橢圓模型在共點(diǎn)力動(dòng)態(tài)分析中的應(yīng)用

曹 盼

(延安市安塞區(qū)高級(jí)中學(xué)，陜西 延安 717400)

共點(diǎn)力的動(dòng)態(tài)分析是高考的一個(gè)熱點(diǎn),通常有函數(shù)和圖解兩種方法．函數(shù)法最常規(guī),不過(guò)有時(shí)推導(dǎo)過(guò)程和單調(diào)性分析比較復(fù)雜;圖解法比較流行,具有快速直觀獲得結(jié)果的優(yōu)點(diǎn),其巧妙性往往給人以耳目一新的感覺(jué)．力的矢量合成圖解構(gòu)型從直角三角形、相似三角形到圓,近幾年橢圓又頻頻出現(xiàn),幾何在物理中的應(yīng)用越來(lái)越廣泛．本文以3道高考真題和一道東北聯(lián)考題為例,先引入橢圓的一條光學(xué)性質(zhì),然后利用橢圓及其輔助圓求解共點(diǎn)力的動(dòng)態(tài)分析問(wèn)題．

1 橢圓的一條光學(xué)性質(zhì)及其證明

圖1

文獻(xiàn)[1]直接用到了橢圓的一條光學(xué)性質(zhì):過(guò)橢圓任意一點(diǎn)作切線,其法線一定平分該切點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連線的夾角．結(jié)合光的反射定律,可知從一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)橢圓的內(nèi)表面反射必過(guò)另一個(gè)焦點(diǎn)．考慮到物理的溯源傳統(tǒng)和證明方法的啟發(fā)性,這里給出該性質(zhì)的一種證明．如圖1,在橢圓中將F1P延長(zhǎng)PF2的長(zhǎng)度到Q,則F1Q=2a．以F1為圓心、2a為半徑做一個(gè)輔助圓．連接F2Q交橢圓的切線PK于K點(diǎn),為了證明Q是F2關(guān)于切線的像點(diǎn),只要證明F2Q⊥PK結(jié)合PF2=PQ就能得到△PF2K≌△PQK．

kk′=-1.

(1)

根據(jù)P的坐標(biāo)可知

代入(1)式有

兩邊平方結(jié)合c2=a2-b2得

b2x02+a2y02=a2b2,

圖2

2 橢圓在共點(diǎn)力動(dòng)態(tài)分析問(wèn)題中的應(yīng)用舉例

圖3

例1.(2018年浙江省高考題)如圖3所示,一根繩的兩端分別固定在兩座猴山的A、B處,A、B兩點(diǎn)水平距離為16 m,豎直距離為2 m,A、B間繩長(zhǎng)為20 m．質(zhì)量為10 kg的猴子抓住套在繩上的滑環(huán)從A處滑到B處．以A點(diǎn)所在水平面為參考平面,猴子在滑行過(guò)程中重力勢(shì)能最小值約為(繩處于拉直狀態(tài))

(A) -1.2×103J. (B) -7.5×102J.

(C) -6.0×102J. (D) -2.0×102J.

圖4

解析:忽略滑環(huán)受到的摩擦,小猴子在下落過(guò)程中只有動(dòng)能和重力勢(shì)能相互轉(zhuǎn)化,其機(jī)械能守恒．當(dāng)重力勢(shì)能最小時(shí),猴子的動(dòng)能最大,此時(shí)猴子受到繩兩端的拉力在水平切線PK上合力為0,記AP和BK的延長(zhǎng)線交于Q．由于繩子兩端拉力(張力)相等,因此合力方向平分∠BPA并垂直于切線,由平行線關(guān)系易得∠PQK=∠PBK,如圖4,容易證明△PQK≌△PBK．

圖5

思考:解析中利用能量轉(zhuǎn)化的模糊說(shuō)法說(shuō)明機(jī)械能守恒,能否從做功的角度做出判斷?小猴子到A、B兩點(diǎn)之間的距離等于繩長(zhǎng),其運(yùn)動(dòng)軌跡是一個(gè)以A、B為焦點(diǎn)的橢圓,如圖5．由于繩兩端的拉力相等,其合力必定在∠BPA的平分線上,根據(jù)前文橢圓的光學(xué)性質(zhì),沿BP的光線反射后一定沿PA方向,其法線與橢圓的切線垂直,因此繩兩端拉力的合力與切線(速度方向)始終垂直(不限于最低點(diǎn)),繩子的拉力對(duì)小猴子不做功,小猴子的機(jī)械能守恒,是一個(gè)動(dòng)態(tài)不平衡的過(guò)程．

例1.(多選)(2018年?yáng)|北三省四市名校聯(lián)考)如圖6所示,兩根輕繩一端系于結(jié)點(diǎn)O,另一端分別系于固定圓環(huán)上的A、B兩點(diǎn),O點(diǎn)下面懸掛一質(zhì)量為m的物體,繩OA水平,拉力大小為F1,繩OB與OA夾角α=120°,繩OB拉力大小為F2,將兩繩同時(shí)緩慢順時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)75°,并保持兩繩之間的夾角α始終不變且物體始終保持靜止．則在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,下列說(shuō)法中正確的是

圖6

(A)F1逐漸增大.

(B)F1先增大后減小.

(C)F2逐漸減小.

(D)F2先增大后減小.

解析:本題是動(dòng)態(tài)平衡問(wèn)題,設(shè)OA與水平方向(向左為正)的夾角為θ,隨著θ的增大,兩繩拉力的大小和方向都在變化,可用函數(shù)的方法求解,這里嘗試?yán)脠D解法．注意到兩繩夾角等于120°,如果兩力大小相等,其合力大小必等于這個(gè)相等的值F、方向平分∠AOB．這樣就可以把兩繩拉力的合力等效成沿平分線上的F和多出來(lái)的部分ΔF,從而轉(zhuǎn)化成一個(gè)F、ΔF和重力G的3力平衡問(wèn)題,力的矢量合成三角形如圖7(a).

圖7

當(dāng)θ<30°時(shí),由圖7(a)知F2>F1且F2=F1+ΔF．隨著θ的增大,F和 ΔF的夾角不變,其對(duì)邊mg大小不變;夾角不變很容易使人想到圓的一條弦對(duì)應(yīng)的圓周角不變,F2為兩邊之和又使人想到橢圓模型,綜合考慮,前文橢圓的輔助圓是一個(gè)嘗試的方向．將F延長(zhǎng)ΔF的長(zhǎng)度,剛好得到F2(F+ΔF),如圖7(b)．利用易化物理軟件[2-3]作出力的動(dòng)態(tài)矢量三角形,如圖8(a)．

當(dāng)30°<θ<75°時(shí),由圖8(b)知F2

(a)

(b)

思考:根據(jù)經(jīng)驗(yàn)?zāi)苡脠A分析的動(dòng)態(tài)平衡問(wèn)題往往函數(shù)法也不難．觀察圖8發(fā)現(xiàn)兩繩的拉力可由輔助圓的半徑結(jié)合三角函數(shù)直接得出,如圖9(a)、圖9(b)．

圖9

圖10

(A)MN上的張力逐漸增大.

(B)MN上的張力先增大后減小.

(C)OM上的張力逐漸增大.

(D)OM上的張力先增大后減小.

圖11 圖12

由圖12容易看出,隨著θ增大,FMN(虛線)逐漸增大(不超過(guò)直徑),FOM(實(shí)線)先增大(到直徑)后減小,選項(xiàng)(A)、(D)正確．根據(jù)前面的經(jīng)驗(yàn),能用圓分析的動(dòng)態(tài)平衡問(wèn)題函數(shù)法也不難．實(shí)際上,在力的矢量三角形中,已知兩個(gè)角度和一條邊,可以嘗試?yán)谜叶ɡ砬蠼猓?/p>

3 結(jié)束語(yǔ)

在共點(diǎn)力的動(dòng)態(tài)分析問(wèn)題中充分利用可變因素的特殊性(如力的大小相等、夾角不變和120°等等)構(gòu)造橢圓或輔助圓,既有利于直觀地求解問(wèn)題,又能為函數(shù)法提供思路,從而能夠開(kāi)闊學(xué)生的思維．