趙戰(zhàn)民，朱占龍*，王軍芬

(1．河北地質(zhì)大學(xué) 信息工程學(xué)院，河北 石家莊 050031；2.河北地質(zhì)大學(xué) 人工智能與機(jī)器學(xué)習(xí)研究室，河北 石家莊 050031)

1 引 言

圖像分割是圖像處理中的關(guān)鍵任務(wù)之一，其目的是將圖像劃分為兩個(gè)或更多的區(qū)域[1]以進(jìn)行后續(xù)的識(shí)別、測(cè)量等工作?，F(xiàn)存在眾多分割算法能有效對(duì)圖像進(jìn)行分割，其中基于模糊C均值(Fuzzy C-means, FCM)算法[2-8]是一種較經(jīng)典的圖像分割算法。

為提升算法的魯棒性，研究人員提出了許多FCM算法的改進(jìn)版本。按照算法的執(zhí)行框架，可以將這些改進(jìn)算法分為兩類：一類是基于圖像像素的圖像分割算法，具體是將每個(gè)像素單獨(dú)考慮，按照最終隸屬度大小對(duì)圖像進(jìn)行分割[2-4]，如典型的結(jié)合鄰域信息的FCM(Fuzzy Local Information C-means, FLICM)[3]以及結(jié)合非鄰域空間信息的FCM(Fuzzy C-means with Non-local Spatial Information, FCM_NLS)[4]。這類算法通過(guò)在目標(biāo)函數(shù)中引入像素的鄰域或者非鄰域信息提升了算法的魯棒性；另一類是基于圖像灰度級(jí)的分割算法[5-8]，與第一類不同之處在于，為保證算法魯棒性，首先要對(duì)圖像進(jìn)行去噪，常見(jiàn)的有基于像素鄰域平均法[5]以及同時(shí)考慮像素鄰域值和鄰域位置方法[6]對(duì)圖像去噪。該類方法在降噪圖像的基礎(chǔ)上生成灰度直方圖，再將灰度級(jí)以及相應(yīng)灰度級(jí)的個(gè)數(shù)一起考慮進(jìn)行聚類分割。因?yàn)榛叶燃?jí)個(gè)數(shù)遠(yuǎn)小于圖像像素個(gè)數(shù)，進(jìn)而導(dǎo)致圖像分割速度明顯加快。

無(wú)損檢測(cè)圖像一般由超聲檢測(cè)、渦流檢測(cè)等手段對(duì)材料或工件進(jìn)行檢測(cè)而得，通過(guò)圖像分割能夠發(fā)現(xiàn)材料或工件表面和內(nèi)部的缺陷，也能進(jìn)行尺寸測(cè)量與識(shí)別。無(wú)損檢測(cè)圖像因?yàn)橐资艿礁蓴_而清晰度較差且往往呈現(xiàn)出灰度分布不均衡的特點(diǎn)[9]。FCM的改進(jìn)算法誠(chéng)然提升了算法魯棒性，但它們分割不均衡特性的圖像效果較差，其根本原因在于它們總是趨于均分圖像像素[10]，這是由于算法的目標(biāo)函數(shù)所導(dǎo)致，因此有必要對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行改進(jìn)。文獻(xiàn)[10-11]針對(duì)數(shù)據(jù)不均衡問(wèn)題對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行了改進(jìn)，但后續(xù)并未進(jìn)行嚴(yán)格推導(dǎo)且未能推廣至圖像分割領(lǐng)域。

針對(duì)無(wú)損檢測(cè)圖像呈現(xiàn)出的灰度分布不均衡的狀況，本文在基于灰度級(jí)的模糊C均值框架基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)新算法，在繼承該框架運(yùn)行速度快的優(yōu)勢(shì)的同時(shí)也能夠有效分割無(wú)損檢測(cè)圖像。本文算法設(shè)計(jì)了每一類隸屬度之和的表達(dá)式并將其引入至基于灰度級(jí)模糊C均值的目標(biāo)函數(shù)中，進(jìn)而得到了新的隸屬度和聚類中心表達(dá)式，隨后考慮了類緊密度對(duì)聚類進(jìn)程的影響并給出新算法的執(zhí)行步驟，最后利用具有灰度分布不均衡特性無(wú)損檢測(cè)圖像對(duì)本文算法進(jìn)行分割測(cè)試，結(jié)果表明本文算法能夠?qū)o(wú)損檢測(cè)圖像進(jìn)行有效分割。

2 相關(guān)工作

2.1 基于灰度級(jí)的模糊C均值目標(biāo)函數(shù)及迭代公式

基于灰度級(jí)的模糊C均值算法的目標(biāo)函數(shù)如下：

(1)

其中：vi(1 ≤i≤c)為聚類中心，N表示圖像的像素?cái)?shù)，γl表示灰度級(jí)l的像素?cái)?shù)，m是模糊指數(shù)，uil表示灰度級(jí)l屬于第i類的隸屬度，ζ表示去噪后的圖像。由拉格朗日乘子法最小化式(1)，可得：

(2)

(3)

基于灰度級(jí)模糊C均值算法的執(zhí)行過(guò)程參見(jiàn)文獻(xiàn)[6]。

2.2 典型圖像去噪方法

Cai等人提出了一種有效的圖像去噪方法[6]，具體表示為：

ζj=∑i∈NjSijxi/∑i∈NjSij，

(4)

(5)

3 本文算法

3.1 目標(biāo)函數(shù)的改進(jìn)

由于目標(biāo)函數(shù)的限制導(dǎo)致基于灰度級(jí)的快速模糊C均值算法仍趨于均分待分割圖像的所有像素。如果待分割圖像灰度分布不均衡，這類算法很容易造成圖像分割失敗[10]，這便需要對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行改進(jìn)，如下所示：

(6)

對(duì)式(6)進(jìn)行改寫，如下：

(7)

由式(7)可以看出，當(dāng)?shù)趇類為較大類時(shí)，式中除數(shù)也較大，故采用上式可以弱化較大類對(duì)目標(biāo)函數(shù)的貢獻(xiàn)，從而避免使得較小類的聚類中心向較大類靠攏，造成分割效果較差。另外，需指出，該式的約束條件與式(1)保持一致。采用拉格朗日乘子法對(duì)式(6)優(yōu)化，首先構(gòu)造如下拉格朗日輔助函數(shù)：

(8)

(9)

由式 (9)可得：

(10)

(11)

將式(11)代入式(10)可得：

(12)

(13)

則 式(12)和 式(13)為新的隸屬度和聚類中心表達(dá)式。

3.2 類的緊密度

除了類的大小對(duì)聚類結(jié)果存在影響外，類的緊密度(密度)對(duì)聚類結(jié)果也有較大作用。顯然，如果某一類具有較大的緊密度，那么我們希望在聚類過(guò)程中提升該類對(duì)聚類結(jié)果的影響，反之亦然。本文基于灰度級(jí)的模糊C均值框架設(shè)計(jì)了類的緊密度表達(dá)式如下：

(14)

其中：

Si={ζl|uil>upl;p=1,2,...,c;p≠i}，

(15)

(16)

式(14)～(16)中，γl仍為像素灰度級(jí)為l的個(gè)數(shù)，Si表示第i類像素組成的像素集，|Si|表示該類像素集的數(shù)目，μi表示第i類像素與聚類中心vi距離的平均值。Ii值越小反映出該類具有越高的緊密度，表明第i類的像素屬于該類的可能性越高，反之亦然。為了在類與類之間做一個(gè)橫向?qū)Ρ?，采用下式處理?/p>

fi=(1-Si)/(1-Smin)，

(17)

其中：

(18)

Smin=min{Si,i=1,2,...,c}，

(19)

需要指出，式(17)中的fi定義為相對(duì)的緊密度系數(shù)。由式(17)～(19)可以看出，如果某類具有較高的系數(shù)，則說(shuō)明該類的像素灰度值分布較為緊湊，將此系數(shù)融入至聚類進(jìn)程能夠提升聚類精度，公式如下：

(20)

3.3 本文算法的執(zhí)行步驟

本文算法的執(zhí)行流程描述如下：

輸入：聚類中心數(shù)c，模糊指數(shù)m，參數(shù)λs、λg，最大迭代次數(shù)T，終止條件ε；

(1)利用式(4)對(duì)原圖像進(jìn)行去噪得到圖像ζj；

(2)利用去噪圖像得到相應(yīng)的灰度直方圖ζl；

(3)隨機(jī)初始化聚類中心V0；

(4)Forq= 1∶Tdo

(5)按照式(2)利用V(q-1)計(jì)算隸屬度Uq；

(6)將類的大小引入至隸屬度，即更新Uq，如式(12)所示；

(7)將類的緊密度引入至隸屬度，即更新Uq，如式(20)所示；

(8)由新的隸屬度更新Vq，如式(13)所示；

(9)If ‖Vq-Vq-1‖<ε或q>T，then執(zhí)行12；

(10)End if

(11)End for

(12)輸出U，由此判決灰度級(jí)ζl對(duì)應(yīng)的類，得到分類結(jié)果。

4 實(shí)驗(yàn)與結(jié)果

4.1 實(shí)驗(yàn)參數(shù)設(shè)置及說(shuō)明

為了測(cè)試本文算法對(duì)無(wú)損檢測(cè)圖像的分割效果，選用F_value評(píng)價(jià)指標(biāo)[11]來(lái)評(píng)價(jià)其分割效果，其表達(dá)式如下：

(21)

其中P為查準(zhǔn)率，R為查全率，β為度量P和R的相對(duì)重要性。該指標(biāo)能夠有效評(píng)價(jià)具有灰度分布不均衡特征圖像的分割結(jié)果，其值越大表示分割效果越好。將本文算法與其他基于灰度級(jí)的模糊C均值算法進(jìn)行比較，如增強(qiáng)FCM(Enhanced Fuzzy C-means, EnFCM)算法[5]、快速?gòu)V義FCM(Fast generalized fuzzy C-means, FGFCM)算法[6]、文獻(xiàn)[7]算法和FNDFCM_P(Fast noise detection fuzzy C-means and post-processing, FNDFCM_P)算法[8]。之所以與這些算法進(jìn)行比較，是因?yàn)檫@些算法都是基于灰度級(jí)的快速模糊C均值算法，相比較基于像素的模糊C均值算法具有明顯的速度優(yōu)勢(shì)，同時(shí)這些算法在各自的論文中都取得了顯著的分割效果。因此，在后續(xù)的分割實(shí)驗(yàn)中對(duì)比算法的參數(shù)皆來(lái)自相應(yīng)論文的推薦值，各算法的參數(shù)設(shè)置如表1所示。實(shí)驗(yàn)環(huán)境為：Matlab (R2014a)、3.40 GHz Intel?CoreTMi3-2130處理器，2 GB內(nèi)存，Windows7中文版操作系統(tǒng)。

表1 算法參數(shù)設(shè)置Tab.1 Parameters setting of these algorithms

選擇無(wú)損檢測(cè)圖像(分別命名為#NDT1～#NDT5)進(jìn)行分割試驗(yàn)且所選擇的圖像具有標(biāo)準(zhǔn)分割結(jié)果，有利于對(duì)算法進(jìn)行定量評(píng)價(jià)。圖1給出了原圖像、對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)分割圖像和灰度直方圖。通過(guò)灰度直方圖可以看出，所選擇的無(wú)損檢測(cè)圖像都具有灰度分布不均衡的特點(diǎn)。

(a)～(e) 原圖像 (#NDT1～#NDT5)(a)～(e) Original images (#NDT1～#NDT5)

(f)～(j) 標(biāo)準(zhǔn)分割圖像 (#NDT1～#NDT5)(f)～(j) Standard segmented images (NDT1～NDT5)

(k)～(o) 灰度直方圖 (#NDT1～#NDT5)(k)～(o) Gray-level histograms (#NDT1～#NDT5)圖1 原圖、標(biāo)準(zhǔn)分割圖及灰度直方圖(#NDT1～#NDT5)。Fig.1 Original images, standard segmented images and gray-level histograms(NDT1～NDT5).

4.2 分割結(jié)果

圖2～6展示了各算法對(duì)無(wú)損檢測(cè)圖像在高斯噪聲(歸一化方差0.01)干擾下的分割結(jié)果。另外，為了測(cè)試算法的適應(yīng)性和魯棒性，對(duì)圖像在其他噪聲水平干擾下進(jìn)行了分割實(shí)驗(yàn)，測(cè)試結(jié)果如表2所示。由圖2～6展示的可視分割結(jié)果與各自的標(biāo)準(zhǔn)分割圖像(圖1(f)～(j))相比對(duì)可以看出，所提出的算法能夠有效地對(duì)具有灰度分布不均衡的圖像進(jìn)行有效分割，而其對(duì)比算法由于沒(méi)有考慮圖像灰度分布不均衡特性，分割效果較差。另外也可以看出，文獻(xiàn)[7]算法的抗噪性最強(qiáng)，但存在邊緣模糊現(xiàn)象，這是此種算法的去噪特性決定的。由表2的指標(biāo)值F_value可以看出，所提出的算法分割結(jié)果最好，說(shuō)明了本文算法對(duì)基于灰度級(jí)的模糊C均值算法的目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行改進(jìn)是有效的，它繼承基于灰度級(jí)聚類的速度優(yōu)勢(shì)的同時(shí)，改善了模糊C均值算法總是趨于均分圖像像素?cái)?shù)目的缺陷。

圖2 #NDT1圖像在高斯噪聲(歸一化方差0.01)干擾下的分割結(jié)果Fig.2 Segmentation results of #NDT1 with Gaussian noise (0, 0.01) based on thesealgorithms

圖3 #NDT2圖像在高斯噪聲(歸一化方差0.01)干擾下的分割結(jié)果Fig.3 Segmentation results of #NDT2 with Gaussian noise (0, 0.01) based on these algorithms

圖4 #NDT3圖像在高斯噪聲(歸一化方差0.01)干擾下的分割結(jié)果Fig.4 Segmentation results of #NDT3 with Gaussian noise (0, 0.01) based on these algorithms

圖5 #NDT4圖像在高斯噪聲(歸一化方差0.01)干擾下的分割結(jié)果Fig.5 Segmentation results of #NDT4 with Gaussian noise (0, 0.01) based on these algorithms

圖6 #NDT5圖像的高斯噪聲(歸一化方差0.01)干擾下的分割結(jié)果Fig.6 Segmentation results of #NDT5 with Gaussian noise (0, 0.01) based on these algorithms

表2 對(duì)#NDT1～#NDT5圖像各算法的分割指標(biāo)(F_value)對(duì)比
Tab.2 Indexes(F_value) comparison of different algorithms on #NDT1～#NDT5 images with different noise

Image噪聲水平EnFCMFGFCMRef.[7] 算法FNDFCM_PIFCMG# NDT1Gaussian noise(0,0.01)0.429 10.416 30.473 20.402 70.644 9Gaussian noise(0,0.02)0.400 20.409 10.488 20.365 10.625 3Salt &Pepper noise(0.1)0.409 00.531 20.449 90.374 40.734 3Salt &Pepper noise(0.2)0.336 50.435 10.384 20.398 50.623 6# NDT2Gaussian noise(0,0.01)0.757 70.771 50.836 90.630 40.935 0Gaussian noise(0,0.02)0.638 00.668 70.818 90.574 50.907 6Salt &Pepper noise(0.1)0.604 40.782 20.827 60.633 40.942 9Salt &Pepper noise(0.2)0.446 40.669 00.720 20.576 20.878 6# NDT3Gaussian noise(0,0.01)0.657 20.679 70.795 20.584 80.911 8Gaussian noise(0,0.02)0.551 00.567 70.667 60.502 00.822 7Salt &Pepper noise(0.1)0.556 30.804 50.624 50.577 70.923 0Salt &Pepper noise(0.2)0.480 60.653 80.606 00.552 60.830 3# NDT4Gaussian noise(0,0.01)0.887 20.895 70.928 00.866 70.941 6Gaussian noise(0,0.02)0.841 80.861 00.910 40.826 20.913 1Salt &Pepper noise(0.1)0.835 00.903 30.913 40.863 60.941 0Salt &Pepper noise(0.2)0.755 00.846 80.874 10.831 60.899 4

續(xù) 表

4.3 綜合性(魯棒性)分析

采用公式(22)評(píng)價(jià)本文算法的魯棒性[12]：

(22)

其中：n表示算法個(gè)數(shù)，Ri表示算法i在某幅圖上的相對(duì)分割表現(xiàn)，其值越高，越表明算法i在某幅圖上的分割效果越好，取值范圍為(0,1]。

將表2中各算法的指標(biāo)按照式(22)進(jìn)行調(diào)整得到Ri值并進(jìn)行累加，可得算法i的綜合分割表現(xiàn)，即算法的魯棒性。累加的結(jié)果如圖7所示，顯然，所提出的算法具有最高的魯棒性，比其他算法分別高出4.43，2.79，2.33，4.26，折合百分比分別為26.13%，16.46%，13.75%，25.10%。

圖7 算法魯棒性分析Fig.7 Robustness of these algorithms

5 結(jié) 論

本文提出一種快速的基于灰度級(jí)的模糊C均值圖像分割算法。無(wú)損檢測(cè)圖像具有灰度分布不均衡的特征，將能夠表征灰度分布不均衡特性的類隸屬度表達(dá)式融入至基于灰度級(jí)的模糊C均值算法目標(biāo)函數(shù)并將其嚴(yán)格推導(dǎo)。同時(shí)，為了度量類的密度對(duì)聚類的影響，設(shè)計(jì)基于灰度級(jí)的類緊密度并將其融入迭代進(jìn)程。采用本文算法和對(duì)比算法對(duì)添加了不同水平噪聲的無(wú)損檢測(cè)圖像進(jìn)行分割實(shí)驗(yàn)并采用F_value指標(biāo)進(jìn)行算法衡量。最后利用綜合評(píng)價(jià)公式對(duì)所有的F_value值進(jìn)行算法綜合評(píng)價(jià)，結(jié)果顯示，本文算法的綜合評(píng)價(jià)值比其他對(duì)比算法分別高出26.13%，16.46%，13.75%，25.10%，顯示了本文算法分割的有效性和魯棒性。