吳增生

數(shù)學學科核心素養(yǎng)導向下的有理數(shù)教學實證研究

吳增生

（浙江省仙居縣教育局 數(shù)學教研室，浙江 臺州 317300）

以有理數(shù)為例，基于文獻研究提出發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)的教學策略：以數(shù)學核心素養(yǎng)的雙向細目表為導向，在數(shù)學思想引領(lǐng)下整體設(shè)計與數(shù)學核心素養(yǎng)相匹配的教學活動．用教學對比實驗的方法研究這種教學策略對學生學業(yè)水平及數(shù)學核心素養(yǎng)發(fā)展的影響．通過數(shù)據(jù)分析發(fā)現(xiàn)：在前測和后測顯著相關(guān)的前提下，實驗班和控制班前測數(shù)據(jù)沒有顯著性差異，而兩次后測中，實驗班成績顯著高于控制班．研究結(jié)果表明：這種教學策略，對學生學業(yè)水平和核心素養(yǎng)的發(fā)展，都具有顯著促進作用．

核心素養(yǎng)；整體教學；實證研究

1 研究背景

自從林崇德教授領(lǐng)銜的課題組于2016年發(fā)布研究成果“中國學生發(fā)展核心素養(yǎng)”[1]以來，數(shù)學學科核心素養(yǎng)的研究如火如荼，并取得了一系列的成果．一是通過對數(shù)學學科核心素養(yǎng)內(nèi)涵的研究，明確了數(shù)學學科核心素養(yǎng)的涵義和主要成分．如，蔡金法、徐斌艷提出了數(shù)學學科核心素養(yǎng)的4個成分：數(shù)學交流、數(shù)學建模、智能計算和數(shù)學情感[2]；喻平通過因素分析，得出數(shù)學學科核心素養(yǎng)的8個成分：數(shù)學抽象、運算能力、推理能力、數(shù)學建模、數(shù)據(jù)處理、空間能力、問題解決能力和數(shù)學文化品格[3]；史寧中把數(shù)學學科核心素養(yǎng)歸結(jié)為“會用數(shù)學的眼光觀察世界，會用數(shù)學的思維思考世界，會用數(shù)學的語言表達世界”[4]；在《普通高中數(shù)學課程標準（2017版）》中，進一步明確了數(shù)學學科核心素養(yǎng)的內(nèi)涵，給出了數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學運算、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)據(jù)分析等6個成分，指出了它們之間的關(guān)系．二是對數(shù)學核心素養(yǎng)的心理機制及教學策略的思辨研究．如，鄭毓信提出反對去學科化，要把發(fā)展數(shù)學學科核心素養(yǎng)落實到學科教學中[5]．常磊和鮑建生則研究了6個數(shù)學學科核心素養(yǎng)與情境的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)這些核心素養(yǎng)與情境的關(guān)系密切[6]；吳增生研究了數(shù)學抽象的認知與腦機制[7]；李昌官研究了數(shù)學抽象及其教學策略[8]．喻平提出了發(fā)展數(shù)學學科核心素養(yǎng)的教學策略，指出“培養(yǎng)數(shù)學核心素養(yǎng)需要明確核心素養(yǎng)發(fā)展的年齡規(guī)律，厘清發(fā)展的關(guān)鍵期，需要劃分不同的發(fā)展水平（知識理解、知識遷移、知識創(chuàng)新），助推從知識理解到知識遷移及知識創(chuàng)新；陳述性知識是核心素養(yǎng)生成的基礎(chǔ)，程序性知識是核心素養(yǎng)生成的中介”[9-10]；作為教材編寫者，章建躍則研究了教材編寫中如何落實數(shù)學學科核心素養(yǎng)的發(fā)展，提出了“構(gòu)建數(shù)學核心素養(yǎng)雙向細目表，明確每一章節(jié)和單元落實核心素養(yǎng)的側(cè)重點，制訂落實核心素養(yǎng)的操作指南”的策略，他在“指南”中提出“以發(fā)展學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng)為目標，以知識的發(fā)生發(fā)展過程為邏輯線索，精選學習素材，構(gòu)建學習情境，設(shè)計系列的數(shù)學學習活動”，這一觀點為將發(fā)展數(shù)學學科核心素養(yǎng)落實到課堂教學指明了方向[11]．

到目前為止，國內(nèi)學者對數(shù)學學科核心素養(yǎng)的內(nèi)涵雖仍有一些分歧，但整體上已基本取得共識，對數(shù)學教學中發(fā)展數(shù)學學科核心素養(yǎng)的重要性有了一致的認識，對于如何在數(shù)學教學中落實發(fā)展核心素養(yǎng)的目標，也有了許多思辨的研究．但是，怎樣構(gòu)建學習情境，設(shè)計有效促進學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)發(fā)展的教學活動，形成系統(tǒng)的教學策略體系，并對教學效果進行基于數(shù)據(jù)的分析評價，這樣的實證研究還非常缺乏．基于此，以有理數(shù)為例，進行基于數(shù)據(jù)分析的教學實證研究，探討具體內(nèi)容中發(fā)展學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng)的教學策略以及這種教學策略對學生學業(yè)水平與數(shù)學學科核心素養(yǎng)發(fā)展的影響．

2 研究設(shè)計

2.1 研究假設(shè)

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》指出，數(shù)學學科的核心素養(yǎng)包括：數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算和數(shù)據(jù)分析，這些核心素養(yǎng)是具有數(shù)學基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價值觀的綜合體現(xiàn)，它們既相對獨立、又相互交融．這些數(shù)學學科核心素養(yǎng)是在數(shù)學學習和應用過程中逐步形成和發(fā)展的[12]．一方面，數(shù)學學科核心素養(yǎng)作為數(shù)學思維品質(zhì)和關(guān)鍵能力，對促進學生學業(yè)水平的發(fā)展具有重要作用；另一方面，通過適當?shù)慕虒W設(shè)計，可以有效發(fā)展學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng)．

研究假設(shè)：以數(shù)學學科核心素養(yǎng)的雙向細目表為導向，在數(shù)學思想引領(lǐng)下整體設(shè)計與數(shù)學學科核心素養(yǎng)相匹配的教學活動，對提高學生學業(yè)水平，發(fā)展數(shù)學學科核心素養(yǎng)具有重要作用．

2.2 設(shè)計方案

2.2.1 制作雙向細目表

根據(jù)喻平的核心素養(yǎng)及其水平分析框架，分析有理數(shù)內(nèi)容相關(guān)的數(shù)學學科核心素養(yǎng)，制作有理數(shù)一章內(nèi)容的核心素養(yǎng)雙向細目表，如表1所示．

表1 有理數(shù)一章的數(shù)學核心素養(yǎng)雙向細目表（本章沒有涉及數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)）

2.2.2 確定教學策略

在數(shù)學思想引領(lǐng)下整體設(shè)計與核心素養(yǎng)相匹配的數(shù)學活動．數(shù)學思想是人們對數(shù)學的總看法，是一種一般觀念（big idea），數(shù)學基本思想包括抽象思想、推理思想和模型思想，而數(shù)學學科核心素養(yǎng)是具有數(shù)學基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力及情感、態(tài)度、價值觀的綜合體現(xiàn)，反映的是從事數(shù)學活動的能力，并在特定的數(shù)學活動中得到發(fā)展．這些活動應該具備以下兩個條件：一是要有數(shù)學思想這個一般觀念的統(tǒng)領(lǐng)；二是要與特定的核心素養(yǎng)相匹配．所謂匹配，指的是特定的核心素養(yǎng)所需要的活動步驟和內(nèi)容（如數(shù)學抽象中的“建構(gòu)模型、分離屬性，概括與一般化，定義與符號化，系統(tǒng)化”）．在有理數(shù)一章教學中，采用數(shù)系擴充這一核心思想引領(lǐng)下整體設(shè)計與數(shù)學學科核心素養(yǎng)相匹配的活動，是本章的基本教學策略．數(shù)系擴充思想包括數(shù)系擴充的一般研究思路、研究內(nèi)容和研究方法，這是總的觀念，也是系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的抽象．進一步，在有理數(shù)的有關(guān)概念和法則的學習與應用中，結(jié)合具體內(nèi)容設(shè)計與之相匹配的數(shù)學活動（直觀觀察和想象、數(shù)學抽象、數(shù)學運算、邏輯推理、數(shù)學建模中的一種或幾種活動）．

（1）整體性教學策略．讓學生經(jīng)歷“引入研究對象—界定研究對象，明確研究目標—整體構(gòu)建研究思路、內(nèi)容和方法”的整體規(guī)劃過程，引發(fā)學生的目標導向行為，形成問題研究的路徑．當這條路徑是基于先前經(jīng)驗的總結(jié)，又與當前學習內(nèi)容同步，且在學習小結(jié)中再次被總結(jié)時，能有效促進學生的學習[13]．在有理數(shù)教學中，需要首先引導學生回顧小學階段數(shù)的發(fā)展歷程（如圖1）．在此基礎(chǔ)上抽象出數(shù)系擴充的研究思路、研究內(nèi)容和研究方法．研究思路：引入新數(shù)，擴大數(shù)集—表示新數(shù)—研究性質(zhì)—研究運算和運算律—應用．研究內(nèi)容：數(shù)的性質(zhì)和運算（包括運算律）．研究方法：特殊到一般，類比，歸納，運算與轉(zhuǎn)化．接著，讓學生在相反意義的量的情境中產(chǎn)生正數(shù)和負數(shù)，并類比小學數(shù)系擴充的經(jīng)驗，規(guī)劃有理數(shù)的研究思路、研究內(nèi)容和研究方法．而在后繼教學中，在整體思路下提出問題、分析問題和解決問題．分別研究有理數(shù)的定義、表示、性質(zhì)、運算和運算律．應用研究成果解決簡單的問題．

圖1 小學階段數(shù)的發(fā)展歷程

（2）溫故知新教學策略．從學生已有知識經(jīng)驗中確定知識生長點，分析知識形成中發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)的活動需求，研究與數(shù)學核心素養(yǎng)相匹配的活動規(guī)律．在此基礎(chǔ)上設(shè)計數(shù)學活動類型和整體活動線索．如上述有理數(shù)研究思路的形成過程中，從學生已有知識經(jīng)驗出發(fā)，通過抽象形成數(shù)系擴充的思路，并遷移到新的數(shù)系擴充活動中．在有理數(shù)概念的教學中，從學生已認識的有理數(shù)的不同類型出發(fā)，通過對數(shù)的結(jié)構(gòu)（分母是否為1）對有理數(shù)進行分類和整合，得到正整數(shù)、負整數(shù)、整數(shù)、正分數(shù)、負分數(shù)、分數(shù)、有理數(shù)等概念，在此基礎(chǔ)上進一步抽象出有理數(shù)的“比例數(shù)”本質(zhì)；在有理數(shù)的性質(zhì)——大小比較教學中，以小學中非負數(shù)的大小比較為知識生長點，把這種比較方法投射到數(shù)軸上，得到“非負數(shù)大小關(guān)系”反映在正半數(shù)軸上“點的位置關(guān)系”的特征——左小右大，并把用這種“左小右大”推廣到整條數(shù)軸上，借助數(shù)軸得到有理數(shù)的大小關(guān)系的定義；在有理數(shù)的運算法則教學中，從小學中的運算法則出發(fā)，借助數(shù)軸直觀和邏輯一致性推廣到有理數(shù)范圍，等等．

（3）根據(jù)不同數(shù)學學科核心素養(yǎng)相關(guān)活動的特點和認知機制開展相匹配的數(shù)學活動，讓學生在活動中發(fā)展特定的數(shù)學學科核心素養(yǎng)．根據(jù)不同數(shù)學學科核心素養(yǎng)的特點和認知機制得到操作步驟，在這種操作步驟的引導下設(shè)計與核心素養(yǎng)相匹配的活動，這與喻平的“程序性知識是生成核心素養(yǎng)的中介”的觀點一致．

圖2 算式的結(jié)構(gòu)分析圖

④數(shù)學運算的教學策略．有理數(shù)的運算是代數(shù)運算的基礎(chǔ)，因此，本章教學對學生數(shù)學運算素養(yǎng)及今后代數(shù)的學習，具有奠基作用．有理數(shù)內(nèi)容中發(fā)展學生數(shù)學運算素養(yǎng)的教學策略是“理解算例、選擇算法、準確運算”要求的具體化和活動化：讓學生經(jīng)歷運算法則的抽象過程，使其成為他們自己的研究成果，體會其自然合理，深刻理解法則的內(nèi)涵與本質(zhì)，加強算理教學；讓學生經(jīng)歷從算理控制下的系列加工到自動加工的發(fā)展過程，提高運算的準確性；讓學生經(jīng)歷依據(jù)算理選擇和構(gòu)建算法的過程，發(fā)展創(chuàng)新意識；通過適當?shù)倪\算訓練，使運算次序、運算法則、運算律的應用自動化，形成運算技能．

⑤數(shù)學建模的教學策略．在知識形成過程中，重視聯(lián)系現(xiàn)實情境，如在有理數(shù)大小比較數(shù)軸定義形成后，引導學生思考“這樣規(guī)定是否符合生活常理？”，借助氣溫變化理解這種定義的合理性．同時，適當進行用有理數(shù)及其運算描述生活中問題的訓練，讓學生體會用有理數(shù)運算模型解決現(xiàn)實問題的過程．

2.3 確定實驗變量與實驗樣本

2.3.1 確定實驗變量

確定“基于核心素養(yǎng)的雙向細目表，融合數(shù)系擴充思想整體設(shè)計與核心素養(yǎng)相匹配的教學活動”的教學策略為自變量，以學生的學業(yè)水平和核心素養(yǎng)水平為應變量，研究采用這種教學策略對學生學業(yè)水平和核心素養(yǎng)發(fā)展的影響．為了確定自變量對因變量的影響，以該學校的入學考試成績?yōu)榍皽y數(shù)據(jù)，設(shè)計兩個后測，后測1為常規(guī)學業(yè)水平測試，后測2為與有理數(shù)相關(guān)的數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算等核心素養(yǎng)水平測試．對3次測試數(shù)據(jù)進行相關(guān)檢驗，前測數(shù)據(jù)和后測1、后測2數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)分別為0.729和0.607，類內(nèi)相關(guān)性檢驗的Sig值都是0.000．達到顯著相關(guān)，說明這3次測試具有良好的信度．

2.3.2 選擇實驗樣本

為了驗證研究假設(shè)，在一所城鎮(zhèn)普通初中的七年級16個教學班中選擇實驗對象．首先用SPSS20.0軟件分析入學考試的成績數(shù)據(jù)．其中Levene統(tǒng)計量為0.335，差異顯著性指標值為0.963；單因素值為0.389，差異顯著性為0.941；多重分析結(jié)果表明，除了1班和16班外，其余班級之間成績均值沒有顯著性差異（≥0.255)．

2.4 實施教學實驗

在前測成績均值沒有顯著性差異的班級中選擇出10個班級，隨機選擇出七年級（3）班為實驗班，其余9個班級為控制班．控制班按照人教版教材編排的順序和方法由原任課教師實施教學，實驗班由研究者執(zhí)教，按照“基于有理數(shù)內(nèi)容的核心素養(yǎng)雙向細目表，融合數(shù)系擴充思想整體設(shè)計與核心素養(yǎng)相匹配的教學活動”這一教學策略下設(shè)計和實施教學，教學時間4周．教學結(jié)束時實施后測1和后測2，并用SPSS20.0分析實驗班和控制班成績均值的差異．

3 實驗結(jié)果

3.1 數(shù)據(jù)分析

后測1中實驗班平均分第一，為80.45分，比控制班的最高平均分高4分．單因素分析中方差齊性分析Levene統(tǒng)計量值為1.724，顯著性為0.081；單因素方差分析中方差F值為2.092，顯著性為0.029．多重比較結(jié)果表明：實驗班與控制班的成績均值差異顯著（<0.05）．

后測2中實驗班平均分第一，為30.43分（滿分50分），比控制班最高平均分高2.03分．單因素分析中方差齊性分析Levene統(tǒng)計量值為1.324，顯著性為0.221；單因素方差分析中方差值為7.548，顯著性為0.000．多重比較結(jié)果表明：實驗班與控制班的成績均值差異顯著（≤0.006<0.05）．

數(shù)據(jù)顯示，在前測和兩次后測具有顯著相關(guān)的前提下，實驗班和控制班前測平均成績沒有顯著性差異，而后測1、后測2實驗班顯著高于控制班．這說明實驗班的教學策略對學生數(shù)學學業(yè)成績的提高，特別是數(shù)學核心素養(yǎng)的發(fā)展，具有顯著的促進作用．

3.2 實驗結(jié)果的討論

實驗的數(shù)據(jù)分析驗證了研究假設(shè)，其主要原因可能如下：（1）制定數(shù)學學科核心素養(yǎng)雙向細目表，明確了具體內(nèi)容中蘊含的數(shù)學學科核心素養(yǎng)及其水平要求，使設(shè)計的核心素養(yǎng)相關(guān)的教學活動更有針對性；研究數(shù)學核心素養(yǎng)的特點和認知機制，得到與之相匹配的數(shù)學活動步驟，在此基礎(chǔ)上創(chuàng)新教學設(shè)計，提高了活動促進數(shù)學核心素養(yǎng)發(fā)展的有效性；而數(shù)學學科核心素養(yǎng)的發(fā)展，又促進了學生數(shù)學學業(yè)水平的提升．（2）在數(shù)系擴充思想引領(lǐng)下，整體設(shè)計與核心素養(yǎng)相匹配的數(shù)學活動，讓學生充分經(jīng)歷了數(shù)學知識的形成和發(fā)展過程，比較深刻地感悟了貫穿有理數(shù)知識形成和發(fā)展過程中的數(shù)系擴充思想，使學生在一般觀念引領(lǐng)下建立起系統(tǒng)簡約的有理數(shù)知識結(jié)構(gòu)，在學習過程中經(jīng)歷了“用相似的方法做不同的事情”的過程，經(jīng)歷了自然合理的數(shù)學思考，從而深化了學生的知識理解，優(yōu)化了學生的知識結(jié)構(gòu)，減輕了學生的記憶負擔，促進了學業(yè)水平的提升．（3）通過設(shè)計核心素養(yǎng)的相關(guān)活動，讓學生“用相似的方法做不同的事情”，這符合大腦“總是通過修飾已有神經(jīng)激活模式應對新的挑戰(zhàn)”的原理，使學生的數(shù)學學習變得簡單和自然，提升了學生學習的自信心．

3.3 研究的意義與價值

研究在核心素養(yǎng)相關(guān)理論的指導下，制作有理數(shù)整章內(nèi)容中相關(guān)數(shù)學學科核心素養(yǎng)的雙向細目表，研究不同核心素養(yǎng)的特點和認知機制，并在此基礎(chǔ)上提出教學策略，嘗試在科學理論指導下進行整體教學策略的系統(tǒng)創(chuàng)新，把發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng)目標落實到課堂教學中；通過設(shè)計教學實驗，基于數(shù)據(jù)進行教學實證研究，驗證了教學策略對提升學生數(shù)學學業(yè)水平和數(shù)學學科核心素養(yǎng)的有效性．這為今后進行類似研究提供了實證研究的案例．

3.4 研究的局限與展望

因研究是對一所學校的少數(shù)樣本進行一次性教學比較研究，樣本數(shù)量不足，需要進行更多的教學驗證．今后，需要針對不同內(nèi)容分別進行多樣本的教學實證研究，這樣得到的證據(jù)更可靠，也能可靠地建立起不同內(nèi)容的教學策略．這樣有助于在教學實踐中把發(fā)展數(shù)學學科核心素養(yǎng)落到實處，更好地體現(xiàn)數(shù)學育人的教育理想．

4 研究結(jié)論

研究表明，以數(shù)學核心素養(yǎng)的雙向細目表為導向，在數(shù)學思想引領(lǐng)下整體設(shè)計與數(shù)學核心素養(yǎng)相匹配的教學活動，能有效促進學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的發(fā)展及學業(yè)水平的提高．通過制作數(shù)學核心素養(yǎng)雙向細目表，明確單元內(nèi)容知識的發(fā)生發(fā)展過程中蘊含著哪些核心素養(yǎng)，要達到哪一種水平；通過分析核心素養(yǎng)與數(shù)學思想的聯(lián)系，用數(shù)學思想引領(lǐng)，抽象出具有遷移價值的數(shù)學一般觀念，便于進行學生學習活動的整合設(shè)計，讓學生在學習中用相似的方法做不同的事情，在思考過程中返璞歸真、以簡馭繁，在問題的整體思考與研究中形成知識；通過研究不同的數(shù)學學科核心素養(yǎng)的認知機制，明確這種核心素養(yǎng)要求學生會從事哪些數(shù)學活動及活動過程有哪些主要步驟等，在此基礎(chǔ)上整體設(shè)計合理有序的教學活動，提高數(shù)學教學活動發(fā)展特定的數(shù)學學科核心素養(yǎng)的針對性．

[1] 核心素養(yǎng)研究課題組．中國學生發(fā)展核心素養(yǎng)[J]．中國教育學刊，2016（10）：1-3．

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An Empirical Study on Rational Content Teaching under the Guidance of Developing Mathematical Core Literacy

WU Zeng-sheng

(Mathematics Teaching and Research Office, Education Bureau of Xianju County of Zhejiang, Zhejiang Taizhou 317300, China)

Taking the rational number as an example. Based on literature research, this paper puts forward the teaching strategy of developing the core literacy of mathematics: Taking the bidirectional breakdown table of the core literacy as the guide. Under the guidance of mathematics thought Integral Design the teaching activities matched with Mathematics Core Literacy. Use teaching comparative experiment to study the influence of this teaching strategy on students’ academic level and the development of mathematics core literacy. The experimental class adopted this strategy to carry out the whole teaching. The control class was taught according to the textbook arrangement, taking the junior middle school entrance examination results as the pre-test data. after the completion of the teaching, carried out the routine academic level test and core literacy level test as two post-test data, analysis data with SPSS20.0. It is found that under the premise of significant correlation between pre-test and post-test. There was no significant difference between the experimental class and the control class in the pre-test data. But there was significant difference between the experimental class and the control classing in the two post-test data. This study shows that this teaching strategy has a significant role in promoting the development of students’ academic level and core literacy.

core literacy; holistic teaching; empirical study

G622

A

1004–9894（2020）02–0053–05

2019–11–08

浙江省教研課題——基于腦的初中數(shù)學總復習教學策略研究（G2019260）

吳增生（1962—），男，浙江仙居人，特級教師，正高級教師，主要從事數(shù)學教育研究．

吳增生．數(shù)學學科核心素養(yǎng)導向下的有理數(shù)教學實證研究[J]．數(shù)學教育學報，2020，29（2）：53?57．

[責任編校：陳雋、陳漢君]