機械能守恒定律服從力學相對性原理

林輝慶

(杭州市余杭高級中學，浙江 杭州 311100)

1 關于機械能守恒定律是否協(xié)變的疑問

機械能守恒定律是否服從力學相對性原理，是大學物理教學與中學物理教學反復討論的問題，近來，又有幾種中學物理教學雜志發(fā)表了對這個問題的討論文章．[1-3]這些文章基本上都圍繞如下三個具體的例子進行討論．

例1．如圖1，小車在水平地面上勻速運動，小球在彈簧彈力作用下在車內(nèi)的光滑水平桌面上運動．以小車為慣性系，小球和彈簧的機械能守恒；以地面為慣性系，小球和彈簧的機械能不守恒．

例2．如圖2，小球在勻速向下運動的升降機中靜止開始下落．以升降機和地面為慣性系，小球的機械能都守恒．

圖1 小球的彈簧作用下運動

例3．如圖3，小車沿水平地面勻速運動，物塊在車內(nèi)的光滑斜面頂端靜止開始下滑．以小車為慣性系，物塊的機械能守恒，以地面為慣性系，物塊的機械能不守恒．

圖3 滑塊沿斜面下滑

例1和例3中，研究對象對一個慣性系機械能守恒，對另一個慣性系機械能不守恒；而例2中，研究對象對兩個不同的慣性系機械能都守恒．于是，人們提出了機械能守恒定律是否服從力學相對性原理的問題．不同的文章對此作出了不同的回答．[1-2]

綜觀這些文章，有些只局限于對如上之類具體例子的分析或推算，從而迷失于具體現(xiàn)象中的非本質(zhì)因素而不能得出正確的結論，如文獻[3]，或者所得結論不具有普遍性，如文獻[1]；有些文章只從理論上論證了機械能守恒定律符合力學相對性原理，而沒有對如上之類具體例子作出合理的解釋，如文獻[4]．因此，這些文章都沒有徹底地令人信服地解決機械能守恒定律是否滿足力學相對性原理這一問題．下面先從理論上論證機械能守恒定律對不同慣性系是協(xié)變的，然后研究將它應用于包含大質(zhì)量物體的保守系的特殊性，在此基礎上對上述3個具體例子作出解釋．

2 機械能守恒定律服從力學相對性原理

機械能守恒定律是物體系功能原理的特例，功能原理是牛頓運動定律的推論．牛頓運動定律服從力學相對性原理，作為其推論，功能原理和機械能守恒定律自然滿足力學相對性原理．不過，為了解答由具體問題產(chǎn)生的疑問，我們有必要簡要回顧從牛頓運動定律推出機械能守恒定律的過程，以強調(diào)容易引起誤解的概念．

2.1 動能定理及其協(xié)變性

動能變化

dW′ =dEk′．

一般地有Ek′≠Ek，dW′ ≠dW，表示動能和功與參考系有關，具有相對性．dW′ =dEk′表示動能定理在參考系S′ 中同樣成立，即動能定理對不同的慣性系是協(xié)變的．

2.2 勢能及其共有性和不變性

2.2.1 一對相互作用力作功與參考系無關

圖4 兩個相互作用的物體

如圖4所示，物體1、2間存在相互作用力F、F′，F(xiàn)=-F′．在dt時間兩物體的位移分別為dr1、dr2，F(xiàn)、F′對它們作的功分別為dW1=F·dr1和dW2=F′·dr2=-F·dr2．F、F′作的總功為

dW=F·dr1-F·dr2=F·d(r1-r2)=F·dr12．

式中dr12是物體1相對物體2的位移，與參考系無關．所以一對相互作用力作的總功與參考系無關．

2.2.2 勢能的共有性和不變性

勢能與保守力相聯(lián)系．保守力定義為具有如下特點的力：作功只與物體的始、末位置有關而與移動路徑無關，或者對沿任何路徑回到出發(fā)點的物體作功為0．

各種中學物理教科書[5]和常見的大學物理教材，[6]都從力作用的相互性直接指出勢能是相互作用的物體系統(tǒng)所共有的，而不是某一個物體單獨具有的．下面再從保守力的定義出發(fā)嚴格地證明這一點，以更深刻地理解勢能的這一本質(zhì)特征．

在保守力的定義中，“物體的始、末位置”和“沿任何路徑回到出發(fā)點”，都是對于某個參考系而言的．在圖4的參考系S中，相互作用的物體1和2均有速度．設想物體1離開原來的位置移到另一點，然后沿原路返回，由于物體2的運動，物體1前后兩次經(jīng)過路徑上的同一點，受到的力F一般并不相同，因此返回階段與離開階段F作的功并非相反數(shù)，整個過程F作功不等于0．對物體2也有相同的結論．也許有人會提出一個反例：當作用力的大小和方向與物體間的距離無關時，每個物體在任一參考系中沿任何路徑回到出發(fā)點，作用力作功均為零．但這種情況并非真實存在．我們認為物體在地球附近各處受到的重力大小和方向都相同，這是在物體的運動范圍遠小于它到地心的距離這一條件下的近似．因此，在相互作用的兩個物體都運動的參考系中，對任一單個物體，都不存在保守力與勢能的概念．

只有以相互作用的兩個物體中的一個為參考系，另一個物體的受力只與位置有關與時間無關，作用力作功才可能只與始末位置有關與路徑無關．如果某種相互作用具有這樣的性質(zhì)，由于一對相互作用力作功之和與參考系無關，那么，在任何其他參考系中，這對相互作用力作功之和都只與物體間的始末相對位置有關，與運動過程無關．對這樣的物體系統(tǒng)，才有保守力和勢能概念，所以勢能是相互作用的物體系統(tǒng)所共有的．

物體系的勢能變化與一對相互作用的保守力作功的關系是

F·dr12= -dEp或F′·dr12=-dEp．

物體系的勢能變化與參考系無關，這就是勢能的不變性．

2.3 機械能守恒定律及其協(xié)變性

物體系中所有物體的動能和物體間的勢能之和，叫作物體系的機械能．

2.3.1 機械能守恒定律及其研究對象

為了表述方便，下面以圖4中的物體1、2組成的物體系為例研究機械能的變化規(guī)律，其結論很容易推廣到更多物體組成的物體系．

物體系中各物體受到的外力及其作的功用下標“外”標記；保守內(nèi)力和非保守內(nèi)力及其作的功分別用下標“內(nèi)?！焙汀皟?nèi)非”標記．在慣性系S中，對物體1和2分別列出動能定理

F1外·dr1+F內(nèi)非·dr1+F內(nèi)?！r1=dEk1，

F2外·dr2-F內(nèi)非·dr2-F內(nèi)保·dr2=dEk2．

將兩式兩邊分別相加，注意到F1外·dr1+F2外·dr2=dW外，F(xiàn)內(nèi)非·dr12=dW內(nèi)非，F(xiàn)內(nèi)?！r12=-dEp，Ek1+Ek2=Ek，得到

dW外+dW內(nèi)非=dEk+dEp=d(Ek+Ep)．

這就是對于物體系的功能原理．

dW內(nèi)非=0的物體系稱為保守系．如果還有dW外=0，就有

d(Ek+Ep)=0 或Ek+Ep=常量．

這就得到了機械能守恒定律：如果外力對保守系作的功等于零，則保守系的機械能保持不變．

需要強調(diào)，機械能中的勢能是相互作用的物體系所共有的，因此，機械能守恒定律的研究對象是相互之間存在保守力作用的物體系．

2.3.2 機械能守恒的相對性

在相對于慣性系S以速度v0運動的慣性系S′中，外力對物體系作的功為

可見在一般情況下，外力對物體系作的功與慣性系的選擇有關，在某個慣性系中外力作功等于零，物體系的機械能守恒，在另一個慣性系中外力作功不等于零，機械能就不守恒．所以，物體系的機械能是否守恒具有相對性．除非在一些特殊的情況下，例如物體系不受外力作用或外力的矢量和等于零，有dW外′=dW外，這時，物體系在一個慣性系中機械能守恒(不守恒)，那么在其他慣性系中機械能也守恒(不守恒)．本文開頭的三個例子都屬于這種情況．

2.3.3 機械能守恒定律的協(xié)變性

對不同的慣性系，動能定理具有協(xié)變性，一對保守力作功和勢能的變化具有不變性，因此，由它們推出的機械能守恒定律，對不同的慣性系一定是協(xié)變的．也即機械能守恒定律服從力學相對性原理．這與機械能守恒的相對性并不矛盾．保守系在一個慣性系中外力作功等于零，機械能守恒，在另一個慣性系中外力作功不等于零，機械能不守恒，這屬于物理現(xiàn)象的不同，但它們都滿足機械能守恒定律．如果在另一個慣性系中外力作功不等于零而機械能守恒，那才是違反了機械能守恒定律．這正如在勻速運動的船的桅桿頂端靜止釋放小球，以船為參考系，觀察到小球豎直下落，以岸為參考系，觀察到小球作平拋運動；盡管在這兩個參考系中觀察到小球的運動現(xiàn)象不同，但它們都遵循牛頓第二定律．[2]

3 包含大質(zhì)量物體的保守系機械能轉(zhuǎn)化的特殊性

在實際問題中，經(jīng)常遇到這樣的情況：相互之間存在保守力作用的物體中有一個物體的質(zhì)量遠遠大于其他物體的質(zhì)量．例如，物體在地面附近運動，行星圍繞太陽運動．本文開頭的三個例子都屬于這種情況．

3.1 以大質(zhì)量物體為慣性系

慣性力對物體1作的功

物體1和2組成的系統(tǒng)機械能的變化

dEk1+dEk2+dEp=dW慣．

dEk1+dEp=0 或Ek1+Ep=常量．

這樣我們得到兩個結論：第一，物體2的質(zhì)量趨向無窮大時，它趨向于一個慣性系(下面將這一極限過程直接說成某物體的質(zhì)量為無窮大)；第二，在這個慣性系中，物體1的動能與系統(tǒng)的勢能發(fā)生轉(zhuǎn)化而守恒．

第二個結論容易使人誤以為勢能Ep是物體1所獨有的．須知，這個結論成立的前提是以質(zhì)量無窮大的物體2為參考系，勢能是與這個參考系“綁定”的，因此Ek1+Ep仍然是物體1和作為參考系的物體2所共有的．重力勢能是物體與地球共有的，高中物理常說某個物體具有多少重力勢能[5]，這只是一種簡略的說法．大學物理中的質(zhì)點在有心力場中的勢能[6]，是質(zhì)點與力場中心處質(zhì)量無窮大的物體所共有的．

3.2 以其他物體為慣性系

在其他慣性系中觀察，物體1、2都在運動，物體2受F′作用產(chǎn)生的加速度極小，我們不能直接用Ek2的表達式計算它的變化，但我們?nèi)钥梢詮牧ψ鞴Φ慕嵌妊芯縀k2與Ek1和Ep之間的轉(zhuǎn)化．

Ek1、Ek2和Ep與相應作用力作功的關系分別為dEk1=F·dr1、dEk2=-F·dr2和dEp= -F·dr12．各式兩邊都除以時間dt，得到

4 疑問解答

回過頭來看本文開頭的三個例子，容易發(fā)現(xiàn)產(chǎn)生機械能守恒定律是否服從力學相對性原理的疑問，有如下三方面的原因．其一，沒有以存在保守力作用的物體系為研究對象；其二，混淆了機械能守恒與機械能守恒定律；其三，不清楚包含大質(zhì)量物體的保守系的特殊性．

例2中，相對于小球，地球的質(zhì)量為無窮大．討論機械能是否守恒，研究對象必須是小球和地球組成的系統(tǒng)．這個系統(tǒng)不受外力作用(這里設想升降機與地球之間沒有相互作用)，不管是以地球還是升降機為參考系，機械能都守恒．在地球參考系中，Ek2≡0，系統(tǒng)機械能守恒的表達式為Ek1+Ep=常數(shù)．

在升降機參考系中，機械能守恒的表達式為Ek1+Ek2+Ep=常數(shù)，或者dEk1+dEk2+dEp=0．小球和地球的動能變化分別為

dEk1=mg·dr1和dEk2=mg′·dr2．

其中mg′=-mg是小球?qū)Φ厍虻淖饔昧Γ到y(tǒng)重力勢能的變化

dEp= -mg·dr12= -mg·dr1-mg′·dr2=dEp1+dEp2．

其中dEp1= -mg·dr1和dEp2= -mg′·dr2分別是小球和地球的運動引起的系統(tǒng)重力勢能的變化．從而有

dEk1+dEp1=0 和 dEk2+dEp2=0．

這兩個式子的意義是，在升降機參考系中，“小球的機械能”與“地球的機械能”分別守恒．之所以在小球的機械能和地球的機械能上加引號，是因為Ep1和Ep2并不是小球和地球獨有的勢能，而只是小球與地球共有勢能的一部分．所以，在例2中人們認為在升降機參考系中“小球的機械能”守恒，那只是形式上的守恒．當然在解決問題時，可以在一種等效的意義上來使用．

容易看出，上述推導的條件是兩物體之間相互作用力的大小和方向與物體間的距離無關．例1中彈簧的彈力與小球和小車的距離有關，就無法得到“小球與彈簧的機械能”守恒的結論．這與前面關于勢能共有性的討論是一致．