā)，就測試項目本身進(jìn)行多維度深層次的分析，并將分析結(jié)果通過加權(quán)聚類的方式進(jìn)行量化處理．這一模型打破了只有測試后才能得到試題難度這一壁壘，能夠有效地對測試項目測前預(yù)測試題難度．尤其是在大規(guī)模和高利害性考試中有重要的作用，由于從7個方面、19個水平對試題做了分析，因此試題在內(nèi)容上和結(jié)構(gòu)上有了進(jìn)一步的保障，使得測試更加具有實踐可行性．綜合難度系數(shù)模型是將學(xué)生問題解決的認(rèn)知障礙進(jìn)行量化分析，這種分析過程在幫助教師了解教學(xué)重點(diǎn)，幫助學(xué)生提升問題解決能力等方面起到了一定的作用．教師通過分析測試考查情況（如對高考試題的分析），可以進(jìn)一步有針對性地對學(xué)生提出補(bǔ)救教學(xué)的方案．學(xué)生通過對試題的分析和自己的作答結(jié)果對比，可以更深層次地進(jìn)行反思，彌補(bǔ)自己的不足．

（2）綜合難度系數(shù)模型對學(xué)生的認(rèn)知診斷測評提供了基本架構(gòu)．

綜合難度系數(shù)模型，有著明顯的結(jié)構(gòu)化特征，可以對測試項目進(jìn)行較為嚴(yán)格的編碼分析．雖然綜合難度系數(shù)模型僅僅是對試題的難度做出前期的預(yù)測．但如果這種編碼分析和學(xué)生的作答建立聯(lián)系．其本質(zhì)上講，綜合難度系數(shù)模型的編碼框架就構(gòu)成了學(xué)生測試的認(rèn)知模型，就可以和認(rèn)知診斷測評過程進(jìn)行有效地銜接．認(rèn)知診斷理論是在項目反應(yīng)理論的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的新一代測評理論，它是以項目的形式呈現(xiàn)給反應(yīng)者任務(wù)，把反應(yīng)者的反應(yīng)結(jié)果作為診斷的數(shù)據(jù)，反應(yīng)者的潛在特質(zhì)作為屬性，將這些屬性表示為潛在變量的變量，再用心理測評模型加以分析，得到認(rèn)知診斷結(jié)果的測評技術(shù)[25]．通過綜合難度系數(shù)模型的分析，可以將一個傳統(tǒng)的測試改編成一個具有現(xiàn)代測量特征的認(rèn)知診斷測評，這樣可以依據(jù)認(rèn)知診斷測評的結(jié)果對學(xué)生做出個性化的補(bǔ)救方案，大幅度提升因材施教的能力．

（3）綜合難度系數(shù)模型為測試項目的自動化評判和自適應(yīng)測評提供了基礎(chǔ)．

從研究分析的過程來看，對于綜合難度系數(shù)模型的計算有一定的復(fù)雜性，如果僅僅依靠手工計算存在一定的難度，同時也降低了綜合難度系數(shù)模型的可操作性和應(yīng)用價值，因此，可以將綜合難度系數(shù)模型的操作過程進(jìn)行計算機(jī)輔助處理，將計算過程程序化．不僅如此，更進(jìn)一步地，可以將綜合難度系數(shù)模型的過程嵌入到計算機(jī)自適應(yīng)測評系統(tǒng)中，達(dá)到對測試項目綜合難度分析和自適應(yīng)測評的雙重目的．現(xiàn)有的學(xué)習(xí)測評分析工具，可通過學(xué)生的在線學(xué)習(xí)和測評，將結(jié)果以可視化形式呈現(xiàn)給學(xué)生，幫助學(xué)生分析自身學(xué)習(xí)的問題，促進(jìn)反思，調(diào)整學(xué)習(xí)策略，以獲得更大進(jìn)步[26]．學(xué)習(xí)測評技術(shù)自適應(yīng)性具有傳統(tǒng)測評無法達(dá)到的眾多優(yōu)點(diǎn)，學(xué)習(xí)測評走向計算機(jī)自適應(yīng)化是測評發(fā)展的必然局勢．

5.2 展望

綜合難度系數(shù)模型雖在預(yù)測測試項目的難度和分析測試內(nèi)容的量化處理方面有著較大的優(yōu)勢，但任何測評模型都會存在不同程度的不完善之處，綜合難度系數(shù)模型也不例外．因此，要完善綜合難度系數(shù)模型還有許多工作可做．首先，雖然對綜合難度系數(shù)模型的各個影響因素和不同因素水平的權(quán)重進(jìn)行了計算，較大幅度地提升了綜合難度系數(shù)模型的可信度，但是在綜合難度系數(shù)模型中對測試難度影響因素的產(chǎn)生僅憑理論分析，還缺乏數(shù)據(jù)支撐，后期可以通過探索性因子分析和驗證性因子分析對影響因素進(jìn)行校正，再通過結(jié)構(gòu)方程模型建構(gòu)測試項目難度影響因素的結(jié)構(gòu)框架，其結(jié)果應(yīng)該會更加合理；其次，綜合難度系數(shù)模型的程序化處理和認(rèn)知診斷測評、計算機(jī)自適應(yīng)測評的結(jié)合還會有很多問題有待研究．

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The Construction and Application of the Comprehensive Difficulty Model of Mathematical Advanced Examination Questions Based on AHP Theory

WU Xiao-peng1, 2, KONG Qi-ping2

(1. Qiannan Normal University for Nationalities, School of Mathematics and Statistics, Guizhou Qiannan 558000, China; 2. East China Normal University, College of Teacher Education, Shanghai 200062, China)

As China’s national college entrance examination, the difficulty of the test questions directly affected the quality of the test and the fairness of the measurement. The comprehensive difficulty coefficient model could evaluate the overall difficulty of the test questions before the test, providing a guarantee for effective and reasonable measurement. According to the comprehensive difficulty coefficient model, the factors influencing the difficulty of the mathematics college entrance examination test could be divided into seven factors: background, whether or not the test contains parameters, operation level, reasoning ability, knowledge content, thinking direction and cognitive level, and each factor could be divided into different levels. In this study, 16 subject experts were selected to make a comparative evaluation on the difficulty of each dimension of the comprehensive difficulty coefficient. Based on this data, the analytic hierarchy process (AHP) was applied to solve the weights of different factors and weights at different levels in the same dimension, and then a more appropriate and practical comprehensive difficulty coefficient model was established. This model was used to evaluate the national I and national II volumes of science mathematics in 2019, and its application and future research directions were discussed.

analytic hierarchy process; test items; comprehensive difficulty; mathematics college entrance examination; difficulty model

G424.74

A

1004–9894（2020）02–0029–06

2019–12–13

2019年貴州省哲學(xué)社會科學(xué)規(guī)劃青年課題——貴州民族地區(qū)高中學(xué)生核心素養(yǎng)的認(rèn)知診斷測評體系構(gòu)建研究（19GZQN29）；2019年貴州省哲學(xué)社會科學(xué)聯(lián)合基金課題——黔南民族地區(qū)高中學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的認(rèn)知診斷測評研究（LHKT2019YB19）

武小鵬（1986—），男，甘肅天水人，黔南民族師范學(xué)院副教授，華東師范大學(xué)與美國普渡大學(xué)聯(lián)合培養(yǎng)博士生，碩士生導(dǎo)師，主要從事數(shù)學(xué)教育、課堂教學(xué)評價、認(rèn)知診斷測評研究．

武小鵬，孔企平．基于AHP理論的數(shù)學(xué)高考試題綜合難度模型構(gòu)建與應(yīng)用[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2020，29（2）：29?34．

[責(zé)任編校：周學(xué)智、陳雋]