共線向量題型例析

■賀顯孟

共線向量也叫平行向量。利用共線向量可以證明三點共線、求參數(shù)的值或參數(shù)的范圍、求點的坐標(biāo)、求向量的坐標(biāo)以及解決與三角函數(shù)有關(guān)的問題。下面舉例分析，供大家學(xué)習(xí)與參考。

題型一：利用共線向量的概念判斷命題的真假

例1 給出下列命題：

①有向線段就是向量，向量就是有向線段；②向量a與向量b平行，則a與b的方向相同或相反；③向量與向量共線，則A，B，C，D四點共線；④如果a∥b，b∥c，那么a∥c；⑤兩個具有公共終點的向量，一定是共線向量。

以上命題中正確的個數(shù)為( )。

A.1 B.2

C.3 D .0

解：向量可以用有向線段表示，但向量不是有向線段，有向線段也不是向量，①不正確。若向量a與b中有一個為零向量，零向量的方向是不確定的，則a與b的方向不一定相同或不一定相反，②不正確。共線向量所在的直線可以重合，也可以平行，③不正確。如果b=0，則a與c不一定平行，④不正確。兩向量共線要看其方向而不是起點或終點，⑤不正確。應(yīng)選D。

小結(jié)：方向相同或相反的非零向量，叫作共線向量或平行向量，規(guī)定：0與任一向量共線。相等向量不僅模相等，而且方向也相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量。

題型二：利用共線向量證明三點共線

例2 已知非零向量e1，e2不共線。如果e2)。求證：A，B，D三點共線。

證明：因為所以向量與共線。又向量與有公共點B，所以A，B，D三點共線。

小結(jié)：證明三點共線，可利用向量共線來解決，但應(yīng)注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩個向量共線且有公共點時，才能得到三點共線。

題型三：利用向量共線求參數(shù)的值

例3 (1)已知a與-b是兩個不共線的向量，且向量a+λ b與-(b-3a)共線，則λ的值為____。

(2)已知點A(-1，1)，點B(2，y)，向量a=(1，2)，若，則實數(shù)y的值為____。

(3)設(shè)向量a=(m，2)，b=(1，m+1)，且a與b的方向相反，則實數(shù)m的值為____。

解：(1)因為a+λ b與-(b-3a)共線，所以存在實數(shù)μ，使得a+λ b=μ(3a-b)。由此可得

(3)因為向量a∥b，所以m(m+1)=2×1，解得m=-2或m=1。當(dāng)m=1時，a=(1，2)，b=(1，2)，a與b的方向相同，舍去；當(dāng)m=-2時，a=(-2，2)，b=(1，-1)，a與b的方向相反，符合題意。

故實數(shù)m=-2。

小結(jié)：設(shè)向量a=(x1，y1)，向量b=(x2，y2)，則a∥b?a=λ b(b≠0，λ∈R)；a∥b?x1y2-x2y1=0。

題型四：利用向量共線求參數(shù)的范圍

例4 如圖1所示，A，B，C是圓O上的三點，C O的延長線與線段B A的延長線交于圓O外一點D，若，則m+n的取值范圍是( )。

A.(0，1)

B.(1，+∞)

C.(-∞，-1)

D.(-1，0)

解：由點D是圓O外一點，可設(shè)0)，則

圖1

由C，O，D三點共線，令1)，可得由上可得，所以m+n=應(yīng)選D。

小結(jié)：A，P，B三點共線為平面內(nèi)異于A，P，B的任一點，t為平面內(nèi)異于A，P，B的任一點，x∈R，y∈R，x+y=1)。

題型五：利用向量共線求點的坐標(biāo)

例5 如圖2所示，已知點A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，試利用向量方法求線段A C與O B的交點P的坐標(biāo)。

圖2

解：設(shè)

因為與共線，所以(4t-4)×6-4t×(-2)=0，解得

小結(jié)：向量a(a≠0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)存在唯一的實數(shù)λ，使得b=λ a。若向量a=(x1，y1)與b=(x2，y2)共線，則x1y2-x2y1=0。

題型六：利用向量共線求向量的坐標(biāo)

例6 (1)已知點A(1，3)，B(4，-1)，則與向量同方向的單位向量是____。

(2)若平面向量a，b滿足|a+b|=1，a+b平行于x軸，向量b=(2，-1)，則向量a=____。

解：(1)由=(4-1，-1-3)=(3，-4)，可得|，所以與向量同方向的單位向量為

(2)設(shè)向量a=(x，y)。由b=(2，-1)，可得a+b=(x+2，y-1)。

因為向量a+b平行于x軸，所以y-1=0，即y=1。故向量a+b=(x+2，0)。

又因為|a+b|=1，所以|x+2|=1，可得x=-1或x=-3。

故向量a=(-1，1)或a=(-3，1)。

小結(jié)：單位向量是長度(或模)等于1個單位的向量。向量坐標(biāo)的求法：①若向量的起點是坐標(biāo)原點，則終點坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)；②設(shè)點A(x1，y1)，點B(x2，y2)，則向量，向 量的長度

題型七：利用共線向量解決與三角函數(shù)有關(guān)的問題

例7 已知向量a=(1-sinθ，1)，b=，若向量a∥b，則銳角θ等于( )。

A.30° B.45°

C.60° D.75°

解：由向量a∥b，可得(1-sinθ)(1+，解得又因為θ為銳角，所以θ=45°。應(yīng)選B。

小結(jié)：平面向量作為高考的必考內(nèi)容，一直受到命題者的青睞，尤其是平面向量與三角函數(shù)有關(guān)的問題是高考的常見考點，這類問題應(yīng)該引起同學(xué)們的重視。