逆命題

每一個(gè)命題都有逆命題。對(duì)于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另外一個(gè)命題的結(jié)論和條件，那么這兩個(gè)命題叫作互逆命題。其中一個(gè)命題叫作原命題，另外一個(gè)命題叫作原命題的逆命題。比如，“兩直線平行，同位角相等”的逆命題是“同位角相等，兩直線平行”。需要特別說(shuō)明的是，原命題的真假與逆命題的真假?zèng)]有必然聯(lián)系。原命題為真，逆命題未必為真。比如，真命題“對(duì)頂角相等”的逆命題是“相等的兩個(gè)角是對(duì)頂角”，這顯然是假命題?；臼聦?shí)（公理）是人們?cè)陂L(zhǎng)期實(shí)踐中總結(jié)出來(lái)的、正確

4 由原命題到逆命題的思考前面研究了過(guò)焦點(diǎn)的兩條動(dòng)直線l1,l2當(dāng)l1⊥l2時(shí)，l1與圓錐曲線C分別相交于A、B兩點(diǎn)，l2與圓錐曲線C分別相交于C、D兩點(diǎn)線段AB,CD中點(diǎn)分別為M,N，直線MN過(guò)定點(diǎn)；反過(guò)來(lái)，若直線MN過(guò)定點(diǎn)，l1,l2是否垂直呢？通過(guò)再次研究得到如下命題：證明從略.5 當(dāng)k1k2=λ(λ ≠0)時(shí)的一般性結(jié)論6 k1 k2=λ(λ ≠0)情況下由原命題到逆命題的思考證明類似命題10 過(guò)程，在此省略.

題拓展;探究;逆命題;內(nèi)心布魯諾指出：“思維永遠(yuǎn)從問(wèn)題開(kāi)始.”學(xué)習(xí)的意義是不僅掌握教材中的知識(shí)，更要幫助學(xué)生能用所學(xué)的內(nèi)容去解決問(wèn)題，去創(chuàng)新實(shí)踐.教材習(xí)題是十分有價(jià)值的教學(xué)資源，通過(guò)典型問(wèn)題的拓展與變式、方法的遷移應(yīng)用促使學(xué)生貫通知識(shí)間的聯(lián)系，進(jìn)而找到解決問(wèn)題的策略、掌握分析問(wèn)題的方法，這些品質(zhì)和素養(yǎng)需要在日常教學(xué)中加以實(shí)踐和鍛煉.作為一線教師深入挖掘教材中習(xí)題的教育價(jià)值是必備素養(yǎng)之一，也是促進(jìn)專業(yè)成長(zhǎng)重要途徑.1 原題呈現(xiàn) 已知，如圖1，在△ABC中，點(diǎn)

級(jí)上冊(cè)“2.6逆命題和逆定理”為例，對(duì)概念學(xué)習(xí)的設(shè)計(jì)做了一些探究和嘗試，印證“學(xué)生先行，交流呈現(xiàn)，教師斷后”的教學(xué)設(shè)計(jì)，現(xiàn)闡述如下，以期拋磚引玉.一、教學(xué)設(shè)計(jì)1、情境創(chuàng)設(shè)，激活思維環(huán)節(jié)1：閱讀幻燈片內(nèi)容，獨(dú)立思考完成預(yù)設(shè)問(wèn)題1：幻燈片上 “綠水青山就是金山銀山”這句話，用第一章學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)名詞來(lái)表示，它應(yīng)該叫什么？預(yù)設(shè)問(wèn)題2：： 觀察下列4個(gè)句子，依序回答句后三個(gè)小問(wèn)題：①對(duì)頂角相等. ②作一個(gè)角等于已知角.③兩個(gè)無(wú)理數(shù)的和仍是無(wú)理數(shù).④線段垂直平分線上的點(diǎn)

級(jí)上冊(cè)“2.6逆命題和逆定理”為例，對(duì)概念學(xué)習(xí)的設(shè)計(jì)做了一些探究和嘗試，印證“學(xué)生先行，交流呈現(xiàn)，教師斷后”的教學(xué)設(shè)計(jì)，現(xiàn)闡述如下，以期拋磚引玉.一、教學(xué)設(shè)計(jì)1、情境創(chuàng)設(shè)，激活思維環(huán)節(jié)1：閱讀幻燈片內(nèi)容，獨(dú)立思考完成預(yù)設(shè)問(wèn)題1：幻燈片上 “綠水青山就是金山銀山”這句話，用第一章學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)名詞來(lái)表示，它應(yīng)該叫什么？預(yù)設(shè)問(wèn)題2：： 觀察下列4個(gè)句子，依序回答句后三個(gè)小問(wèn)題：①對(duì)頂角相等. ②作一個(gè)角等于已知角.③兩個(gè)無(wú)理數(shù)的和仍是無(wú)理數(shù).④線段垂直平分線上的點(diǎn)

執(zhí)教課題是“互逆命題”，這節(jié)課在課程標(biāo)準(zhǔn)中的要求不高，僅僅是“會(huì)識(shí)別兩個(gè)互逆的命題，知道原命題成立其逆命題不一定成立；了解反例的作用，知道利用反例可以判斷一個(gè)命題是錯(cuò)誤的． ”[1]因此，教師在平時(shí)的教學(xué)中對(duì)這節(jié)課重視不夠，多是照本宣科． 調(diào)研組和數(shù)學(xué)學(xué)科組對(duì)前后兩次的課堂教學(xué)進(jìn)行對(duì)比，明確了概念教學(xué)的基本原則：“在課堂設(shè)計(jì)中凸顯素養(yǎng)與智慧”．1 初次展示環(huán)節(jié)1 目標(biāo)明示上課伊始，教師展示了本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)：(1)通過(guò)具體實(shí)例，了解原命題及其逆命題的概念．

的兩腰相等”的逆命題是?！惧e(cuò)解】?jī)裳嗟鹊娜切问堑妊切??！痉治觥繉?xiě)一個(gè)命題的逆命題時(shí)，不是簡(jiǎn)單地將命題的結(jié)論和條件互換，還要結(jié)合具體問(wèn)題加以修改。本題中，腰是等腰三角形特有的概念，在寫(xiě)逆命題時(shí)要回避這一概念。【正解】?jī)蛇呄嗟鹊娜切问堑妊切?。三、判斷原命題、逆命題真假性的“坑”例3下列說(shuō)法中，正確的是（）。A.每個(gè)命題都有逆命題B.每個(gè)定理都有逆定理C.假命題的逆命題是真命題D.真命題的逆命題都是假命題【錯(cuò)解】B或C或D?！痉治觥堪岩粋€(gè)命題的條件

察學(xué)生對(duì)命題與逆命題的學(xué)習(xí)是否扎實(shí)。課堂中老師如何引導(dǎo)，是否在《命題》《勾股定理》教學(xué)中做好充分的鋪墊，對(duì)于學(xué)生學(xué)習(xí)勾股定理逆定理非常關(guān)鍵。數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)，長(zhǎng)遠(yuǎn)來(lái)看，從初中階段開(kāi)始對(duì)學(xué)生滲透數(shù)學(xué)思想、培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，對(duì)學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)非常重要;從教師實(shí)施教學(xué)的角度來(lái)看，教師數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高、如何理解教材、以何種方式向?qū)W生展示數(shù)學(xué)知識(shí)，又對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)非常重要。關(guān)鍵詞：勾股定理逆定理;命題;逆命題;數(shù)學(xué)素養(yǎng)一、勾股定理逆定理課堂教學(xué)實(shí)錄勾股定理是歐

的真命題，它有逆命題嗎？顯然這是一個(gè)只有結(jié)論沒(méi)有條件的命題，當(dāng)然就沒(méi)有逆命題了.我們?cè)賮?lái)看這樣一個(gè)語(yǔ)句：面積相等的三角形不一定是全等的三角形.這個(gè)語(yǔ)句里面有一個(gè)詞是“不一定”，那么它是命題嗎？ 這個(gè)語(yǔ)句顯然是對(duì)的，那么它就是可以判斷真假的語(yǔ)句，那么它顯然是命題了，那么它的逆命題又是什么呢？我們講四種命題的時(shí)候是這樣說(shuō)的：原命題：若p則q.逆命題：若q則p.那么“面積相等的三角形不一定是全等的三角形”能寫(xiě)成“若p則q”的形式嗎？有些同學(xué)可能把它改成了“若兩個(gè)

;增加變量法;逆命題2019年4月底，筆者承擔(dān)了《2018—2019學(xué)年度貴池區(qū)三級(jí)教研網(wǎng)絡(luò)中片第三次聯(lián)考》數(shù)學(xué)科目的制卷工作。這里筆者以試卷的第23題為例，談?wù)勛约旱拿}心得。一、關(guān)于底層邏輯1.什么是底層邏輯我們的認(rèn)知符合“從特殊到一般”“從具體到抽象”的規(guī)律。其中的“一般”“抽象”就是通常所講的原理、本質(zhì)。比如，在宏觀世界中，所有物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的改變都是由自身所受外力引起的，力就是原理、本質(zhì)，力改變運(yùn)動(dòng)。邏輯推理中也存在這樣的“力”，筆者稱之為“底層邏

究完后，研究其逆命題、否命題，對(duì)辨析概念效果甚佳.原命題：對(duì)于函數(shù)y=f（x），如果在某區(qū)間上f′（x）＞0，那么f（x）在該區(qū)間上單調(diào)遞增；逆命題：對(duì)于函數(shù)y=f（x），如果在某區(qū)間上單調(diào)遞增，那么f（x）在該區(qū)間上f′（x）＞0.逆命題是真命題還是假命題呢？答案：假命題.反例：f（x）=x3，在定義域R上單調(diào)遞增，其導(dǎo)函數(shù)f′（x）=3x2，很顯然當(dāng)x∈R，f′（x）≥0恒成立，可見(jiàn)上述逆命題是不正確的.那教科書(shū)的描述錯(cuò)了嗎？沒(méi)有，教科書(shū)沒(méi)錯(cuò)，只是f′

性質(zhì)的真命題的逆命題都是真命題.(圓的性質(zhì)輪換不變性)猜想是根據(jù)圓的全方位對(duì)稱性的的完美性所作的預(yù)測(cè).揭示圓的對(duì)稱性的特點(diǎn),由圓的對(duì)稱性的完美性猜想圓的性質(zhì)的等量交換不變性,這是美的召喚,美的預(yù)測(cè)功能在這里得到淋漓盡致的表現(xiàn).由于(圓的性質(zhì)輪換不變性)猜想是根據(jù)圓的結(jié)構(gòu)的全方位對(duì)稱性出發(fā)作出的,因而具有合理性、準(zhǔn)確性(注意,這里所作的預(yù)測(cè)不能看作圓的性質(zhì)定理, 它不是證明的產(chǎn)物,而是美的直覺(jué)產(chǎn)生的預(yù)感,是一種哲理性的認(rèn)識(shí)).如此預(yù)測(cè),不但有利于教師設(shè)計(jì)教學(xué)

到了這個(gè)命題的逆命題。所有命題都有逆命題。那么逆命題到底有哪些本質(zhì)呢？下面我們從逆命題的“概念”“表達(dá)”“判斷”三個(gè)角度去揭示它的本質(zhì)。一、對(duì)逆命題概念的深度認(rèn)識(shí)在兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的條件是第二個(gè)命題的結(jié)論，而第一個(gè)命題的結(jié)論是第二個(gè)命題的條件，那么這兩個(gè)命題叫作互逆命題，其中一個(gè)命題是另外一個(gè)命題的逆命題。簡(jiǎn)單地說(shuō)，判斷兩個(gè)命題是不是互逆命題，就看兩個(gè)命題的條件和結(jié)論是否互換。例1 下列各組命題是不是互逆命題？（1）長(zhǎng)方形的4個(gè)角都是直角。4個(gè)角

來(lái)構(gòu)造原命題的逆命題，從而獲得新知識(shí)。初中幾何中同一知識(shí)對(duì)象的性質(zhì)定理與判定定理往往是互逆的，如平行線的性質(zhì)與判定、平行四邊形的性質(zhì)與判定等。本文就幾何圖形判定定理的教學(xué)為例做分析，探討如何利用矩形、菱形的性質(zhì)定理構(gòu)造逆命題來(lái)學(xué)習(xí)矩形、菱形的判定定理。以此為基礎(chǔ)，結(jié)合“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”的逆命題闡述如何引導(dǎo)學(xué)生獲得新知。一、從矩形、菱形的性質(zhì)定理到矩形、菱形的判定定理學(xué)習(xí)矩形、菱形的判定定理前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了性質(zhì)定理，因此，可以將性質(zhì)定

概念：原命題、逆命題、否命題和逆否命題。簡(jiǎn)單用p和q表示如下。原命題：若p則q。逆命題：若q則p。否命題：若?p則?q。逆否命題：若?q則?p。其中，原命題和逆否命題同真假，逆命題和否命題同真假。還是上面的例子，IG拿過(guò)LOL世界冠軍，該命題為真命題。我們把這個(gè)命題進(jìn)行拆分，如果這個(gè)戰(zhàn)隊(duì)是IG（p），那么他們拿過(guò)LOL世界冠軍（q）。逆命題是：如果有個(gè)戰(zhàn)隊(duì)拿過(guò)LOL世界冠軍，那他們一定是IG戰(zhàn)隊(duì)。逆命題顯然不成立，LOL賽季有很多場(chǎng)，世界冠軍也有很多個(gè)，顯

逆否命題等價(jià)；逆命題與否命題等價(jià)；原命題、逆命題、否命題與逆否命題中，真命題個(gè)數(shù)是偶數(shù)個(gè)（即0，2，4）.二、函數(shù)三、數(shù)列四、三角函數(shù)五、平面向量六、不等式七、平面解析幾何八、立體幾何34.一條斜線從一個(gè)角頂點(diǎn)出發(fā)與兩邊所成的角相等，則該斜線在該角所在平面上的射影在角平分線上；若該斜線上一點(diǎn)到角兩邊距離相等，則該斜線在該角所在平面上的射影在角平分線上.九、計(jì)數(shù)原理與二項(xiàng)式定理、概率與統(tǒng)計(jì)十、復(fù)數(shù)十一、導(dǎo)數(shù)

我引導(dǎo)學(xué)生回顧逆命題的概念，并引出其他相關(guān)概念。2.講授新課（板書(shū)）§1.7.1 四種命題概念師：請(qǐng)同學(xué)們看如下故事，并回答問(wèn)題（投影顯示）：宋人張三走失一匹瞎了左眼的馬，正四處尋找，恰好看見(jiàn)李四牽著一匹瞎左眼的馬經(jīng)過(guò)，張三上前對(duì)李四說(shuō)：“這是我的馬，請(qǐng)還給我。”李四說(shuō)：“這分明是我的馬，怎么會(huì)是你的呢？”張三說(shuō)：“我的馬是瞎左眼的，你牽的馬若不是瞎左眼，就不是我的，但你牽的馬是的話，當(dāng)然是我的?！闭?qǐng)問(wèn)，你能從上述兩人對(duì)話中，判斷出馬的主人嗎？生甲：這匹馬

（1）中命題的逆命題是假命題；（3）對(duì)于（1）中命題的逆命題，如果補(bǔ)充一個(gè)條件后，能使該逆命題為真命題，請(qǐng)直接寫(xiě)出你認(rèn)為需要補(bǔ)充的一個(gè)條件，不必說(shuō)明理由.圖1圖2圖3分析：（1）如圖2，∵四邊形ABCD和四邊形AEFG為正方形，∴AG=AE，AD=AB，GF=EF，∠DGF=∠BEF=90°，∴DG=BE，∴△DGF≌△BEF，∴DF=BF.（2）圖形（反例），如圖3.（3）答案不唯一.如，F(xiàn)在正方形ABCD內(nèi)，或α＜180°，若點(diǎn)F在正方形ABCD內(nèi)，D

師生對(duì)余弦定理逆命題的共同討論，筆者也在學(xué)生思考與探索的基礎(chǔ)上對(duì)正弦定理的逆命題進(jìn)行了思索并因此有了新的收獲.一、預(yù)設(shè)問(wèn)題例題 在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、（1）求∠C的大?。唬?）若求c的取值范圍.解析：（1）解答過(guò)程略）.（2）在△ABC中由余弦定理可得c2=a2+b2-2ab cos C=a2+b2-ab≥2ab-（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)），且c＞0，因此課堂練習(xí)：在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，且（1）求證（

進(jìn)行證明，驗(yàn)證逆命題是否成立.對(duì)于漸進(jìn)性問(wèn)題，采用兩個(gè)引理，分別設(shè)定了兩個(gè)條件，通過(guò)泰勒公式運(yùn)算得到多個(gè)公式，經(jīng)過(guò)推理分析，判斷命題是否成立.【關(guān)鍵詞】柯西中值定理；逆問(wèn)題；漸進(jìn)性在微積分理論當(dāng)中，占據(jù)比重比較大的內(nèi)容是微分中值定理，并廣泛應(yīng)用到各個(gè)領(lǐng)域.近幾年，很多學(xué)者將目光轉(zhuǎn)移向了“中間點(diǎn)”漸進(jìn)性研究方向，除此之外，還包括一些逆問(wèn)題的研究.為了對(duì)這些問(wèn)題進(jìn)行深入研究，對(duì)本文在已有研究的基礎(chǔ)上，將兩者結(jié)合起來(lái)，對(duì)柯西中值定理逆問(wèn)題進(jìn)行分析，提出逆命題，并

已學(xué)習(xí)過(guò)命題與逆命題的知識(shí)，請(qǐng)一位同學(xué)回答：什么叫做命題的逆命題？生：在兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的條件是第二個(gè)命題的結(jié)論，且第一個(gè)命題的結(jié)論是第二個(gè)命題的條件，那么這兩個(gè)命題叫做互為逆命題．師：回答得很好，這節(jié)課我們將進(jìn)一步研究命題與其有關(guān)的命題的概念．二、講授新課（板書(shū)）§1．7．1四種命題的概念師：請(qǐng)同學(xué)們看如下故事，并回答問(wèn)題（投影顯示）宋人張三走失一匹瞎左眼的馬，正四處尋找，恰好看見(jiàn)李四正牽著一匹瞎左眼的馬經(jīng)過(guò)，張三上前對(duì)李四說(shuō)：“這是我的馬，請(qǐng)

逆否命題等價(jià)；逆命題與否命題等價(jià)；原命題、逆命題、否命題與逆否命題中，真命題個(gè)數(shù)是偶數(shù)個(gè)（即0，2，4）.二、函數(shù)三、數(shù)列四、三角函數(shù)18.三角形ABC中的有關(guān)三角函數(shù)的恒等式與不等式：五、平面向量六、不等式七、平面解析幾何八、立體幾何34.一條斜線從一個(gè)角頂點(diǎn)出發(fā)與兩邊所成的角相等，則該斜線在該角所在平面上的射影在角平分線上；若該斜線上一點(diǎn)到角兩邊距離相等，則該斜線在該角所在平面上的射影在角平分線上.九、計(jì)數(shù)原理與二項(xiàng)式定理、概率與統(tǒng)計(jì)十、復(fù)數(shù)十一、導(dǎo)數(shù)

命題，原命題、逆命題等等.本文主要結(jié)合近年中考試題，跟同學(xué)們一起關(guān)注“命題”在中考中會(huì)怎樣考.例1 （2016·浙江寧波）能說(shuō)明“對(duì)于任何實(shí)數(shù)a，[a]>-a”是假命題的一個(gè)反例可以是（ ）.A.a=-2 B.a=[13]C.a=1 D.a=[2]【解析】當(dāng)a=-2時(shí)，[a]=[-2]=2，-a=-（-2）=2，∴[a]=-a，可作為反例；當(dāng)a=[13]時(shí)，[a]=[13]=[13]，-a=[-13]，∴[a]>-a，不能作為反例；當(dāng)a=1時(shí)，[a]=[1

能：使學(xué)生理解逆命題與逆定理的意義，會(huì)寫(xiě)出一個(gè)命題的逆命題，會(huì)判斷定理的逆命題的真假.2.過(guò)程與方法：通過(guò)探索逆命題的寫(xiě)法，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力，應(yīng)變能力和語(yǔ)言表達(dá)能力.3.情感、態(tài)度與價(jià)值觀：教學(xué)中滲透著數(shù)學(xué)的形式美和內(nèi)涵美，提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)美德鑒賞能力。學(xué)習(xí)重點(diǎn)：會(huì)寫(xiě)一個(gè)命題的逆命題，會(huì)判斷定理的逆命題的真假。學(xué)習(xí)難點(diǎn)：正確寫(xiě)出一個(gè)命題的逆命題。教學(xué)方法：體驗(yàn)學(xué)習(xí)教學(xué)法，討論法，講練結(jié)合法。學(xué)習(xí)方法：自主探究學(xué)習(xí)法，小組合作學(xué)習(xí)法。教學(xué)準(zhǔn)備：多媒體、導(dǎo)學(xué)案

形式(原命題、逆命題、否命題、逆否命題)中,真命題的個(gè)數(shù)記為f(p),已知命題p:“若兩條直線l1:a1x+b1y+c1=0,l2:a2x+b2y+c2=0平行,則a1b2-a2b1=0?！蹦敲磃(p)等于( )。A.1 B.2 C.3 D.4解析：原命題p顯然是真命題,故其逆否命題也是真命題。而其逆命題“若a1b2-a2b1=0,則兩條直線l1與l2平行”是假命題,因?yàn)楫?dāng)a1b2-a2b1=0時(shí),還有可能l1與l2重合,逆命題是假命題,從而否命題也為假命

兩個(gè)命題叫做互逆命題。如果其中的一個(gè)為原命題，則另一個(gè)叫做它的逆命題。如“人是會(huì)呼吸的”的逆命題就是“會(huì)呼吸的是人”。對(duì)于原命題的真的話，它的逆命題是不是也一定是真的呢？這是不一定的。如“人是會(huì)呼吸的”是真命題，但是“會(huì)呼吸的是人”卻是個(gè)假命題，因?yàn)闀?huì)呼吸的不一定就是人（動(dòng)植物也會(huì)呼吸）。在數(shù)學(xué)中如是一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過(guò)證明是真命題，那么它也是一個(gè)定理。這兩個(gè)定理叫做互逆命題，其中一個(gè)叫做另一個(gè)的逆定理。如勾股定理和它的逆定理。但是也不是所有定理都有逆定理

（1）中命題的逆命題是假命題.（3）對(duì)于（1）中命題的逆命題，如果補(bǔ)充一個(gè)條件后能使該逆命題為真命題，請(qǐng)直接寫(xiě)出你認(rèn)為需要補(bǔ)充的一個(gè)條件，不必說(shuō)明理由.解析：如圖6，在正方形A B C D與正方形A E F G中，∵ G F＝E F，AG＝A E，A D＝A B，∴ D G＝B E.又∵ ∠D G F＝∠B E F＝90°，∴ △D G F≌△B E F，∴ D F＝B F.圖7圖6 （2）圖形（即反例）如圖7.（3）點(diǎn)F在正方形A B C D內(nèi)或α＜18

究：由原命題到逆命題的探究問(wèn)題3結(jié)論1.1、2.1、3.1的逆命題是否成立？易知P為定點(diǎn)(0,n)(0<|n|類似地，容易得到結(jié)論2.1、3.1的逆命題：以上引導(dǎo)學(xué)生從縱向、橫向、逆向三個(gè)方面對(duì)上述高考試題進(jìn)行探究，把隱藏在題目背后的問(wèn)題本質(zhì)進(jìn)行挖掘與拓展，得到了一系列對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是全新的結(jié)論.正如著名數(shù)學(xué)教育家G·波利亞所倡導(dǎo)的：“一個(gè)專心的認(rèn)真?zhèn)湔n的教師能拿出一個(gè)有意義的但又不太復(fù)雜的題目，去幫助學(xué)生發(fā)掘問(wèn)題的各個(gè)方面，使其通過(guò)這道題，就好像通過(guò)一道門戶

論來(lái)做.三、互逆命題1.互逆命題：在兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的條件是第二個(gè)命題的結(jié)論，而第一個(gè)命題的結(jié)論又是第二個(gè)命題的條件，那么這兩個(gè)命題叫作互逆命題.其中一個(gè)命題是另一個(gè)命題的逆命題.【注解】（1）任何命題都有逆命題，互逆命題是成對(duì)出現(xiàn)的，是相互的.（2）寫(xiě)逆命題前必須找準(zhǔn)原命題的條件和結(jié)論，然后互換條件和結(jié)論.（3）原命題的真假性與逆命題的真假性之間沒(méi)有必然聯(lián)系，它們的真假性是孤立的.例10寫(xiě)出下列命題的逆命題.（1）如果兩個(gè)角相等，那么它們是對(duì)頂

來(lái)做.三、 互逆命題1. 互逆命題：在兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的條件是第二個(gè)命題的結(jié)論，而第一個(gè)命題的結(jié)論又是第二個(gè)命題的條件，那么這兩個(gè)命題叫作互逆命題. 其中一個(gè)命題是另一個(gè)命題的逆命題.【注解】（1） 任何命題都有逆命題，互逆命題是成對(duì)出現(xiàn)的，是相互的.（2） 寫(xiě)逆命題前必須找準(zhǔn)原命題的條件和結(jié)論，然后互換條件和結(jié)論.（3） 原命題的真假性與逆命題的真假性之間沒(méi)有必然聯(lián)系，它們的真假性是孤立的.例10 寫(xiě)出下列命題的逆命題.（1） 如果兩個(gè)角相等，

已知成立命題的逆命題如果原命題與其逆命題都正確時(shí)，其逆命題的正確性往往可以用反證法證明。例5：已知四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)，且EF=（AB+CD）。求證：AB∥CD。證明：假設(shè)AB與CD不平行（如圖1），取AC中點(diǎn)M，連ME，MF，則在△ACD與△ACB中，按中位線定理得MECD，MFAB。由于AB與CD不平行，故ME與MF不共線，構(gòu)成△MEF， 有ME+MF>EF。即CD+AB>EF。這與已知條件（AB+CD）=EF矛盾。從而證得A

p則q，則它的逆命題為：若q則p，即交換原命題的條件和結(jié)論即得其逆命題；否命題為：若？劭p則？劭q，同時(shí)否定原命題的條件和結(jié)論，即得其否命題；逆否命題為：若？劭q則？劭 p，即交換原命題的條件和結(jié)論，并且同時(shí)否定，即得其逆否題；兩個(gè)互為逆否的命題同真或同假.關(guān)鍵詞： 原命題 逆命題 否命題 逆否命題在數(shù)學(xué)中用語(yǔ)言、符號(hào)或式子表達(dá)時(shí)，可判斷真假的陳述句叫做命題，其中判斷為真的語(yǔ)句叫真命題，判斷為假的語(yǔ)句叫假命題.數(shù)學(xué)中的定義、公理、定理、公式等都是真命題.邏

兩個(gè)命題叫做互逆命題，其中一個(gè)叫做原命題，則另一個(gè)叫做原命題的逆命題.（2）如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論恰好是另一個(gè)命題的條件的否定和結(jié)論的否定，那么這兩個(gè)命題叫做互否命題，其中一個(gè)叫做另一個(gè)的否命題.（3）如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論恰好是另一個(gè)命題的結(jié)論的否定和條件的否定，那么這兩個(gè)命題叫做互為逆否命題.把其中一個(gè)叫做原命題，則另一個(gè)叫做原命題的逆否命題.一般地，用p和q分別表示原命題的條件和結(jié)論，用劭p和劭q分別表示p和q的否定.于是四種命題的形式及關(guān)系為：

確的命題，它的逆命題可能正確，也可能不正 確。例如“對(duì)頂角相等”是正確的，它的逆命題“相等的角都是對(duì)頂角”就不正確了。這是因?yàn)檫@個(gè)命題的前提“對(duì)頂角”這概念的外延與結(jié)論“相等的角”這個(gè)概念的外延不一致?！跋嗟鹊慕恰钡耐庋影恕皩?duì)頂角”的外延，反過(guò)來(lái)，“對(duì)頂角”的外延就不包含“相等的角”的外延，因此，逆命題不正確。關(guān)鍵詞：同一法中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B 文章編號(hào)：1002-7661（2014）15-322-02同一法是證題時(shí)常用的一種間接證法，

了解命題與逆命題，否命題與逆否命題的意義，會(huì)分析四種命題的相互關(guān)系；了解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”“且”“非”的含義；理解全稱量詞與存在量詞的意義；能正確地對(duì)含有一個(gè)量詞的命題進(jìn)行否定.？搖我們要會(huì)判斷含有邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”“且”“非”的命題的真假，會(huì)寫(xiě)四種命題，并會(huì)判斷四種命題的真假，以上一般以客觀題考查為主；全稱量詞、存在量詞在客觀題與大題中都有可能考查，大題中若出現(xiàn)，則一般是作為條件或結(jié)論的一個(gè)構(gòu)成部分.破解思路 由命題的否定的定義及全稱命題的否定為特稱命題可得

寫(xiě)出下列命題的逆命題、否命題與逆否命題.（1）2是最小的正偶數(shù).（2）四條邊相等的四邊形是正方形.解析 先分清命題的條件和結(jié)論，將其改寫(xiě)成“若[p]，則[q]”的形式，再寫(xiě)出它的逆命題、否命題與逆否命題.（1）原命題：若一個(gè)數(shù)是2，則這個(gè)數(shù)是最小的正偶數(shù).逆命題：若一個(gè)數(shù)是最小的正偶數(shù)，則這個(gè)數(shù)是2.否命題：若一個(gè)數(shù)不是2，則這個(gè)數(shù)不是最小的正偶數(shù).逆否命題：若一個(gè)數(shù)不是最小的正偶數(shù)，則這個(gè)數(shù)不是2.（2）原命題：若一個(gè)四邊形的四條邊相等，則它是正方形.逆

判定以及寫(xiě)出互逆命題等.初學(xué)這些問(wèn)題，同學(xué)們往往會(huì)走入誤區(qū)，犯這樣或那樣的錯(cuò)誤.本文列舉一些常見(jiàn)的錯(cuò)誤，讓我們共同分析其中的錯(cuò)誤原因，走出解題誤區(qū).一、 不能正確識(shí)別命題例1 下列語(yǔ)句中，是命題的為（ ）.A. π是無(wú)理數(shù) B. 今天天氣好嗎C. 連接A、B兩點(diǎn) D. 取線段AB的中點(diǎn)【錯(cuò)誤解答】C或D.【錯(cuò)因剖析】判斷一件事情的句子叫做命題.選項(xiàng)C和選項(xiàng)D，僅僅表示作圖的過(guò)程，不能對(duì)某件事情作出判斷.由于有的同學(xué)誤以為是陳述一件事情的句子就是命題，因而出

寫(xiě)出一個(gè)命題的逆命題.難點(diǎn)：通過(guò)對(duì)一些命題的分析進(jìn)行推理與證明.三、 理解知識(shí)要點(diǎn)（一） 定義與命題1. 對(duì)一些名稱或術(shù)語(yǔ)的含義加以描述，做出規(guī)定，就是給出它們的定義.詳解：（1） 定義必須是嚴(yán)密的，要注意避免“一些”、“大概”、“可能”、“差不多”等含糊不清的詞語(yǔ)，正確的定義要能把被定義的事物或名詞與其他的事物或名詞嚴(yán)格地區(qū)別開(kāi)來(lái).（2） 定義有不同的方式：① 詞法定義：詞法定義是描述一個(gè)詞或者一個(gè)表達(dá)的意義，一般一個(gè)詞法定義提供一個(gè)與原詞相當(dāng)?shù)谋磉_(dá).如

.其中原命題與逆命題均為真命題的個(gè)數(shù)是（ ）.A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)6. 如圖，∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E=（ ）.A. 180° B. 60° C. 40° D. 20°7. 如圖所示，把一張長(zhǎng)方形紙片沿EF折疊后，點(diǎn)D、C分別落在D′、C′的位置.若∠EFB=65°，則∠AED′等于（ ）.A. 70° B. 65° C. 50° D. 25°8. 下列命題中：（1） 過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線垂直于已知直線；（2） 經(jīng)過(guò)

所有的命題都有逆命題，因?yàn)閷⒁粋€(gè)命題視為原命題時(shí)，它的逆命題可能是一個(gè)開(kāi)語(yǔ)句，而不是命題。如：若x > 0，則x2 > 0，反之，若x2 > 0，則x > 0。這里的“若p則q”是命題，“若q則p”是開(kāi)語(yǔ)句，不是命題。因此，教科書(shū)中所定義的四種命題及其關(guān)系是不能成立的，在這里，提出來(lái)與同行朋友商榷。如：第30頁(yè)例1，根據(jù)下列命題改寫(xiě)成“若p則q”的形式，并寫(xiě)出它們的逆命題、否命題與逆否命題：（1） 負(fù)數(shù)的平方是正數(shù)；（2） 正方形的四條邊相等；例1中的（1

上述兩個(gè)命題的逆命題也成立，現(xiàn)將其敘述并證明如下.命題3 如圖1所示，已知△ABC及其內(nèi)部一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作直線與AB、AC兩邊分別交于M、N兩點(diǎn)，且〢M=x〢B證明：∵M(jìn)、N、P三點(diǎn)共線(A不在直線MN上)，∴〢P=μ1〢M+μ2〢N=μ1x〢B+μ2y〢C擼(且μ1+μ2=1) ①=0.故命題成立.命題4 如圖2所示，已知三棱錐ABCD及其內(nèi)部一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作平面與AB、AC、AD三邊分別交于M、N、K三點(diǎn)，且故命題成立.顯然，由上述命題及證明可以得到如

§11．4“互逆命題”．上 課期間教師向?qū)W生提出了一組命題，要求學(xué)生說(shuō)出這些命題的逆命題．這些命題中有一條就是本文標(biāo)題提及的“正方形的4個(gè)角是直角”．稍作沉思后，有學(xué)生回答說(shuō)：這個(gè)命題的逆命題是“直角是正方形的4個(gè)角”．由于學(xué)生的回答不是老師預(yù)期的，所以主講老師走向黑板畫(huà)了一個(gè)正方形，并用“已知”和“求證”的形式寫(xiě)下了上述命題，最后，就得出了“如果一個(gè)四邊形的4個(gè)角都是直角，那么這個(gè)四邊形是正方形”的正確結(jié)論(這也是教參上的標(biāo)準(zhǔn)答案)．事后，據(jù)筆者觀察，相

題成立，但它的逆命題不成立，那么我們就說(shuō)原命題的條件是充分但不必要的，即原命題的條件是它結(jié)論的充分非必要條件.如函數(shù)y=f（x）在x０點(diǎn)處可導(dǎo)是函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x０處連續(xù)的充分不必要條件.必要條件：就是如果q成立，那么p成立，即q?圯p，那么就說(shuō)p是q的必要條件.如果原命題不成立，而它的逆命題成立，那么我們就說(shuō)原命題的條件是必要但不充分的，即原命題的條件是它結(jié)論的必要非充分條件.如若函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x０點(diǎn)處可導(dǎo)，且f（x０）為極值，則f′（x０）=

.2. （1）逆命題成立.（2）逆命題不成立.（3）逆命題不成立.（4）逆命題成立.3. 正北方.習(xí)題18.22. （1）、（3）的逆命題成立，（2）、（4）的逆命題不成立.3. 向北或向南.4. 對(duì).因?yàn)閍2+b2=c2（證明略）.可將m=2，3，4等代入.5. 可由勾股定理的逆定理證得∠ADC=90°.故可得AC=13 cm.6. 都是.復(fù)習(xí)題183. 塑料薄膜面積為d.注意，此題應(yīng)取過(guò)剩近似值.4. 是.可設(shè)三邊長(zhǎng)為k，k，2k，k>0.5. （1）