孫曉明，徐 慶，鄭興偉，霍海波，田中旭

(1.上海海洋大學 工程學院，上海 201306;2.北京航空航天大學 自動化科學與電氣工程學院，北京 100191)

0 引言

隨著人們對新的油氣資源、生物資源的關注，對海洋資源的探索和開發(fā)已是一種必然趨勢。海洋貿(mào)易、海洋運輸以及海岸作戰(zhàn)登陸已是一個國家話語權的一種體現(xiàn)。不論海洋資源的開發(fā)還是海上作戰(zhàn)部署，動態(tài)復雜環(huán)境下海洋水面船舶的控制策略研究都是當前的研究熱點[1-4]。

綜合考慮船舶節(jié)能、航行安全、減排等重要控制因素，以及船舶運動的非線性、模型不確定性、外界未知干擾存在的情況下，為實現(xiàn)海上作業(yè)任務，對船舶跟蹤控制的研究皆具有重要意義[5-7]。當前船舶控制研究主要有設定點跟蹤、路徑跟蹤和軌跡跟蹤[8-13]。定點控制研究中，船舶的目標位置為一固定點。在路徑跟蹤控制中，需要預先設定靜態(tài)幾何位置目標點，與時間無關。而在軌跡跟蹤控制中，船舶需要跟蹤時變目標期望軌跡，達到軌跡實時跟蹤的控制目的。

非常有趣的是，從人類的很多作業(yè)任務中，我們發(fā)現(xiàn)移動到達的最終目標往往是一個區(qū)域而非目標點，比如汽車停泊、投籃、飛鏢游戲等等。區(qū)域到達控制近年來被提出[14-17]，其控制目標由設定點變?yōu)槠谕繕丝臻g區(qū)域，具備計算量小、快速性好、魯棒性和實時性強等特性。文獻[15]針對機器人系統(tǒng)首次提出了區(qū)域到達控制的概念，它是對設定點到達控制算法的一種擴展。文獻[16]針對多機器人系統(tǒng)，研究了多個目標區(qū)域機器人協(xié)同到達控制算法，大量的機器人群體，最終分別到達不同的目標區(qū)域內(nèi)。此外，區(qū)域到達控制可被同時應用于微觀/宏觀系統(tǒng)，通過引入目標區(qū)域，作為宏觀系統(tǒng)的水下機器人可以更加靈活地調(diào)整自身位置，而作為微觀系統(tǒng)的機械臂可以執(zhí)行各種各樣的水下作業(yè)任務[17]。

反演法的設計思想是將復雜非線性系統(tǒng)降階分解為若干子系統(tǒng)，按照從前往后依次遞推的方式，為每一個子系統(tǒng)構造李雅普諾夫函數(shù)，設計中間虛擬反饋控制量，使所有的子系統(tǒng)都能夠漸進穩(wěn)定，最后，設計整個控制系統(tǒng)的控制律。對于不確定性系統(tǒng)，該方法往往與自適應控制結合使用，以實現(xiàn)魯棒性控制。

由于傳統(tǒng)的反演法要求系統(tǒng)模型結構及參數(shù)精確已知，而船舶系統(tǒng)具有非線性強、時滯、慣性大的特性，且外界擾動未知，速度不易測量，因此對船舶的跟蹤控制問題具備一定的挑戰(zhàn)性。在過去的數(shù)十年里，已被普遍證實，神經(jīng)網(wǎng)絡和模糊逼近方法可以以任意精度實時逼近不確定的復雜非線性系統(tǒng)[18-19]。

神經(jīng)網(wǎng)絡方法已被廣泛應用于逼近非線性系統(tǒng)數(shù)學模型中的未知項，因而，不再需要花費太多的精力在系統(tǒng)建模上，這尤其適用于建模非常困難的應用場合。在考慮海風、海浪以及海流等外界干擾影響比較大的情況下，精確的船舶模型很難得到，模型中往往存在著一定的不確定性，故而可以采用神經(jīng)網(wǎng)絡方法來逼近以及補償船舶系統(tǒng)模型中存在的任意不確定項。

針對全驅動海洋水面船舶系統(tǒng)，提出了一種基于反演的自適應區(qū)域到達控制算法。利用RBF神經(jīng)網(wǎng)路較強的自學習能力，可無需船舶的精確模型，在線實時逼近控制器中的未知非線性部分。由于引入了目標區(qū)域函數(shù)，目標區(qū)域可設定為任意形狀，因此，區(qū)域到達控制算法具有節(jié)省能源以及優(yōu)化船舶性能等優(yōu)勢。通過李雅普諾夫理論證明了所提出的船舶區(qū)域到達控制算法的穩(wěn)定性。最終，通過仿真驗證了所提出的船舶區(qū)域到達控制算法的有效性。

1 問題描述

1.1 船舶動力學模型

在考慮模型參數(shù)不確定和外部干擾存在的情況下，建立三自由度多輸入多輸出的全驅動海洋水面船舶數(shù)學模型如下[20]：

(1)

其中:η=[x,y,ψ]T∈3，是由大地坐標系下船舶的位置坐標(x,y)和航向角ψ所構成的向量；v=[u,v,r]T∈3，是船舶速度向量，分別由縱向前進速度、橫漂速度和艏搖角速度組成；d(η,v,t)∈3是由不確定的橫向、縱向和艏向擾動項構成的向量，分別來自外部環(huán)境、未建模的動態(tài)等等；τ∈3為船舶控制輸入向量。

J(η)∈3×3為三自由度雅可比轉換矩陣，其數(shù)學表達式為：

這里，狀態(tài)轉換矩陣J(η)滿足JT(η)Jη=I以及J-1(η)=JT(η)的特性。M∈3×3為系統(tǒng)慣性矩陣，并且M=MT>0，C(v)∈3×3為科氏向心力矩陣，D(v)為阻尼參數(shù)矩陣，g(η)為未知恢復力和力矩向量。

1.2 控制目標

區(qū)別于傳統(tǒng)的點到達控制，在船舶區(qū)域到達控制概念中，控制目標為期望的目標空間區(qū)域而非設定點。本文的控制目的是設計控制器τ，使船舶能夠從任意初始位置，收斂到達至預先設定的目標區(qū)域，如圖1所示，區(qū)域到達控制中期望的目標區(qū)域可以用不等式函數(shù)來設定。船舶實際位置用向量=[x,y]T來表示，取任意參考點0=[0,x,0,y]T為期望目標區(qū)域的中心點。定義不等式函數(shù)ζ(δ0):

ζ(δ0)≤0

(2)

為期望的目標區(qū)域，其中δ0=-0，ζ(δ0)∈為一階連續(xù)可微的標量函數(shù)。期望的目標區(qū)域可以設定為任意形狀，因此，為方便描述，目標區(qū)域可設定為一個以0為中心，半徑為r0的圓，則目標區(qū)域不等式函數(shù)可寫為如下形式:

(3)

其中：ζ(δ0)∈2→為船舶的目標區(qū)域函數(shù)，該目標區(qū)域函數(shù)具有如下性質：

1)船舶與目標區(qū)域的距離有界性決定了目標區(qū)域函數(shù)的有界性；

2)目標區(qū)域函數(shù)是關于船舶與目標區(qū)域的距離變量，δ0，連續(xù)并可微的。

很顯然，假如設定目標區(qū)域的半徑為零，控制目標區(qū)域將縮小為一個目標點，因而可以得出區(qū)域到達控制概念是對設定點到達控制算法的擴展。

圖1 船舶區(qū)域到達控制原理圖

(4)

其中:δη0=η-η0,η0=[0,x,0,y,ψ0]。構造船舶目標勢能函數(shù):

(5)

其中:k為正常數(shù)，該目標勢能函數(shù)具有如下性質：

1)如果ζ(δ0)≤0，此時船舶已收斂到達至目標區(qū)域內(nèi)，則P(δη0)=0，勢能函數(shù)關閉，不產(chǎn)生作用；

2)如果ζ(δ0)>0，即船舶位于目標區(qū)域外，尚未進入目標區(qū)域，則P(δη0)>0，勢能函數(shù)產(chǎn)生作用，使船舶不斷收斂跟蹤至目標區(qū)域；

3)如果ζ(δ0)>0，則P(δη0)隨著的增加而單調(diào)遞增，即船舶距離目標區(qū)域越遠，勢能函數(shù)值越高，船舶的收斂速度越快；

4)如果ζ(δ0)→∞，則P(δη0)→∞，也就是當船舶距離目標區(qū)域無窮遠時，目標勢能函數(shù)產(chǎn)生的作用值也趨于無窮大，以實現(xiàn)船舶的區(qū)域到達控制目標。

2 自適應區(qū)域到達控制方法

在實際應用中，系統(tǒng)模型往往存在不確定函數(shù)性。神經(jīng)網(wǎng)絡具有較好的自學習能力，可以以任一精度實時在線逼近任一未知非線性函數(shù)。從函數(shù)逼近方式上看，神經(jīng)網(wǎng)絡方法可分為全局和局部逼近兩種，而局部逼近具有學習速度快的特性，RBF(徑向基)函數(shù)就是一種局部逼近的神經(jīng)網(wǎng)絡，下文將對其進行詳細介紹。

2.1 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡

在控制工程中，RBF神經(jīng)網(wǎng)絡已被廣泛用于逼近未知連續(xù)函數(shù)[21]：

fnn(Z)=WTS(Z)

(6)

其中:W=[w1,w2,…,wl]T∈Rl為權值向量，l為神經(jīng)網(wǎng)絡節(jié)點數(shù)，Z=[z1,z2,…，zq]T∈Rq為輸入向量，S(Z)=[s1(Z),s2(Z),…,sl(Z)]T∈Rl為已知連續(xù)基函數(shù)向量，通常取si(Z)為高斯函數(shù):

(7)

其中:μi=[μi1,…,μiq]T為徑向基函數(shù)的中心向量，ηi為基寬參數(shù)。在緊集ΩZ?Rq上，RBF神經(jīng)網(wǎng)絡已被證明，其能夠以任意精度逼近非線性連續(xù)函數(shù):

f(Z)=W*TS(Z)+ε(Z),?Z∈Ωz

(8)

其中:W*為最優(yōu)常數(shù)權值向量，ε為逼近誤差并且滿足|ε(Z)|≤ε*，?Z∈Ωz，未知常數(shù)ε*>0。由于W*為自定義量，對所有的Z∈Ωz?Rq，通常將其定義為能夠使|ε|最小的量，也就是:

(9)

2.2 控制器設計

基于第一部分所提出的控制目標，在考慮參數(shù)不確定性和時變未知干擾的情況下，聯(lián)合反演算法、神經(jīng)網(wǎng)絡逼近和二次李雅普諾夫函數(shù)等工具，設計了一種船舶區(qū)域到達控制器，預先設定期望的參考向量η0，使船舶能夠最終收斂到達至目標區(qū)域。在反演遞歸步驟一中，通過引入勢能函數(shù)可以實現(xiàn)目標區(qū)域跟蹤這一控制目標，并且會給定一個虛擬反饋間接控制量α，用以實現(xiàn)特定的期望性能；而第二步則嚴格按照迭代方法，采用自適應技術，實時更新神經(jīng)網(wǎng)絡權值，提出關于總的李雅普諾夫函數(shù)V2的控制律τ，進而保證閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，具體設計過程如下：

步驟1 定義誤差變量:

z1=η-η0

(10)

對其求導可得：

(11)

這里，v可以看作式(11)中z1子系統(tǒng)的虛擬控制量，選α=v，并設計李雅普諾夫函數(shù):

(12)

其中:k>0，為正常數(shù)，將目標跟蹤勢能函數(shù)引入至李雅普諾夫函數(shù)中，可以保證船舶收斂跟蹤至目標區(qū)域中。

由于v為虛擬控制量，不是z1子系統(tǒng)的實際控制量，故而定義誤差量:

z2=v-α

(13)

并設定虛擬控制信號量:

(14)

其中:k1>0為設計參數(shù)。則：

(15)

步驟2 對變量求導得：

M-1d(η,v,t)-M-1g(η)

(16)

為穩(wěn)定整個閉環(huán)系統(tǒng)(z1,z2)，定義李雅普諾夫函數(shù):

(17)

設計控制律和自適應更新律如下：

(18)

(19)

(20)

2.3 穩(wěn)定性分析

引理1 如果函數(shù)V(t)為定義在時間t∈R+上的連續(xù)可微函數(shù)，并滿足V(t)大于等于0且V(0)是有界的，假如滿足如下不等式關系：

這里，c1>0，c2為常量，則認為函數(shù)V(t)是有界的。

定理1 對于具有動力學模型為公式(1)形式的海洋水面船舶系統(tǒng)，在設計區(qū)域到達控制律為公式(18)以及神經(jīng)網(wǎng)絡權值更新律為公式(19)的情況下，如果存在足夠大的緊集Ωi,i=1,2，滿足Zi∈Ωi，?t≥0,則對于起始于任意緊急Ω0的有界初始條件下，滿足:

1)閉環(huán)系統(tǒng)中的所有變量都是有界的，系統(tǒng)狀態(tài)量以及神經(jīng)網(wǎng)絡權系數(shù)向量將最終收斂到某一有界緊集中；

證明：

1)首先，對V2進行求導得：

(21)

將控制律表達式(18)和更新律表達式(19)代入公式(21)，根據(jù)楊氏不等式，整理可得：

(22)

其中:ρ，c,d1>0,并且：

2)通過求解式(22)，可得：

0≤V2(t)<δ+(V2(0)-δ)exp(-ρt)

(23)

其中:δc/ρ>0，可進一步得到：

V1<δ+V2(0)exp(-ρt),

(24)

因此，假如給定:

則存在T，使得如下不等式成立：

?t≥T

(25)

則：

(26)

這里，μ的大小取決于參數(shù)k,k1,k2,σi,Γi和逼近誤差ε，因而增加增益參數(shù)和神經(jīng)網(wǎng)絡的節(jié)點數(shù)可以得到較好的跟蹤性能。

3 仿真驗證

本節(jié)采用CyberShip II全驅動無人船模型進行船舶區(qū)域到達控制算法的仿真驗證,該船模是挪威科技大學海洋控制實驗室根據(jù)1∶70的比例所構建的。

該模型船的動力學模型可以用式(1)來描述，式中矩陣M,C(v)和D(v)的數(shù)學表達式分別為：

這里，

c13=-m22v-m23r,c23=m11u

d22=-Yv-Yv|v|v|-Y|r|v|r|,

d23=-Yr-Yv|r|v|-Y|r|r|r|,

d32=-Nv-Nv|v|v|-N|r|v|r|,

d33=-Nr-Nv|r|v|-N|r|r|r|.

表1 無人船主要參數(shù)列表

為了便于仿真實驗驗證，設定期望目標區(qū)域為半徑r0=2的圓，中心位置0=[5,-8]，并隨機指定船舶初始位置為(0)=[0,0]。所采用的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡節(jié)點數(shù)為20個,即l=20，高斯函數(shù)的中心矢量,μi的每一分量均勻分布在[-5,5]，基寬取1，網(wǎng)絡的初始權值取0，仿真中采用控制律式(18)和自適應律式(19)，得到仿真結果如圖2～3所示。

圖2 船舶在平面內(nèi)的運動軌跡

全驅動海洋水面艦船在整個XY平面內(nèi)的運動曲線如圖2所示，可以清楚地觀察到，本文所提出的基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡的自適應區(qū)域到達控制算法能夠快速地使無人模型船很好地趨近并收斂至以目標點為中心的目標空間區(qū)域內(nèi)。

圖3表明，船舶的目標勢能函數(shù)隨著時間增加，最終趨近于零，由目標勢能函數(shù)的性質(1)可知，當勢能函數(shù)的值為零時，勢能函數(shù)關閉不再發(fā)揮作用，此時船舶已收斂到達至目標區(qū)域內(nèi)，證明了對全驅動海洋水面船舶的區(qū)域到達控制得以實現(xiàn)，進一步闡述了該控制算法的有效性。

圖3 目標跟蹤勢能函數(shù)曲線

4 結論

本文針對三自由度全驅動海洋水面船舶，在考慮了模型不確定和外部環(huán)境擾動未知的情況下，提出了一種基于神經(jīng)網(wǎng)絡的自適應區(qū)域到達控制算法，綜合了RBF神經(jīng)網(wǎng)絡、魯棒反演技術和李雅普諾夫穩(wěn)定性理論等方法。選擇設計合適的李雅普諾夫函數(shù)，通過閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析，證明所有信號都具有一致最終有界性。仿真驗證實驗結果表明，船舶能夠趨近并收斂到達至目標空間區(qū)域，所設計的神經(jīng)網(wǎng)絡自適應控制器是簡潔并有效的。