運用幾何意義破解絕對值不等式問題

封其峰

含絕對值不等式的常用解法有：

（2）平方法：兩邊平方去掉絕對值符號。

（3）零點分區(qū)間法（或叫定義法）：含有兩個或兩個以上絕對值符號的不等式，可用零點分區(qū)間法脫去絕對值符號，將其轉(zhuǎn)化為與之等價的不含絕對值符號的不等式（組）求解。

（4）幾何法：利用絕對值的幾何意義，畫出數(shù)軸，將絕對值轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上兩點之間的距離求解。

（5）數(shù)形結(jié)合法：在直角坐標(biāo)系中作出不等式兩邊所對應(yīng)的兩個函數(shù)的圖像，利用函數(shù)圖像求解。

在此，我們重點講解如何運用幾何意義，解絕對值不等式。

問題一、利用幾何意義解兩項絕對值不等式

代數(shù)法與幾何意義解決絕對值不等式問題的對比。

評注：代數(shù)法解決絕對值不等式時，要根據(jù)絕對值的定義，分類討論去掉絕對值符號，轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，然后數(shù)形結(jié)合解決是常用的思維方法。利用零點分類討論法解絕對值不等式時，注意分類討論時要不重不漏。利用絕對值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想;利用“零點分段法”求解，體現(xiàn)了分類討論的思想。

問題二、利用幾何意義解三項絕對值不等式

評注：從以上解答過程中可以看到，解答該題的關(guān)鍵是把問題轉(zhuǎn)化為：在數(shù)軸上觀察動點x與各個零點之間的關(guān)系，從而獲得所求解集。

問題三、利用幾何意義運用絕對值不等式的解集求參數(shù)的取值范圍

評注：解法一是利用數(shù)軸通過零點間的相互關(guān)系，找出使不等式恒成立時的參數(shù)k的取值范圍;解法二，首先是把|x+l||x-2|構(gòu)造為函數(shù)y=|x+l|-|x-2|，再畫出分段函數(shù)的完整圖像，對比兩個函數(shù)y=|x+l|-|x-2|與y=k的圖像，使得函數(shù)y=|x+l|-|x-2|的最小值恒大于k，從而獲得k的取值范圍。

（責(zé)任編輯 王福華）