余炎強(qiáng), 鄭東琛, 葉春榮, 廖任遠(yuǎn)

(1.福建師范大學(xué) 物理與能源學(xué)院 福建省量子調(diào)控與新能源材料重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，福州 350117； 2.福建省半導(dǎo)體光電材料及其高效轉(zhuǎn)換器件協(xié)同創(chuàng)新中心，廈門 361005)

1 引 言

準(zhǔn)晶是一種介于晶體和非晶體之間的物質(zhì)，它具有像晶體一樣的長(zhǎng)程有序的原子排列，但是卻沒(méi)有像晶體一樣的平移不變性.人們已經(jīng)在合金[1], 膠體[2]中觀察到了準(zhǔn)晶.而通過(guò)衍射圖像觀察到準(zhǔn)晶具有旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性則要追溯到1984年[3].準(zhǔn)晶序已經(jīng)在很多材料中被研究和學(xué)習(xí)[4-6].

將超冷原子囚禁在由激光產(chǎn)生的光學(xué)勢(shì)中可以很好地調(diào)控和探索奇特的固態(tài)物質(zhì).許多研究小組利用這樣的裝置成功探索了超流氣體的Dicke量子相變[7,8]；在兩個(gè)腔中實(shí)現(xiàn)了超固態(tài)；希格斯模和戈德斯通模[9-11]；將一個(gè)三維的凝聚體放置在一個(gè)擁有五個(gè)勢(shì)阱的一維超晶格中實(shí)現(xiàn)了具有五重旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性的準(zhǔn)晶[12]，還有的方案是通過(guò)自旋軌道耦合的BEC經(jīng)過(guò)量子相變產(chǎn)生準(zhǔn)晶[13].最近來(lái)自英國(guó)的研究小組將BEC放入到光學(xué)腔中，通過(guò)觀察產(chǎn)生的衍射圖像實(shí)現(xiàn)了八重準(zhǔn)晶[14].但是對(duì)于該裝置還缺少必要的理論解釋來(lái)證明實(shí)驗(yàn)的準(zhǔn)確性以及該實(shí)驗(yàn)裝置的可重復(fù)性.所以本文將利用數(shù)值模擬從理論上證實(shí)光學(xué)腔中出現(xiàn)的八重準(zhǔn)晶.我們將會(huì)結(jié)合虛時(shí)演化和分步傅里葉方法來(lái)計(jì)算不同腔模情況下的原子密度分布情況.我們從理論上證實(shí)了當(dāng)四個(gè)線性腔同時(shí)作用于BEC時(shí)會(huì)出現(xiàn)具有八重旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性的準(zhǔn)晶.所以這篇文章再一次證明了光學(xué)腔中的BEC可以產(chǎn)生很多奇特的量子現(xiàn)象.而利用我們的理論方法可以很好地模擬實(shí)驗(yàn)所觀測(cè)到的現(xiàn)象，這為我們之后探究更為復(fù)雜的晶體結(jié)構(gòu)提供了理論基礎(chǔ).

2 模型與方法

考慮將超冷玻色氣體囚禁在一個(gè)由四個(gè)線性腔組成的二維x-y平面上并在z方向上受到一個(gè)泵浦激光的作用，每個(gè)腔之間的夾角為45°[15]，如圖1所示.我們將原子的失諧量定義為Δa=ωp-ωa<0，其中ωp表示泵浦頻率，ωa表示原子基態(tài)和激發(fā)態(tài)之間的轉(zhuǎn)變頻率，假設(shè)ωa的取值非常大，所以原子的激發(fā)態(tài)可以被絕熱消除.這就產(chǎn)生了該模型的有效哈密頓量.

圖1 模型圖Fig.1 Illustration of model

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從上式可以知道分步傅里葉方法要求時(shí)間取得小一些，而虛時(shí)演化又需要時(shí)間取得大一些，解決的途徑是將時(shí)間步長(zhǎng)取小，這樣我們就可以結(jié)合兩種方法快速準(zhǔn)確地得到基態(tài)波函數(shù).

3 結(jié)果與討論

第二部分通過(guò)引入四個(gè)線性腔中的哈密頓量，利用一些近似得到有效哈密頓量，最后結(jié)合虛時(shí)演化方法和分步傅里葉方法得到該哈密頓量的基態(tài)波函數(shù).現(xiàn)在可以根據(jù)求得的基態(tài)波函數(shù)畫出腔內(nèi)原子密度分布圖.如圖2所示，我們根據(jù)數(shù)值模擬方法得到了光學(xué)腔中的原子密度分布，只考慮一個(gè)腔沿x軸作用時(shí)，得到圖2a所示情況，它表示沿x方向出現(xiàn)原子密度分布，這對(duì)應(yīng)于只有腔1中出現(xiàn)超輻射相.接著我們考慮加入豎直方向的晶格勢(shì)，也就是加入圖1所示的腔3，通過(guò)模擬可以得到規(guī)則分布的二維菱形晶格.如圖2b所示，它表示腔1和腔3中都出現(xiàn)超輻射相.最后加入腔2和腔4的晶格勢(shì)，我們得到一個(gè)二維晶體結(jié)構(gòu)，它是一個(gè)具有八重旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性的晶體，相比于圖2c，圖2d中作用于凝聚體的激光強(qiáng)度更大.

(a;b;d:ηj=0.5,c:ηj=0.05)圖2 不同腔晶格勢(shì)作用下的原子密度分布Fig.2 Atomic density distribution under different cavity lattice potentials

接著我們進(jìn)一步探索八個(gè)周期時(shí)的情況，所采用的方法與圖2類似，經(jīng)過(guò)數(shù)值模擬我們得到了圖3所示的情況.從圖中我們可以看到這個(gè)晶體結(jié)構(gòu)具有長(zhǎng)程序，但不具有平移不變性.所以根據(jù)準(zhǔn)晶的定義，該晶體是一個(gè)八重準(zhǔn)晶.

(a:ηj=0.5)圖3 八個(gè)周期下的原子密度分布Fig.3 Atomic density distribution at eight cycles

4 總 結(jié)

本文建立了一個(gè)由四個(gè)光學(xué)腔組成的系統(tǒng)，并將超冷玻色氣體囚禁在腔中.為了探究腔中出現(xiàn)的相圖，并且解釋實(shí)驗(yàn)出現(xiàn)的現(xiàn)象，我們通過(guò)結(jié)合虛時(shí)演化方法和分步傅里葉方法來(lái)求解GP方程，該方法能夠有效解決非線性薛定諤方程.通過(guò)改變不同數(shù)目的腔晶格勢(shì)，得到了相應(yīng)的相圖.當(dāng)所有腔都考慮在內(nèi)時(shí)，出現(xiàn)一種具有八重旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性的晶體，該晶體具有長(zhǎng)程序但不具有周期性，所以它是一種八重準(zhǔn)晶.這說(shuō)明了我們的方法適用于研究光學(xué)腔中的晶體結(jié)構(gòu)和相變.近幾年實(shí)驗(yàn)上觀測(cè)到的Dicke量子相變可以通過(guò)單個(gè)線性腔來(lái)實(shí)現(xiàn)，而利用我們的數(shù)值模擬方法也能夠從理論上得出相對(duì)應(yīng)的相圖，而利用兩個(gè)交叉腔可以模擬超固態(tài)的產(chǎn)生，利用三個(gè)腔可以產(chǎn)生六角蜂窩狀晶格.本文利用四個(gè)呈45°分布的光學(xué)腔成功模擬出八重準(zhǔn)晶.所以我們的方法是十分科學(xué)有效的，它為將來(lái)探究更為復(fù)雜的晶體結(jié)構(gòu)提供了可能，并能夠進(jìn)一步指導(dǎo)實(shí)驗(yàn)的操作.