馬 偉，孔祥龍，徐 毅，朱 敏，趙雄浩

(上海衛(wèi)星工程研究所， 上海 201108)

1 引 言

在氣體靜壓軸承的工程應(yīng)用之初，氣體靜壓軸承的氣錘振動現(xiàn)象[1]即被發(fā)現(xiàn)并引起關(guān)注。國內(nèi)外學(xué)者在研究其靜態(tài)特性[2-5]的同時，開始探究發(fā)生氣錘自激振動現(xiàn)象的原因,以及能夠有效避免產(chǎn)生氣錘自激振動的方法。Powell[6]和Grossman[7]等人在其著作中均有關(guān)于氣體靜壓軸承中氣錘振動形成機理及抑制措施的相關(guān)論述。一般來說，氣體靜壓軸承的氣錘振動是由于氣體的可壓縮性、壓力變化滯后以及慣性耦合引起的一種自激振動[8]。國內(nèi)外學(xué)者分別從氣體容積填充延遲[9]、擠壓和容積效應(yīng)[10]、振動做功[11-12]、渦流振動[13]以及氣流噪聲[14]等角度對氣體靜壓軸承氣錘失穩(wěn)的原因進(jìn)行了解釋，在一定程度上揭示了軸承氣錘失穩(wěn)的工作機理，為氣體靜壓軸承氣錘失穩(wěn)的定量研究提供了相關(guān)理論指導(dǎo)。

在上述對氣體靜壓軸承氣錘失穩(wěn)機理認(rèn)識的基礎(chǔ)上，目前國內(nèi)外主要形成了諸如穩(wěn)定判據(jù)法、圖解法、動態(tài)剛度和阻尼法以及實驗法等分析方法。穩(wěn)定判據(jù)法是通過建立軸承運動單元的動力學(xué)模型，在運動方程基礎(chǔ)上運用小參數(shù)攝動方法以及連續(xù)性條件，由Routh-Hurwitz穩(wěn)定性判據(jù)獲得氣體靜壓軸承中氣錘振動穩(wěn)定判據(jù)的解析分析方法[15-16]。穩(wěn)定判據(jù)法可快速判斷所設(shè)計的氣體靜壓止推軸承在特定參數(shù)下是否會發(fā)生氣錘振動，便于工程應(yīng)用。但該分析方法為解析分析方法，不能獲得氣膜厚度與動態(tài)壓力之間的相位關(guān)系，并且不能反映軸承質(zhì)量對氣錘自激振動的影響。圖解法是將振動微分方程的分析結(jié)果表示為時間與位移的關(guān)系，或位移和速度與時間的關(guān)系，并通過圖解的方式表現(xiàn)[17-19]。圖解法由振動基本理論出發(fā)，通過位移直觀反映穩(wěn)定特性，易于進(jìn)行實驗驗證，可用于氣體軸承氣錘自激穩(wěn)定的定量研究。但目前仍主要用于氣體靜壓軸承氣錘振動的定性分析。動態(tài)剛度和阻尼法通過參數(shù)攝動法，使氣體靜壓軸承在平衡位置附近進(jìn)行小幅簡諧運動，獲得了以靜態(tài)氣膜壓力為變量的穩(wěn)態(tài)壓力分布和以動態(tài)氣膜壓力為變量的動態(tài)壓力分布。動態(tài)氣膜壓力的實虛部在整個氣膜區(qū)域的積分分別為氣體靜壓軸承的動態(tài)剛度和阻尼，進(jìn)而可以在頻域角度上分析氣體靜壓軸承的穩(wěn)定性[20-23]。動態(tài)剛度和阻尼法為定量研究方法，可獲得氣體靜壓軸承在頻域上的振動特征，但該方法無法直觀判斷氣體靜壓軸承是否發(fā)生氣錘振動，亦無法獲悉氣錘振動的閾值。對于氣體靜壓軸承的氣錘振動，一些學(xué)者由實驗角度出發(fā)，分析了氣體靜壓軸承的氣錘振動產(chǎn)生原因和參數(shù)影響[24-26]。上述理論和實驗研究方法用于氣體靜壓軸承的氣錘失穩(wěn)參數(shù)化影響分析，并基于此提出如降低供氣壓力、減小節(jié)流孔徑等一些抑制氣錘失穩(wěn)的技術(shù)措施。

隨著超精密裝備中運動速度和運動精度的不斷提升，在靜態(tài)特性滿足性能要求的基礎(chǔ)上，氣體靜壓軸承的動態(tài)特性對超精密裝備整體性能的影響日益嚴(yán)重，并成為氣體靜壓軸承機理研究和工程應(yīng)用中的熱點和難點問題[27-28]。目前，氣體靜壓軸承中氣錘振動的產(chǎn)生原因為：由于軸承間隙改變時，氣體容積發(fā)生變化，而容積內(nèi)的氣體質(zhì)量不能瞬間達(dá)到平衡時所需的量值，兩者在時間上的不同步以及慣性耦合引起了氣錘自激諧振。通過上述的研究分析可以發(fā)現(xiàn)，目前對于該時間不同步引起失穩(wěn)的機理研究較少，如果可以通過外部激勵，人為改變相位差，則可以成為抑制氣錘振動的一種新的方法。因此，本文從相位角度開展氣體靜壓軸承的氣錘失穩(wěn)機理分析，并用于指導(dǎo)氣體靜壓軸承氣錘失穩(wěn)抑制方法研究。

2 氣體靜壓軸承相位致振理論建模

2.1 氣體靜壓軸承分析模型

為了研究氣體靜壓軸承發(fā)生氣錘失穩(wěn)過程中，軸承間隙與壓力變化的相位關(guān)系，以如圖1所示的氣體靜壓軸承結(jié)構(gòu)開展研究，其軸承的結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示。

圖1 氣體靜壓軸承結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Structure diagram of aerostatic bearing

表1 氣體靜壓軸承結(jié)構(gòu)參數(shù)

Tab.1 Structure parameters of aerostatic bearing

參數(shù)數(shù)值L×H/(mm×mm)127×55L0/mm 90Lw/mm 10H0/mm 35Hw/mm 18Lx×lz/(mm×mm)12×1n22d/mm 0.2

2.2 氣體靜壓軸承相位致振建模

用于分析氣體靜壓軸承動態(tài)特性的通用雷諾方程如下：

(1)

節(jié)流孔處流量為：

mci=12ηΔipdi,i=1,2,...,n.

(2)

當(dāng)含有均壓槽時，均壓槽內(nèi)的質(zhì)量流量變化率為:

(3)

節(jié)流孔流入流量為：

(4)

因此，包含節(jié)流孔和均壓槽的雷諾方程為[10]：

(5)

其中:h為氣膜厚度(m)；pdi為節(jié)流孔出口壓力(Pa);p為 氣體壓力(Pa);η為空氣黏度系數(shù)(Ns/m2);t為時間(s);pa為環(huán)境壓力(Pa);u1u2為x方向氣體速度(m/s);w1,w2為y方向氣體速度(m/s);v為節(jié)流孔出口平均速度(m/s);pa為空氣密度(kg/m3);Δik為節(jié)流孔出深度(m);Δ0ik為均壓腔深度(m)。

利用加遼金加權(quán)余量法對式進(jìn)行數(shù)值離散，待求解的離散化形式的含擠壓效應(yīng)和容積效應(yīng)的改進(jìn)雷諾方程為：

(6)

(7)

由氣體靜壓止推軸承的運動方程為：

hM=F-gM.

(8)

令系統(tǒng)狀態(tài):

x1=t,x2=h,x3=h,x4=p，

(9)

則氣體靜壓軸承振動的狀態(tài)方程為:

(10)

由式(10)可以獲得氣體靜壓軸承的靜態(tài)特性和動態(tài)特性，以及氣體靜壓軸承動態(tài)過程中，氣膜厚度和承載之間的相位變化關(guān)系。

3 氣體靜壓軸承相位致振數(shù)值分析

3.1 氣體靜壓軸承分析模型

本文采用有限元方法研究氣體靜壓軸承的動態(tài)特性數(shù)值分析。考慮結(jié)構(gòu)的對稱性和邊界條件，僅對氣體靜壓軸承的1/4軸承進(jìn)行分析，計算網(wǎng)格如圖2所示。其中Sa是環(huán)境邊界，Sp是對稱邊界,Sr是均壓槽邊界,Sz是節(jié)流孔邊界。 采用三角形單元體，均壓槽忽略其寬度采用線性氣源假設(shè)。

圖2 氣體靜壓軸承有限元網(wǎng)格劃分Fig.2 Computational meshes of aerostatic bearing

邊界條件如下：

在環(huán)境邊界：

p=pa.

(11)

在對稱邊界：

(12)

在節(jié)流孔和均壓槽邊界：

p=pd.

(13)

利用MATLAB進(jìn)行數(shù)值求解，求解流程如圖3所示。

圖3 數(shù)值分析流程圖Fig.3 Flowchart of numerical analysis

圖4 氣體靜壓軸承壓力分布Fig.4 Pressure distribution of aerostatic bearing

3.2 氣體靜壓軸承分析結(jié)果

當(dāng)供氣壓力為4×105Pa且氣膜厚度為30 μm時，氣體靜壓軸承的壓力分布如圖4所示。

由圖4可以看出，在節(jié)流孔附近出現(xiàn)壓力峰值，在均壓槽附近，通過均壓槽的壓力均化，壓力分布均勻性好。因此，該分析可以獲得氣體靜壓軸承在特定工作參數(shù)下的準(zhǔn)確壓力分布。在此基礎(chǔ)上研究不同工作參數(shù)下，氣體靜壓軸承的氣膜厚度隨時間的變化情況，分析結(jié)果如圖5和圖6所示。由圖可知，當(dāng)供氣壓力為4×105Pa且初始?xì)饽ず穸葹?5 μm時，氣體靜壓軸承的氣膜厚度隨時間的變化表現(xiàn)出大幅值狀態(tài)為氣錘失穩(wěn)狀態(tài)，在氣膜厚度為33 μm時，氣體靜壓軸承的氣膜厚度隨時間的變化呈現(xiàn)出運動穩(wěn)定狀態(tài)，因此，該方法可以辨識出氣體靜壓軸承的動態(tài)運動狀態(tài)。

圖5 氣體靜壓軸承氣錘失穩(wěn)狀態(tài)Fig.5 Air hammer instability state of aerostatic bearing

圖6 氣體靜壓軸承穩(wěn)定狀態(tài)Fig.6 Stability state of aerostatic bearing

在此基礎(chǔ)上，分析氣體靜壓軸承的工作氣壓隨時間的變化情況。在氣體靜壓止推軸承自激變化過程中，氣膜間隙與氣膜壓力隨時間變化的相位關(guān)系如圖7和圖8所示。

可以看出，氣體靜壓軸承在自激失穩(wěn)前后，氣膜間隙與氣膜壓力隨時間的變化存在明顯的相位對應(yīng)關(guān)系。在軸承穩(wěn)定狀態(tài)，二者相位0°，為同相位；當(dāng)發(fā)生軸承自激失穩(wěn)后，二者相位180°，為反相位。而且在軸承由失穩(wěn)到穩(wěn)定的變化過程中，隨著工作時間的變化，兩者的相位逐漸發(fā)生變化。因此，氣膜間隙與氣膜壓力之間的相位關(guān)系可以反映氣體靜壓軸承的穩(wěn)定狀態(tài)，進(jìn)而驗證了基于相位致振的氣體靜壓軸承氣錘失穩(wěn)理論的有效性。

圖7 氣錘失穩(wěn)狀態(tài)下氣膜間隙和承載與時間關(guān)系Fig.7 Relationship between film thickness and capacity under air hammer instability

圖8 漸穩(wěn)狀態(tài)下氣膜間隙和承載與時間關(guān)系Fig.8 Relationship between film thickness and capacity under gradual stability

4 測量實驗與結(jié)果

搭建如圖9所示的測試裝置，對前文所述的氣體靜壓止推軸承的自激失穩(wěn)理論分析進(jìn)行試驗驗證。

圖9 氣體靜壓軸承試驗裝置Fig.9 Experimental apparatus for aerostatic bearing

氣體靜壓軸承的氣錘失穩(wěn)振動和非氣錘振動的時域特性對比以及相圖如圖10～圖12所示。由圖可以看出，氣錘失穩(wěn)振動的幅值在9 μm，為單一頻率的周期振動，非氣錘振動的幅值為0.5 μm，為不規(guī)則的非周期振動。地面振動始終存在，但其幅值小于氣體靜壓軸承的非氣錘振動幅值。

圖10 氣體靜壓止推軸承不同工況下振動特性Fig.10 Vibration characteristics of aerostatic bearing under different conditions

圖11 氣體靜壓止推軸承失穩(wěn)狀態(tài)相圖Fig.11 Phase diagram of instability of aerostatic bearing

圖12 氣體靜壓止推軸承穩(wěn)定狀態(tài)相圖Fig.12 Phase diagram of stability of aerostatic bearing

以氣膜厚度和軸承運動加速度為研究對象，對氣體靜壓軸承的氣錘失穩(wěn)在頻率上進(jìn)行Nyquist分析，分析結(jié)果如圖13所示。由圖可以看出，當(dāng)頻率的虛部為0時，此時相位差為180°，氣體靜壓軸承發(fā)生了氣錘失穩(wěn)，與理論分析的結(jié)論一致，進(jìn)而驗證了理論分析的正確性。因此，未來將圍繞著氣體靜壓軸承中，氣膜間隙與氣膜壓力相位變化的趨勢進(jìn)行進(jìn)一步分析，研究氣體靜壓軸承氣錘失穩(wěn)過程在相位上的表征，進(jìn)而獲得基于相位的氣體靜壓軸承氣錘失穩(wěn)抑制方法。

圖13 氣體靜壓軸承漸失穩(wěn)狀態(tài)下Nyquist分析圖Fig.13 Nyquist plot of gradual instability of aerostatic bearing

5結(jié) 論

通過對氣體靜壓軸承的動態(tài)特性進(jìn)行精確建模，獲得了特定工作參數(shù)下軸承氣膜厚度與承載壓力的相位關(guān)系，分析了氣體靜壓軸承發(fā)生氣錘失穩(wěn)過程中的氣膜厚度與承載的相位導(dǎo)致失穩(wěn)的過程，并進(jìn)行了試驗驗證。研究取得的成果如下：

建立了基于相位致振的氣體靜壓軸承氣錘失穩(wěn)數(shù)學(xué)模型，通過該模型可以對氣體靜壓軸承的動態(tài)穩(wěn)定狀態(tài)進(jìn)行分析。

利用圖解法分析了氣體靜壓軸承穩(wěn)定狀態(tài)和失穩(wěn)狀態(tài)的時域特性，研究表明，氣體靜壓軸承自激失穩(wěn)前后，氣膜間隙變化與氣膜壓力變化存在明顯的相位對應(yīng)關(guān)系。在軸承由穩(wěn)定狀態(tài)轉(zhuǎn)至失穩(wěn)狀態(tài)過程中，二者相位從0°同相位逐漸變?yōu)?80°反相位。因此，相位變化是氣體靜壓軸承產(chǎn)生氣錘失穩(wěn)的表征形式之一，可以通過相位變化角度解釋氣體靜壓軸承發(fā)生氣錘失穩(wěn)的作用機理。

對理論分析結(jié)果進(jìn)行了試驗分析，試驗研究驗證了理論分析的正確性。因此，未來可以通過控制氣體靜壓軸承中，氣膜間隙變化與氣膜壓力的相位關(guān)系，來抑制軸承的氣錘失穩(wěn)振動。