胡媛媛

摘要：以“等比數(shù)列”為例，探究在數(shù)學(xué)教學(xué)中如何將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)融入課堂的各個(gè)環(huán)節(jié)，合理設(shè)計(jì)教學(xué)過(guò)程，讓學(xué)生體會(huì)等差與等比的異同，并取得較為理想的教學(xué)效果。

關(guān)鍵詞：核心素養(yǎng) ?等比數(shù)列 ?情境

一、研究背景

教育部明確要求各個(gè)學(xué)校要結(jié)合學(xué)生的特點(diǎn)與實(shí)際情況，把核心素養(yǎng)的培養(yǎng)落實(shí)到教學(xué)過(guò)程中?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中明確定義了數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的概念，指出了其組成要素及其之間的聯(lián)系。目前，此方面研究方興未艾，章建躍從教材編寫(xiě)一般規(guī)律的角度，探討核心素養(yǎng)的落實(shí);孫成成討論了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展路徑。這些豐碩的研究成果，極大地推動(dòng)了學(xué)科發(fā)展。而把數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)融合于教學(xué)活動(dòng)中，有利于學(xué)生的全面發(fā)展。

二、剖析內(nèi)容，梳理難點(diǎn)

等比數(shù)列是教材中的第二個(gè)特殊數(shù)列，如何在核心素養(yǎng)的視角下設(shè)計(jì)教學(xué)過(guò)程？筆者遇到了下面的幾個(gè)困惑：

（1）如何合理設(shè)計(jì)情境，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，自然地引出概念，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模與抽象的能力？

（2）能否用一個(gè)數(shù)學(xué)情境貫穿始終，使課堂形成一個(gè)整體？

（3）如何設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，連接教學(xué)內(nèi)容，使教學(xué)過(guò)程銜接自然，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理與直觀想象的能力？

（4）如何設(shè)計(jì)例題與練習(xí)，加深內(nèi)容理解并鞏固掌握，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算與分析的能力？

三、科學(xué)設(shè)計(jì)，提升素養(yǎng)

1.創(chuàng)設(shè)情境，引入新課

探究：如果能將一張厚度為0.1毫米的《大江晚報(bào)》第一次對(duì)折，第二次對(duì)折，第三次對(duì)折，……（假設(shè)可以一直折下去），那么，對(duì)折30次后，你覺(jué)得這時(shí)報(bào)紙的厚度更接近于（ ??）。

A.《新華字典》的厚度（3厘米）

B.迪拜塔的塔高（828米）

C.合肥市區(qū)到蕪湖市區(qū)的直線距離（約122千米）

D.地球與月球之間的平均距離（約38萬(wàn)千米）

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)對(duì)報(bào)紙對(duì)折后厚度的猜測(cè)，引起學(xué)生探究問(wèn)題的興趣，發(fā)生思維碰撞，激發(fā)學(xué)生問(wèn)題再探的興趣。

通過(guò)對(duì)對(duì)折后報(bào)紙的層數(shù)變化及面積變化的研究，抽象出如下四個(gè)數(shù)列：

師：請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)觀察上面的四個(gè)數(shù)列并認(rèn)真思考，上面敘述的數(shù)列有哪些共同的特征？

生：相鄰兩項(xiàng)的比是一樣的。

師：我們?cè)诘炔顢?shù)列里面是不是也得到過(guò)類(lèi)似的關(guān)系？那么，相鄰兩項(xiàng)的比是一樣的數(shù)列，我們是不是也可以給它一個(gè)新的稱(chēng)呼？

生：等比數(shù)列。

【設(shè)計(jì)意圖】從一個(gè)實(shí)際問(wèn)題中抽象出了四個(gè)等比數(shù)列，這里既有時(shí)間上的考慮，也有對(duì)不同公比等比數(shù)列的展示，培養(yǎng)了學(xué)生核心素養(yǎng)中數(shù)學(xué)建模的能力。

2.探究新課，理解概念

師：你能參考我們之前學(xué)習(xí)過(guò)的等差數(shù)列，嘗試寫(xiě)出等比數(shù)列的定義嗎？

（1）定義：一般的，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，……

師：你能?chē)L試用符號(hào)語(yǔ)言來(lái)定義等比數(shù)列嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】類(lèi)比是本節(jié)課中運(yùn)用的主要思想，所以在等比數(shù)列定義的歸納與整理部分采用了這一思想。類(lèi)比思想的滲透，提升了學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)。

（2）等比中項(xiàng)

師：兩項(xiàng)能構(gòu)成等比數(shù)列嗎？

生：不能。

師：那最簡(jiǎn)單的等比數(shù)列至少需要幾項(xiàng)？

生：三項(xiàng)。

師：如果一個(gè)等比數(shù)列的第一項(xiàng)是1，第三項(xiàng)是9，你能求出第二項(xiàng)G嗎？

生：3，或者-3。

師：你是如何得到第二項(xiàng)的呢？

師：一般的，如果a、G、b是等比數(shù)列，那么G叫作a與b的等比中項(xiàng)。

師：你能寫(xiě)出G與a、b的關(guān)系嗎？

師：那么，這時(shí)對(duì)a、b有什么要求？

生：同號(hào)。

【設(shè)計(jì)意圖】從最簡(jiǎn)單的等比數(shù)列出發(fā)，有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生形成從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，從特殊到一般的思維方式。引導(dǎo)的過(guò)程，著力使學(xué)生感受知識(shí)的形成過(guò)程是自然的，在求解過(guò)程中追本溯源，引導(dǎo)學(xué)生找到問(wèn)題的根本。

讓學(xué)生自己列舉出一些等比數(shù)列的例子，并抽出部分進(jìn)行點(diǎn)評(píng)。

師：同學(xué)們列舉的數(shù)列很豐富，數(shù)列中的項(xiàng)有正數(shù)，也有負(fù)數(shù)，但是沒(méi)有零，那么，零可以作為等比數(shù)列的項(xiàng)嗎？

生：不能。因?yàn)椴粷M足定義，所以等比數(shù)列的任何項(xiàng)都不能為零。

師：這里我們還看到了非零常數(shù)列，它是等比數(shù)列嗎？公比是多少？

生：是的，q=1。而且，非零常數(shù)列是一類(lèi)特殊的既等差又等比的數(shù)列。

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生自己舉例，感受等比數(shù)列的特性，再通過(guò)問(wèn)題引導(dǎo)幫助學(xué)生更好地理解等比數(shù)列的定義，同時(shí)用投影顯示學(xué)生舉例，規(guī)范數(shù)列的寫(xiě)法。

師：你是怎樣得到這個(gè)數(shù)列的？

生：先確定首項(xiàng)，再確定公比。

師：此數(shù)列的第85項(xiàng)是多少？有沒(méi)有更便捷的方式能直接得到數(shù)列中的項(xiàng)呢？

生：利用通項(xiàng)公式。

師：如果我們已知等比數(shù)列中{an}，首項(xiàng)為a1，公比為q，你能類(lèi)比等差數(shù)列，獲得等比數(shù)列的通項(xiàng)公式嗎？（學(xué)生自主推導(dǎo)）

【設(shè)計(jì)意圖】從學(xué)生舉的例子出發(fā)，通過(guò)問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生一步步地歸納出確定等比數(shù)列的首項(xiàng)與公比，讓學(xué)生自己去類(lèi)比、歸納和推導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)并理解，提升邏輯推理的核心素養(yǎng)。

（4）圖像

引導(dǎo)學(xué)生從解析式和圖像兩個(gè)角度研究等比數(shù)列和與其對(duì)應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)的關(guān)系。從圖像上看，表示數(shù)列中各項(xiàng)的點(diǎn)都在與其對(duì)應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖像上，它們是函數(shù)圖像上的一些孤立的點(diǎn)。因?yàn)閿?shù)列是以正整數(shù)集或其有限子集為定義域的特殊函數(shù)。

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生從數(shù)（結(jié)構(gòu)特征）與形（圖像）上進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與指數(shù)型函數(shù)之間的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生直觀想象的能力。

3.講解例題，加深理解

例1：一個(gè)等比數(shù)列的第2項(xiàng)和第3項(xiàng)分別是8和12，求它的第1項(xiàng)和第4項(xiàng)。

例2：一個(gè)等比數(shù)列的第1項(xiàng)和第3項(xiàng)分別是2和4，求它的第2項(xiàng)。

變式練習(xí)：一個(gè)等比數(shù)列的第1項(xiàng)和第5項(xiàng)分別是2和4，則它的第3項(xiàng)是 ???。

思考：（1）在等比數(shù)列{an}中，每隔k項(xiàng)取出一項(xiàng)組成一個(gè)新的數(shù)列，這個(gè)新數(shù)列是等比數(shù)列嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生熟悉概念與公式，加深對(duì)本節(jié)內(nèi)容的理解，并培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng)，同時(shí)引出下一節(jié)課的探究?jī)?nèi)容，為第二課時(shí)埋下伏筆。

4.課堂小結(jié)，類(lèi)比歸納

師：你能類(lèi)比已學(xué)過(guò)的等差數(shù)列的知識(shí)，回顧今天所學(xué)習(xí)的內(nèi)容嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】列出表格，對(duì)比聯(lián)系，清楚直觀。

5.情境回顧，前后呼應(yīng)

師：我們現(xiàn)實(shí)生活中，有很多等比數(shù)列的模型，你能想到哪些？（設(shè)置討論）

師：從數(shù)學(xué)的角度抽象了現(xiàn)實(shí)生活中與等比數(shù)列相關(guān)的模型，那我們今天最開(kāi)始的時(shí)候，是不是也有一個(gè)等比數(shù)列的模型？現(xiàn)在，你的選擇有改變嗎？

生：由于對(duì)折后報(bào)紙的層數(shù)是a31=230，所以對(duì)折后報(bào)紙的厚度是0.1×230毫米，約等于107千米，所以應(yīng)該選C。

師：很好。所以，我們現(xiàn)實(shí)生活中很多問(wèn)題需要進(jìn)行精準(zhǔn)的數(shù)學(xué)分析。

【設(shè)計(jì)意圖】從實(shí)際問(wèn)題中來(lái)，再回到實(shí)際問(wèn)題中去，用一個(gè)數(shù)學(xué)情境貫穿始終，使課堂成為一個(gè)整體，激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，并回歸認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)生活中的數(shù)學(xué)現(xiàn)象。

四、教學(xué)思考

本節(jié)教學(xué)融合了類(lèi)比、歸納、數(shù)形結(jié)合教學(xué)思想，實(shí)現(xiàn)了“現(xiàn)實(shí)情境—數(shù)學(xué)模型—回歸實(shí)際問(wèn)題”的遞進(jìn)過(guò)程，注意了數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，并側(cè)重培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，但在通項(xiàng)公式與方程思想的滲透上稍有欠缺。就課堂反饋情況來(lái)看，教學(xué)引導(dǎo)比較合理，講解較為透徹，實(shí)現(xiàn)了重點(diǎn)突出、前后呼應(yīng)的效果，師生互動(dòng)良好而有效，課堂氣氛融洽，收到了預(yù)期的教學(xué)效果。

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責(zé)任編輯：黃大燦