王 巖，何斯日古楞

(內(nèi)蒙古大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，呼和浩特 010021)

0 引言

科學(xué)和實(shí)際工程中的許多問題常常歸結(jié)為求解非線性方程或(隨機(jī))微分方程問題[1-2].但是，絕大多數(shù)問題都難以用解析法求其精確解，只能用數(shù)值方法給出其近似解.因此，出現(xiàn)了插值法、函數(shù)逼近、Euler法、R-K法和迭代法等多種數(shù)值手段[1-4].近年來，針對(duì)方程求根問題已有多種迭代求根法[5-11].文獻(xiàn)[5]給出了以擬牛頓迭代計(jì)算預(yù)估值，以steffensen迭代計(jì)算校正值的一種預(yù)估校正格式，證明了單根處的三階收斂性.文獻(xiàn)[6]根據(jù)文獻(xiàn)[5]的預(yù)估校正格式和差商思想提出了3種五階求根格式.文獻(xiàn)[7]給出了一種至少三階收斂的迭代公式.該方法雖避免了求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，但仍需要求一階導(dǎo)數(shù).文獻(xiàn)[8]引入動(dòng)力系統(tǒng)，結(jié)合Euler方法構(gòu)造了一種迭代格式，證明了其至少二階收斂.基于“拋物線化-線性化”思想，文獻(xiàn)[9]構(gòu)造了與Muller法相同收斂階的一種改進(jìn)公式并分析了收斂性.基于弦截法，文獻(xiàn)[10]構(gòu)造了收斂階為2.618的預(yù)估校正(簡(jiǎn)記為P.C.2)格式，并給出了數(shù)值算例.在此基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[11]利用文獻(xiàn)[9]的思想，構(gòu)造了收斂階為5.236的預(yù)估校正(簡(jiǎn)記為P.C.3)格式.文獻(xiàn)[11]所提格式雖然具有較高收斂階，但每步迭代需要兩次預(yù)估，計(jì)算四次函數(shù)值，計(jì)算步驟多.據(jù)了解，未見介于P.C.2 格式和P.C.3 格式之間的迭代格式.

為此，本文將弦截法與文獻(xiàn)[9]的思想結(jié)合，構(gòu)造了一種新的預(yù)估校正(P.C.)格式：

(1)

該格式的每步迭代只需一次預(yù)估，計(jì)算三次函數(shù)值.通過理論分析證明了本文所提格式的收斂階為2.956 3，接近三階，并通過數(shù)值算例驗(yàn)證了其可行性與有效性.

1 迭代公式的推導(dǎo)以及收斂分析

設(shè)x*是f(x)=0的精確根，利用弦截法得：

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

從而表明迭代過程(1)是超線性收斂.

進(jìn)一步，略去式(7)的高階無窮小，有:

(8)

表1 迭代法計(jì)算結(jié)果Tab.1 Computing results forIterative methods

2 數(shù)值試驗(yàn)

為驗(yàn)證本文所提迭代格式(1)的可行性和有效性，對(duì)非線性方程:

f1(x)=xex2-sin2x+3cosx+5=0

用Matlab軟件進(jìn)行了數(shù)值實(shí)驗(yàn)，與文獻(xiàn)[10]的迭代格式(P.C.2)和文獻(xiàn)[11]的迭代格式(P.C.3)進(jìn)行了比較.本文所給格式需要兩個(gè)初始值x-1,x0，其中初始值x-1=x0-2×10-6，計(jì)算過程采取雙精度，停止準(zhǔn)則采用|xk-xk-1|<10-6，計(jì)算結(jié)果如表1所示.