查雙劍

【摘要】原創(chuàng)，不是在已建成的房子上重新裝潢，而是要重新打地基、造新房。教育工作者需要深入理解知識(shí)的底層邏輯，從底層邏輯出發(fā)，根據(jù)所要考查的目標(biāo)，去構(gòu)建原形題，再以原型題作為基礎(chǔ)，去搭建新問題。

【關(guān)鍵詞】底層邏輯;原型;增加變量法;逆命題

2019年4月底，筆者承擔(dān)了《2018—2019學(xué)年度貴池區(qū)三級(jí)教研網(wǎng)絡(luò)中片第三次聯(lián)考》數(shù)學(xué)科目的制卷工作。這里筆者以試卷的第23題為例，談?wù)勛约旱拿}心得。

一、關(guān)于底層邏輯

1.什么是底層邏輯

我們的認(rèn)知符合“從特殊到一般”“從具體到抽象”的規(guī)律。其中的“一般”“抽象”就是通常所講的原理、本質(zhì)。比如，在宏觀世界中，所有物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的改變都是由自身所受外力引起的，力就是原理、本質(zhì)，力改變運(yùn)動(dòng)。邏輯推理中也存在這樣的“力”，筆者稱之為“底層邏輯”，它推動(dòng)了邏輯的展開。舉個(gè)例子，任意畫一個(gè)三角形，通過拼接或測量，我們發(fā)現(xiàn)“三個(gè)內(nèi)角和都等于180°”，所以我們可以大膽猜想：“所有的三角形內(nèi)角和都等于180°（三角形內(nèi)角和定理）?！边@就是“從特殊到一般”的過程。在證明這個(gè)猜想時(shí)，它是通過構(gòu)造平行線，將三個(gè)內(nèi)角集中成共頂點(diǎn)的一個(gè)平角完成證明的。根據(jù)該定理，我們又可以進(jìn)一步演繹推理出“三角形的外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和”，我們稱之為“推論”。其中，通過構(gòu)造平行線轉(zhuǎn)移角用到了“平行線性質(zhì)定理”，而“平行線性質(zhì)定理”又是根據(jù)公理——“同位角相等，兩直線平行”得到的，邏輯逆向推理到這里就不能再繼續(xù)了。整個(gè)過程的邏輯鏈條是，公理—定理1—定理2—推論。以上例子中，以公理為起點(diǎn)，引出的一系列邏輯推理就是筆者說的“底層邏輯”。

2.使用底層邏輯構(gòu)建問題

原創(chuàng)，不是在已建成的房子上重新裝潢，而是要重新打地基、造新房。教育工作者需要深入理解知識(shí)的底層邏輯，從底層邏輯出發(fā)，根據(jù)所要考查的目標(biāo)，去構(gòu)建原形題，再以原型題作為基礎(chǔ)，去搭建新問題。

二、構(gòu)建原型

1.底層邏輯

如圖1，∠ABC=∠BDE=∠BFC，則△ABC ∽ △BDE。

2.特殊化

如圖2，∠ABC = ∠BDE = ∠BFC，若AB = BD，

則△ABC ≌ △BDE。

3.再特殊化

把圖2結(jié)構(gòu)放置到正三角形中，并引入動(dòng)點(diǎn)，形成動(dòng)圖。如圖3，在正三角形ABC中，點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC上的動(dòng)點(diǎn)，AD、BE相交于點(diǎn)F，若∠AFE=60°（這里隱含了∠AFE = ∠ABD = ∠BCA，AB = BC），則△ABD ≌ △BCE。并且，根據(jù)圓的相關(guān)知識(shí)可得，點(diǎn)F在以AB為弦的圓弧上。

4.類比衍生

也可以把圖2結(jié)構(gòu)放置在正方形中。如圖4，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是邊CD、AD上的動(dòng)點(diǎn)，連接AE、BF，交于點(diǎn)G。若∠AGB=90°，則△ABF ≌ △ADE，并且點(diǎn)G在以AB為直徑的半圓上。

我們還可以類比出正五邊形、正六邊形等例子。

三、命題過程

1. 原型題

這里筆者選擇正方形作為“地基”。

如圖4，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是CD邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接AE，作BF⊥AE，垂足為G， 交AD于F。 （1）求證：AF=DE。

2.增加變量法

筆者采用“增加變量法”，提高問題難度。這里，有一個(gè)簡單邏輯：當(dāng)變量（連線）增加時(shí)，圖形變復(fù)雜了，顯然可供思考的點(diǎn)更多了，也就更難了。當(dāng)點(diǎn)E移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)F、G也隨之移動(dòng)，點(diǎn)G的移動(dòng)軌跡是以AB為直徑的半圓，這是一個(gè)動(dòng)態(tài)的過程。當(dāng)連接GD時(shí)，增加了一條線段（GD）、兩個(gè)角（∠FGD，∠DGE）。圍繞這幾個(gè)量，可以展開思考，提出問題。在提出問題時(shí)，考慮到考生的計(jì)算水平，選擇該動(dòng)態(tài)過程中某些“恰好”的時(shí)刻，更便于考生計(jì)算。比如，討論GD的最值、∠FGD的大小等。這里，筆者通過角提出問題。

如圖5，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是CD邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接AE，作BF⊥AE，垂足為G， 交AD于F。 （2）連接DG，若DG平分∠EGF，求證：點(diǎn)E是CD中點(diǎn)。

在提出問題時(shí)，首先研究了這樣一個(gè)動(dòng)態(tài)的過程：隨著點(diǎn)E移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)F的移動(dòng)情況，發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)E是CD中點(diǎn)（CE = DE）時(shí)，點(diǎn)F也是中點(diǎn)（AF = DF），當(dāng)連接DG后，發(fā)現(xiàn)GD恰好平分了∠FGE，滿足以上條件的點(diǎn)G顯然只有一個(gè)。換言之，如果GD平分∠FGE，則點(diǎn)E也是CD中點(diǎn)。簡單地說，分析時(shí)，是從邊找角;提問時(shí)，是從角找邊。

這里有一個(gè)命題心得，將原型題中發(fā)現(xiàn)的真命題的條件和結(jié)論互換，判斷其逆命題是否依然成立，提出問題，往往會(huì)收到意想不到的效果。這里從角切入提問，是因?yàn)楣P者在平時(shí)教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，很多學(xué)生不善于找角并利用角的關(guān)系去解決問題。所以當(dāng)從角切入提問時(shí)，就提高了問題的難度，使問題變得更具有開放性。

3.繼續(xù)增加變量

在上述的條件下，連接CG，如圖6，求證：CG=CD。

四、定稿

如圖4，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是CD邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接AE，作BF⊥AE，垂足為G， 交AD于F。

（1）求證：AF=DE;

（2）連接DG，若DG平分∠EGF，如圖5，求證：點(diǎn)E是CD中點(diǎn);

（3）在（2）的條件下，連接CG，如圖6，求證：CG=CD。

【參考文獻(xiàn)】

[1]羅國興.初中數(shù)學(xué)教學(xué)中邏輯思維能力的培養(yǎng)分析[J].名師在線，2019（05）：57-58.