極限保號性的推廣及其應(yīng)用

黨紅

【摘要】本文主要針對數(shù)學(xué)分析和高等數(shù)學(xué)課程中數(shù)列極限保號性和函數(shù)極限保號性定理進(jìn)行推廣并加以證明和應(yīng)用，說明推廣定理較原定理更易于揭示保號性的本質(zhì).

【關(guān)鍵詞】數(shù)列;函數(shù);極限;保號性;推廣

一、數(shù)列極限的保號性

數(shù)列極限保號性定理1不容易理解，且很難抓住其本質(zhì)特征，但從推廣定理1可以很容易得到數(shù)列極限保號性的本質(zhì)特征：只要數(shù)列收斂，那么從數(shù)列的某一項開始起，后邊的無窮多項與任一常數(shù)（異于數(shù)列極限值的常數(shù)）的大小關(guān)系和該常數(shù)與數(shù)列極限值的大小關(guān)系保持一致.

進(jìn)一步還可以得到結(jié)論：如果兩個數(shù)列收斂于不同的極限值，那么就可以通過數(shù)列極限值的大小關(guān)系得到數(shù)列（從某一項開始起）的大小關(guān)系.

二、函數(shù)極限的保號性

其他5種函數(shù)極限有類似的保號性定理的推廣結(jié)論.

函數(shù)極限保號性定理2與數(shù)列極限保號性定理1一樣，不容易理解，也很難抓住其本質(zhì)特征，但從推廣定理2卻可以很容易得到函數(shù)極限保號性的本質(zhì)特征：只要函數(shù)極限存在，那么函數(shù)在某一去心鄰域內(nèi)的取值與任一常數(shù)（異于函數(shù)極限值的常數(shù)）的大小關(guān)系和該常數(shù)與函數(shù)極限值的大小關(guān)系保持一致.

進(jìn)一步還得到結(jié)論：如果兩個函數(shù)的極限值不相等，那么就可以通過函數(shù)極限值的大小關(guān)系可以得到函數(shù)（在某一去心鄰域內(nèi)）的大小關(guān)系.兩個推廣定理的主要特點是不需要討論極限取值的正負(fù).

三、實例應(yīng)用

數(shù)列可以看作是特殊的函數(shù)，所以下面只針對函數(shù)極限保號性的推廣定理進(jìn)行應(yīng)用.

（一）在極值問題中的應(yīng)用

四、小 結(jié)

數(shù)列極限保號性和函數(shù)極限保號性在實際問題中有多方面的應(yīng)用，本文只對該性質(zhì)的3個方面進(jìn)行應(yīng)用，旨在說明推廣定理較原定理更易于揭示保號性的本質(zhì)——在一定范圍內(nèi)，數(shù)列或者函數(shù)的取值與其極限值保持一致.

【參考文獻(xiàn)】

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