基于響應(yīng)面法的數(shù)控銑床立柱多目標(biāo)優(yōu)化

鄭 彬，張敬東

（攀枝花學(xué)院交通與汽車(chē)工程學(xué)院，四川 攀枝花 617000）

1 引言

立柱是數(shù)控銑床的重要支承部件之一，其結(jié)構(gòu)性能對(duì)銑床的加工質(zhì)量具有較大影響，主要包括抗振性、銑削精度和效率以及使用壽命等。因此，立柱的靜動(dòng)態(tài)特性決定數(shù)控銑床整機(jī)性能的重要指標(biāo)之一。為確保數(shù)控機(jī)床實(shí)現(xiàn)高速、高效和高精度的設(shè)計(jì)要求，立柱必須具備較好的力學(xué)性能，其結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)是以提高抗振和減輕重量為目的的多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題。

國(guó)內(nèi)外很多學(xué)者都對(duì)立柱進(jìn)行過(guò)相關(guān)的研究。文獻(xiàn)[1]通過(guò)模態(tài)分析找出某復(fù)合加工機(jī)床立柱的薄弱之處，通過(guò)對(duì)立柱尺寸參數(shù)進(jìn)行靈敏度分析并建立神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，使用遺傳算法對(duì)其進(jìn)行優(yōu)化。文獻(xiàn)[2]基于中心復(fù)合試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法，建立了機(jī)床的最大變形、質(zhì)量和一階固有頻率的響應(yīng)面模型，采用非支配排序遺傳算法對(duì)響應(yīng)面模型進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化。文獻(xiàn)[3]以某落地鏜銑床立柱為研究對(duì)象，通過(guò)對(duì)其進(jìn)行模態(tài)分析，得到立柱的振動(dòng)特性，在不改變立柱主體結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化，提高了立柱的第一階固有頻率。文獻(xiàn)[4]針對(duì)某臥式加工中心的立柱，對(duì)立柱筋板形式加以改進(jìn)，以提高主機(jī)動(dòng)態(tài)剛度并減輕立柱質(zhì)量。文獻(xiàn)[5]針對(duì)某數(shù)控銑齒機(jī)床的立柱，通過(guò)采用不同的筋板厚度及布置方式，以減輕立柱重量為優(yōu)化目標(biāo)，進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)，最終使立柱減輕1.68t。以某數(shù)控銑床立柱為研究對(duì)象，借助于有限元分析軟件ANSYS對(duì)立柱進(jìn)行靜動(dòng)態(tài)特性分析，確定立柱薄弱環(huán)節(jié)。將立柱的第一階固有頻率、重量和最大變形定義為優(yōu)化目標(biāo)，在靈敏度與響應(yīng)面分析的基礎(chǔ)上，采用多目標(biāo)優(yōu)化算法對(duì)立柱的各設(shè)計(jì)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，從而提高立柱靜動(dòng)態(tài)特性，為機(jī)床結(jié)構(gòu)優(yōu)化提供了一種新思路。

2 立柱靜動(dòng)態(tài)特性分析

2.1 立柱幾何結(jié)構(gòu)

立柱內(nèi)部采用主筋、筋板和主筋板裙邊結(jié)構(gòu)，底部左右兩側(cè)分別有4個(gè)M22的螺栓與床身相連接。立柱正面有若干型號(hào)不同的螺紋孔，以便于安裝和固定導(dǎo)軌、絲桿和絲桿螺母等部件，利用SolidWorks軟件建立的立柱三維模型，如圖1所示。

圖1 立柱三維模型Fig.1 Three Dimensional Model of Column

2.2 立柱靜力學(xué)分析

使用SolidWorks建立的立柱三維模型，包括了大量的螺紋孔、圓角和倒角等特征，但這些特征對(duì)立柱的靜動(dòng)態(tài)特性影響較小，忽略這些局部特征后，再導(dǎo)入至ANSYS[6]。對(duì)立柱進(jìn)行網(wǎng)格劃分時(shí)，采用四面體單元對(duì)立柱進(jìn)行自由網(wǎng)格劃分。立柱所使用的材料是灰鑄鐵HT300，密度為7300kg/m3，彈性模量130GPa，泊松比0.25。立柱的載荷包括：立柱自重、頂部橫梁重量和主軸箱重量。立柱底部通過(guò)螺紋孔與床身相連接，將其設(shè)定為固定約束。最后進(jìn)行有限元運(yùn)算求解，其靜力學(xué)分析結(jié)果，如圖2所示。

圖2 立柱靜力學(xué)分析結(jié)果Fig.2 Static Analysis Results of Column

由圖2可知立柱的最大變形量為33.66μm，最大應(yīng)力值為7.65MPa。立柱最大變形主要集中在立柱頂部與橫梁相連接的部位，應(yīng)力主要集中在底部支撐面和導(dǎo)軌安裝面，并且立柱變形較大，對(duì)立柱優(yōu)化時(shí)，需減少立柱的靜態(tài)變形量。

2.3 立柱模態(tài)分析

使用ANSYS對(duì)立柱進(jìn)行模態(tài)分析時(shí)，采用Block Lanczos（分塊蘭索斯）方法。立柱模態(tài)分析的約束條件和靜力學(xué)分析時(shí)的約束條件一致，即將立柱底部螺紋孔設(shè)定為固定約束[7]。對(duì)其進(jìn)行模態(tài)分析，提取立柱前六階模態(tài)，其振型和各階固有頻率見(jiàn)，如表1所示。根據(jù)立柱的振型圖和模態(tài)分析結(jié)果可知：立柱中間部位與外圍圓周面是剛度較弱區(qū)域，多階振型均在這些地方表現(xiàn)出最大振型。立柱的第一階固有頻率較低，因此需對(duì)立柱結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化，以提高其固有頻率改善其動(dòng)態(tài)特性。

表1 立柱前6階固有頻率及振型描述Tab.1 First Six Order Natural Frequencies and Vibration Description of Column

3 立柱響應(yīng)面建模

響應(yīng)面設(shè)計(jì)方法是優(yōu)化產(chǎn)品或工藝設(shè)計(jì)的一種方法，由文獻(xiàn)[8-9]提出。其思想為：在確定輸入輸出變量的基礎(chǔ)上，基于數(shù)學(xué)多項(xiàng)式作為基函數(shù)采用最小二乘回歸法來(lái)得到輸入變量和輸出變量的映像關(guān)系，具有較好的可導(dǎo)性和良好的連續(xù)性，易尋優(yōu)并且可采用常規(guī)數(shù)學(xué)優(yōu)化方法進(jìn)行求解。為構(gòu)造立柱響應(yīng)面模型，首先確定立柱的設(shè)計(jì)參數(shù)和輸出參數(shù)，選擇合理的試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法，進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計(jì)和靈敏度分析，從而構(gòu)造出立柱的響應(yīng)面模型[10]。

3.1 確定立柱設(shè)計(jì)參數(shù)

立柱主要由支撐主筋和厚度不等的主筋板和主筋板裙邊組成，包括的尺寸參數(shù)較多，內(nèi)部肋板結(jié)構(gòu)復(fù)雜。結(jié)合機(jī)床設(shè)計(jì)人員建議，選取下述5個(gè)尺寸參數(shù)作為設(shè)計(jì)參數(shù)，如圖3所示。其初始值，如表2所示。在不改變立柱原結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，基于機(jī)床設(shè)計(jì)指標(biāo)，將上述設(shè)計(jì)參數(shù)的變化范圍約定，如表2所示。

圖3 立柱設(shè)計(jì)參數(shù)圖Fig.3 Graphic of Column Design Parameters

表2 立柱設(shè)計(jì)參數(shù)（單位：mm）Tab.2 Design Parameters of Column（unit：mm）

3.2 DOE試驗(yàn)設(shè)計(jì)

對(duì)立柱的5個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計(jì)時(shí)，采用Box-Behnken試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法，共有5個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)，因此樣本點(diǎn)總數(shù)為41個(gè)。對(duì)立柱在初始設(shè)計(jì)條件下進(jìn)行靜力學(xué)分析和模態(tài)分析，將立柱的重量y1、靜態(tài)最大變形量y2和第一階固有頻率y3定義為輸出參數(shù)。進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計(jì)后，需確定各設(shè)計(jì)變量對(duì)輸出參數(shù)的影響程度，進(jìn)而確定優(yōu)化參數(shù)。采用靈敏度分析，可以確定各設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)輸出參數(shù)的影響程度，從而選出靈敏度高的設(shè)計(jì)參數(shù)，忽略靈敏低的設(shè)計(jì)參數(shù)，提高分析效率，減少計(jì)算時(shí)間。將上述五個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)立柱重量、最大變形和第一階固有頻率進(jìn)行靈敏度分析，其分析結(jié)果，如圖4所示。

圖4 立柱重量、最大變形和第一階固有頻率靈敏度圖Fig.4 Sensitivity Graphic of Mass and Maximum Deformation and First Natural Frequency of Column

在圖4中，當(dāng)靈敏度為正值時(shí)，表示隨著設(shè)計(jì)參數(shù)的增加，輸出參數(shù)將增加；當(dāng)靈敏度為負(fù)值時(shí)，表示隨著設(shè)計(jì)參數(shù)的增加，輸出參數(shù)將減小。由圖4可知各設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)立柱的重量、最大變形和第一階固有頻率均具有較大影響，參數(shù)合適，不需要忽略任何參數(shù)。因此將上述五個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)均作為優(yōu)化參數(shù)進(jìn)行尺寸優(yōu)化。

3.3 立柱響應(yīng)面模型分析

考慮到共有五個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)，在建立響應(yīng)面模型時(shí)，直接采用二次響應(yīng)面模型，并考慮所有的二次項(xiàng)、一次項(xiàng)和各因素之間的交互作用[11]。在二次回歸分析中采用后退法忽略影響不顯著的設(shè)計(jì)參數(shù)和交互作用進(jìn)行刪除。所建立的二次響應(yīng)面模型如式（1）、式（2）和式（3）所示。其中式（1）為設(shè)計(jì)參數(shù)與立柱重量的響應(yīng)面模型；式（2）為設(shè)計(jì)參數(shù)與立柱最大變形的響應(yīng)面模型；式（3）為設(shè)計(jì)參數(shù)與立柱第一階固有頻率的響應(yīng)面模型。

構(gòu)建響應(yīng)面模型后，即可進(jìn)行響應(yīng)面分析，所建立的響應(yīng)曲面如圖5所示。其中，設(shè)計(jì)參數(shù)x2和x5對(duì)重量的響應(yīng)曲面，如圖5（a）所示。設(shè)計(jì)參數(shù)x1和x4對(duì)最大變形的響應(yīng)曲面，如圖5（b）所示。設(shè)計(jì)參數(shù)x3和x4對(duì)第一階固有頻率的響應(yīng)曲面，如圖5（c）所示。由圖5可知，對(duì)立柱進(jìn)行優(yōu)化，需綜合考慮各設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)立柱性能的影響程度，使立柱性能達(dá)到最佳。

圖5 立柱重量、最大變形和第一階固有頻率響應(yīng)曲面Fig.5 Response Surface of Mass and Maximum Deformation and First Natural Frequency of Column

4 立柱優(yōu)化設(shè)計(jì)

4.1 立柱多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型

當(dāng)前，用于結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)的主要方法是數(shù)學(xué)規(guī)劃求解法。針對(duì)立柱優(yōu)化問(wèn)題，可采用下式表示：

求設(shè)計(jì)變量：

式中：x—設(shè)計(jì)變量；i—設(shè)計(jì)變量個(gè)數(shù)；min—求最小值；s.t.—subjectto的縮寫(xiě)，即約束于；f（x）—目標(biāo)函數(shù)；x—設(shè)計(jì)變量下限；—設(shè)計(jì)變量上限。

其中，

X=［x1，x2，x3，x4，x5］T為立柱五個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)，其含義見(jiàn)表3。

fm（xi）=y1指對(duì)五個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化求解，使立柱重量最小化。

fd（xi）=y2指對(duì)五個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化求解，使立柱最大變形量最小化。

ff（xi）=y3指對(duì)五個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化求解，使立柱第一階固有頻率最大化。

4.2 基于遺傳算法的多目標(biāo)優(yōu)化

以立柱重量最小化、最大變形量最小化和第一階固有頻率最大化為優(yōu)化目標(biāo)，采用多目標(biāo)遺傳算法進(jìn)行求解。通過(guò)多目標(biāo)遺傳算法與帕累托法則進(jìn)行計(jì)算后，獲取一系列優(yōu)化候選點(diǎn)，如表3所示。

表3 五組最佳候選點(diǎn)Tab.3 Five Best Candidates

由表3可知：第2組優(yōu)化候選點(diǎn)在重量上大幅減小，第一階固有頻率明顯提高，靜態(tài)變形量也適當(dāng)減小。故綜合考慮，選擇第2組優(yōu)化候選點(diǎn)為最優(yōu)設(shè)計(jì)點(diǎn)。最終的優(yōu)化結(jié)果如下：對(duì)立柱結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化后，重量從最初的545.61kg減少至490.95kg，減幅11.1%。優(yōu)化后立柱最大變形為31.61μm，原立柱最大變形為33.66μm，經(jīng)優(yōu)化后立柱最大變形量減幅6.5%。優(yōu)化后立柱第一階固有頻率分別為86.38Hz，而原結(jié)構(gòu)分別為75.77Hz，優(yōu)化后立柱第一階固有頻率增加了14%。

5 結(jié)論

（1）以某數(shù)控銑床立柱為研究對(duì)象，進(jìn)行靜力學(xué)與模態(tài)分析，得到立柱的最大變形云圖、應(yīng)力云圖及前六階固有頻率及振型，找出立柱的薄弱環(huán)節(jié)，為立柱結(jié)構(gòu)優(yōu)化提供依據(jù)。

（2）對(duì)立柱主筋半徑、筋板厚度和壁厚等進(jìn)行Box-Behnken試驗(yàn)設(shè)計(jì)與靈敏度分析，研究了各設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)立柱重量、最大變形和第一階固有頻率的影響程度，并建立其響應(yīng)面模型。

（3）以降低立柱最大變形、減重和提高第一階固有頻率為優(yōu)化目標(biāo)，采用多目標(biāo)優(yōu)化算法對(duì)立柱設(shè)計(jì)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化并得到最優(yōu)解。結(jié)合機(jī)床生產(chǎn)工藝及制造條件選擇一組最優(yōu)解，優(yōu)化效果明顯。為機(jī)床的功能部件或整機(jī)優(yōu)化提供了一個(gè)參考方案。