賞析解析幾何中的典型問題

陳偉斌 張啟兆

解析幾何是高中數學的重要內容，也是高考考查的重點內容。解析幾何的核心觀點就是恰當運用代數的方法解決幾何問題，基本思想是數形結合思想，核心方法是坐標法。數形結合思想和坐標法是統(tǒng)領全局的，解析幾何就是在坐標系的基礎上，用代數的方法研究幾何問題的一門學科。同學們在復習過程中要注意積累解決解析幾何的基本問題及典型問題的常用方法、技巧，提高解題能力，確保復習效果。

一，存在性問題

解析幾何中探究存在性問題實質上是探索結論的開放性問題，是在一定的條件下判斷某種數學對象是否存在的問題，它有結論存在和結論不存在兩種情形，解答這類問題，一般先對結論作肯定存在的假設，然后由此出發(fā)，結合已知條件進行推理論證。若導出矛盾，則說明先前假設錯誤;若推出合理的結論，則說明先前假設正確，由此得出問題的結論，“假設推證結論”是解答此類問題的三個步驟。

評注：（l）已知橢圓中的某些參數求橢圓方程是常見題型，因為橢圓中三個參數a，b，c三者之間已經有了關系a₂=b₂+c₂，所以只要再給出兩個條件就可以解出方程，若已知離心率，常見的處理辦法就是利用離心率減少變量，即把a，b，c、都用一個變量來表示，比如這道題目就可得到a=2c，b=√3c。

（2）對于一道綜合題，要能認真審題，發(fā)現其中隱含的條件，比如題目中的PF⊥x軸，這些隱含條件有時就是解決問題的關鍵點。該題涉及了解析幾何中常見的兩種處理辦法，已知直線與橢圓的一個交點，可結合韋達定理求另一個交點，以及利用對稱性用-k代替k得到另一個交點。在求k時，把A，F，B三點共線轉化成斜率來運算也是簡化計算的一個技巧，若寫出AB的方程，再利用過點F求k就比較煩瑣了。

（3）該小題中的兩種不同的思路，其實都是在抓整個圖形的關鍵元素，關鍵元素就是指這個元素定下后，整個圖形也就定下了，解法一抓的關鍵元素就是A，B中的點，解法二抓的關鍵元素就是AB的斜率，然后把所有變量都由這個元素表示，這個思想和向量中的基底思想有點類似。

二、定點、定值問題

解析幾何中的定值問題是指某些幾何量（線段的長度、圖形的面積、角的度數、直線的斜率等）的大小或某些代數表達式的值等和題曰中的參數無關，不依參數的變化而變化，而始終是一個確定的值。

解析幾何中的定點、定值問題的解法的一般規(guī)律：（l）定點問題：要探究直線或者網是否過定點，通常有兩種策略，策略一：首先要表示出直線或者網的方程，這就需要恰當設好變量，選擇合適的路徑進行求解，而過定點就是要與變量無關，一般情況下利用系數為0就能解決問題;策略二：先通過特殊位置的圖形進行猜測，猜出定點，再證明。（2）定值問題：主要是通過化簡求值得到，只要恰當設好變量，合理進行運算，一般都能解決，得到的結果要通過特殊值進行檢驗，解析幾何中的設法主要就是設點的坐標或者設直線的斜率，兩種設法的本質是一樣的，在不同的題目里各有優(yōu)勢，我們要在平常解題過程中認真總結，解題之前一定要通過比較選擇最適合的解法。

評注：（l）求定值問題常見的方法有兩種：一是從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關;二是直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值。

（2）在第②小題中，設直線l¹的方程為y-y⁰=k¹（x-x⁰），換元：記t=k¹y⁰-x⁰，則直線l1的方程可優(yōu)化為y=k¹x+t，從而優(yōu)化解題過程。

三，與面積有關的問題

解析幾何中與面積相關問題的解題思路：（l）根據題曰條件確定所運用的面積公式;（2）不規(guī)則圖形的面積問題需要割補，轉化為我們熟悉的規(guī)則圖形;（3）注意運用坐標的幾何意義;（4）有些面積問題可通過幾何性質去處理。

分析：（l）由于本題沒有給圖，所以在讀題時應該在草稿紙上先畫個圖（如圖2），再從目標出發(fā)：要求△OBC的面積的最大值，可以建立日標函數，那么以△OBC的哪一條邊為底邊比較好呢？結合圖形和已知條件，選擇合適的解題路徑。在△OBC中，OB的長度為定值，故以OB為底邊。第（l）小題轉化為求點C到直線OB的距離的最大值，于是有兩種解法。

（2）要求當△OBC的面積最大時，直線l的方程，通性通法是設出直線l的方程，然后把△OBC的面積表示出來，即建立目標函數，再去求△OBC面積的最大值。結合圖形（如圖3）和已知條件B（x¹，y¹），C（x²，y²），且3Y¹+y²=0，選擇怎樣的解題路徑呢？用割補法，將△OBC的面積轉化為△BAO與△CAO的面積之差，而在計算這兩個三角形的面積時均以AO為底邊，因此巧設直線l的方程為x=my+n，用m，n表示出△OBC的面積，求出△OBC的面積最大時m的值，即可解決問題。

評注：第（l）小題如果以BC為底邊去求△OBC面積的最大值，也可以解決問題，但運算稍微復雜一些，而且要討論直線BC的斜率是否存在，請同學們試一試。第（2）小題采用割補法，并利用直線的橫截距和兩個交點的縱坐標表示三角形面積，使問題得到簡捷解答，這種方法是解有關橢圓中三角形面積的最大值問題的常用方法。那么，是否可以利用直線的縱截距和兩個交點的橫坐標表示三角形面積呢？答案是肯定的，同學們不妨試一試。

解析幾何中的運算往往比較復雜，因而解題需要先規(guī)劃，認真分析題目，觀察已知和未知，制定合理運算程序，選擇有效策略，認真分析、觀察解答過程中的每一步及題曰要求，便可施以技巧，從而優(yōu)化解題方法，簡化解幾運算，提高思維品質，使做題達到事半功倍之功效。

（責任編輯 王福華）