具波動算子非線性Schr?dinger方程線性化差分格式

閆瑞娥，梁宗旗

(集美大學理學院，福建 廈門 361021)

0 引言

非線性Schr?dinger方程是一類經典的非線性偏微分方程，在量子力學、非線性光學、流體力學等中均有廣泛應用。具波動算子的非線性Schr?dinger方程是Matsunchi[1]于1980年在研究單色波的非線性相互作用時首次得到的。隨后在推導高頻電子橫向速度、研究等離子物理孤立子等問題的許多物理模型所滿足的方程中也得到了同類方程。具波動算子的非線性Schr?dinger方程與經典的非線性Schr?dinger方程相比，在非線性Schr?dinger方程基礎上增加了波動項和一階項，使其同時具有波動方程與拋物方程的性質，從而使該問題的研究變得更加復雜且具有挑戰(zhàn)性。關于該方程的研究文獻不多，郭柏靈[2]研究了該方程多維問題的初、邊值問題，證明了其解的存在性與唯一性，并研究了其正則性；文獻[3]研究了特殊情況下該類方程一維情況下的數值解問題；文獻[4-6]構造了該方程的顯式差分格式、譜方法及擬譜方法，并分別證明了其穩(wěn)定性；文獻[7-9]在文獻[3]的基礎上給出了一類特殊情況下該方程的多種守恒差分格式；文獻[10]給出了該方程的一種高精度守恒差分格式；文獻[11]給出了有限元方法；文獻[12]和文獻[13]分別給出了該方程的 一類多辛傅里葉擬譜格式和指數波積分的傅里葉譜方法；文獻[14-15]構造了多種該類方程的多辛格式；文獻[16]研究了特殊情況下該類方程的行波解的線性穩(wěn)定性問題；文獻[17]和文獻[18]分別給出了規(guī)范變換后的多種組合解、Jacobi橢圓函數周期解及新的多級包絡周期解，并在極限情況下求得了該方程的多類精確孤波解；文獻[19]和文獻[20]分別給出了該類方程的多尺度時間積分與兩尺度方法、能量守恒的哈密爾頓邊值方法；文獻[21-24]分別給出了守恒差分格式、守恒緊格式及Galerkin譜方法等。

本文研究如下形式的具波動算子的非線性Schr?dinger方程

(1)

其中:i2=1;Tu=utt-uxx+γutx;ut=?u/?t，ux=?u/?x，utt=?2u/?t2，uxx=?2u/?x2;utx=?2u/(?t?x);α，γ，δ2，β>0為實常數；u(x，t)是未知復值函數；u0(x)，u1(x)均為實值函數;L=xr-xl。

在數值計算中，為了擬合原方程具有的守恒性，構造的格式也能保持原方程的守恒性，稱之為守恒格式。但守恒格式在一般情況下都要求解一個非線性方程組，加入一個小參數，這給實際計算帶來了很多的問題和困難。例如，如果選擇合適的迭代法、收斂速度等，如構造的格式是顯示格式，一方面是顯示格式是否穩(wěn)定，即使是穩(wěn)定，一般其穩(wěn)定性條件都是比較苛刻的。因此，本文提出了對非線性項在時間層利用Taylor展開，將非線性格式轉化為線性化差分格式的差分方法。

1 線性化格式構造

先構造如下的守恒“蛙跳”差分格式:

(2)

顯然上述的格式為全隱格式，需要求解一階非線性方程組或采用預估一校正方法求解。為了避免求解非線性方程組,引入一個小參數對非線性項進行處理。

(3)

其中R(τ)=o(τ2)是截斷誤差。對式(3)引入小參數(∈R)，舍去誤差項后得

(4)

(5)

將式(5)代入式(4)并整理得

(6)

將式(6)代入差分格式(2)中非線性項，非線性項部分變?yōu)槿缦滦问?

(7)

(8)

令s=τ/h,式(8)可以改寫成:

(9)

其中:1≤j≤N-1;n=1，2，…;D=4+4s2+2iατ+2τ2δ2;E=iατs+γs-2s2;F=-iατs-γs-2s2;Mj=8-2βτ2[(1+3)令Un=(u1，u2，…，uN)T。

根據式(9)對應的所有網格點及方程(1)給出的初、邊值條件，得到如下形式的線性代數系統(tǒng)：

LUn+1=MUn+PUn-1,

(10)

2 穩(wěn)定性分析

(11)

(12)

其中：A=-4s2cos(ξh)-2sατsin(ξh)+4+4s2+2τ2δ2；B=2sγsin(ξh)+2ατ。

設增長矩陣G的特征方程為λ2-bλ+c=0,其中b=[8-2βτ2(1+)C2]/(A+Bi)，c=-[2βτ2(-1)C2-A+Bi]/(A+Bi)。

根據Fourier穩(wěn)定性分析方法，要保證格式穩(wěn)定，需要滿足|λ|≤1，即|b|≤2，|c|≤1。為滿足上述條件,只需滿足以下條件即可

|[8-2βτ2(1+)C2]/(A+Bi)|≤2,

(13)

即

[4-βτ2(1+)C2]2-B2≤A2。

(14)

式(14)是關于h的四次不等式，得到h與τ的關系是一個簡單而運算復雜的過程。為方便起見，考慮一種特殊情況:

(15)

類似于穩(wěn)定性定理1的證明,可類似得到如下的收斂性定理2。

3 數值實驗

表1 不同參數下的誤差比較Tab.1 Error comparison in different parametersen2en∞en2en∞0.10.765 30.096 60.90.096 20.012 10.20.679 50.085 71.00.015 60.002 00.30.594 40.075 01.10.065 20.008 20.50.425 80.053 71.20.144 90.018 30.70.259 80.032 81.40.302 60.038 2

表2 不同步長下的誤差比較Tab.2 Error comparison of different step sizes(h,τ)en2Order 2en∞Order(2π/10,1/10)1.541 2—0.194 4—(2π/20,1/20)0.389 41.980.049 11.98(2π/40,1/40)0.097 41.990.012 31.99(2π/80,1/80)0.024 32.000.003 11.98

與文獻[21-24]相比，本文提供的格式是線性化格式，在相同精度要求下只需求解一個線性方程組，可以用顯示的追趕迭代法求解，大大節(jié)省了運算時間，求解的復雜度明顯降低，說明本文提出的格式是一種高效的、簡單的穩(wěn)定格式。

4 結論

本文在“蛙跳”格式的基礎上，通過對非線性部分進行處理，將原來的全隱格式轉化為線性化格式，得到了一個帶小參數的修正的線性化格式，并證明了其收斂性與穩(wěn)定性。通過數值算例，驗證了該結果的可信性和有效性。此格式最大的優(yōu)勢是將原全隱格式需求解一個非線性方程組的問題轉化為只需求解一個線性方程組，大大簡化了運算，提高了計算效率。此外，新方案與文獻[11]中的方案進行比較，無論是在計算時間還是模誤差，本文構造的帶小參數的線性化格式遠遠優(yōu)于文獻[11]，計算效率明顯提高，是一種簡單易行、有效快捷的數值方法。