一種基于多尺度極值的快速自適應(yīng)二維經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸夥椒?/h1>
2020-05-26 07:16:06劉述田徐冠雷王曉煒
數(shù)據(jù)采集與處理 2020年2期
楊 達(dá)，劉述田，徐冠雷，王曉煒
（1.大連東軟信息學(xué)院智能與電子工程學(xué)院，大連，116023；2.海軍大連艦艇學(xué)院軍事海洋系，大連，116018；3.大連醫(yī)科大學(xué)基礎(chǔ)醫(yī)學(xué)院，大連，116044）
引 言
經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸鈁1]是近20年來(lái)發(fā)展起來(lái)的一種新型強(qiáng)大的自適應(yīng)多分辨率信號(hào)時(shí)頻處理方法，特別適用于非線性非平穩(wěn)信號(hào)的分析處理，因此經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸馑枷朐谝痪S、二維、多維和多變量信號(hào)處理方面得到持續(xù)的關(guān)注和深入的研究[2-5]。傳統(tǒng)二維經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸猓˙idimensional empirical mode decomposition,BEMD）方法因其無(wú)需預(yù)定義任何基函數(shù)、完全數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)且信號(hào)分析能力強(qiáng)，在圖像等二維信號(hào)的分析處理中體現(xiàn)出許多優(yōu)勢(shì)和巨大潛力[6-8]，然而B(niǎo)EMD方法在求解上下包絡(luò)插值過(guò)程中非常耗時(shí)，并且由于離散點(diǎn)插值存在過(guò)沖和欠沖情況，使得分解出的分量中會(huì)存在比較明顯的偽像[9-10]。2008年，Bhuiyan等提出了一種新的快速自適應(yīng)二維經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸夥椒?，即FABEMD方法[11]。該方法利用統(tǒng)計(jì)排序平滑濾波代替了離散點(diǎn)插值，極大地提高了分解效率，改善了分解效果，顯著地促進(jìn)了二維經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸夥椒ㄔ趫D像融合、圖像增強(qiáng)、圖像配準(zhǔn)以及圖像運(yùn)動(dòng)估計(jì)等領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用[12-15]。文獻(xiàn)[16-17]通過(guò)實(shí)驗(yàn)指出，基于BEMD和FABEMD的圖像處理方法比對(duì)比度金字塔和小波變換等傳統(tǒng)多尺度分解方法具有更好的效果。然而，包括FABEMD方法在內(nèi)的現(xiàn)有二維經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸馑惴ㄔ跇O值點(diǎn)查找、內(nèi)蘊(yùn)模式篩選以及迭代分解過(guò)程中效率比較低，自適應(yīng)性依賴于一些參數(shù)的人工選擇。如果對(duì)FABEMD方法進(jìn)行改進(jìn)，將能夠進(jìn)一步促進(jìn)經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸庠趫D像處理領(lǐng)域的應(yīng)用。
信號(hào)的多尺度極值點(diǎn)蘊(yùn)含了存在于不同尺度上的豐富信息，成為近年來(lái)提高信號(hào)處理技術(shù)的一個(gè)研究方向。2013年，筆者提出了一維信號(hào)多尺度極值二叉樹(shù)結(jié)構(gòu)的概念，研究了其特性，并將其用于一維信號(hào)趨勢(shì)項(xiàng)的快速提取[18-19]，為一維非線性非平穩(wěn)信號(hào)的快速分析提供了一個(gè)新的思路。本文通過(guò)將一維多尺度極值二叉樹(shù)概念推廣到二維信號(hào)中，提出了一種高效的二維多尺度極值二叉樹(shù)建立方法，并在此基礎(chǔ)之上提出一個(gè)新的分解層數(shù)和濾波窗口大小的自適應(yīng)確定原則，結(jié)合基于統(tǒng)計(jì)排序的平滑濾波方法實(shí)現(xiàn)了基于多尺度極值的二維信號(hào)經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸夥椒?Improved fast and adaptive BEMD，IFABEMD)，從而顯著提高了二維信號(hào)多尺度分解的自適應(yīng)性及分解效率。
1 二維信號(hào)多尺度極值點(diǎn)集的二叉樹(shù)結(jié)構(gòu)及其生成方法
1.1 一維信號(hào)多尺度極值的二叉樹(shù)結(jié)構(gòu)
文獻(xiàn)[18]提出了如圖1所示的一維信號(hào)極值點(diǎn)的二叉樹(shù)結(jié)構(gòu)及其生成方法，具體過(guò)程總結(jié)如下：
（1）對(duì)于一個(gè)給定的一維多分量信號(hào)f(t)，其支撐為[0,T]，找出該信號(hào)所有的局部極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，得到集合S〈1,1〉,S〈1,2〉，形成代表最小時(shí)間尺度的一級(jí)極值點(diǎn)集合S1={S〈1,1〉,S〈1,2〉}。
圖1 信號(hào)極值點(diǎn)的二叉樹(shù)結(jié)構(gòu)Fig.1 Binary tree of multi-level signal extrema
（2）再分別將S〈1,1〉,S〈1,2〉作為新的序列分別找出它們的局部極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，得到集合S〈2,1〉,S〈2,2〉，S〈2,3〉和S〈2,4〉，從而得到第二級(jí)極值點(diǎn)集S2={S〈2,1〉,S〈2,2〉，S〈2,3〉,S〈2,4〉}。
（3）依此類推，迭代上述操作，直到某一級(jí)極值點(diǎn)子集S〈i,j〉的元素?cái)?shù)小于3停止迭代，此時(shí)的i等于n，被稱為多尺度極值的最高級(jí)數(shù)，而上述迭代過(guò)程得到的各級(jí)極值點(diǎn)集合和子集就形成了如圖1所示的一維信號(hào)極值點(diǎn)的二叉樹(shù)結(jié)構(gòu)。該二叉樹(shù)結(jié)構(gòu)的多尺度極值點(diǎn)集的獲得，有助于對(duì)信號(hào)進(jìn)行進(jìn)一步的多尺度分析。
1.2 二維信號(hào)多尺度極值的二叉樹(shù)結(jié)構(gòu)
將一維多尺度極值二叉樹(shù)概念推廣到二維信號(hào)中可以得到：
（1）設(shè)I為一個(gè)多分量構(gòu)成的二維信號(hào)，F(xiàn)為某種二維局部極值點(diǎn)查找操作，S為其多尺度極值點(diǎn)集合，Si為S的第i級(jí)子集。對(duì)I進(jìn)行一次F操作，可以得到I的局部極大值點(diǎn)集S〈1,1〉和局部極小值點(diǎn)集S〈1,2〉，即：F(I)→(S〈1,1〉,S〈1,2〉)，由極值點(diǎn)集S〈1,1〉,S〈1,2〉形成第一級(jí)極值點(diǎn)子集S1，即S1={S〈1,1〉,S〈1,2〉}。
（2）再分別對(duì)S〈1,1〉,S〈1,2〉進(jìn)行F操作，可以得到第二級(jí)極值點(diǎn)子集S2={S〈2,1〉,S〈2,2〉,S〈2,3〉,S〈2,4〉}，其中F(S〈1,1〉)→(S〈2,1〉,S〈2,2〉)，F(xiàn)(S〈1,2〉)→(S〈2,3〉,S〈2,4〉)。
（3）依此類推，每一個(gè)極值點(diǎn)集合又可進(jìn)一步劃分為下一級(jí)的兩個(gè)極值點(diǎn)子集，即第i級(jí)（i=1，2，…，n，其中n為最高級(jí)極值點(diǎn)的級(jí)數(shù)）極值點(diǎn)集Si可劃分為2i個(gè)極值點(diǎn)子集，因此，信號(hào)I的多級(jí)極值點(diǎn)集可表示為S[m]={Si}={S〈i,j〉},i=1,2,…,n;j=1,2,…,2i。其中，S〈i,j〉表示第i級(jí)極值點(diǎn)集中的第j個(gè)極值點(diǎn)子集。由此可建立二維信號(hào)極值點(diǎn)的二叉樹(shù)結(jié)構(gòu)，也可用圖1表示。
1.3 基于一維多尺度極值點(diǎn)集的二維多尺度點(diǎn)集的生成方法
利用基于窗口的p-鄰域比較法和基于Voronoi多邊形的鄰域比較法可以將二維信號(hào)局部極值點(diǎn)的查找直接推廣到二維多級(jí)極值點(diǎn)。但前者窗口尺寸p的選擇缺乏自適應(yīng)性，無(wú)法反映出信號(hào)內(nèi)在頻率模式的信息，而后者是以8-鄰域比較方法得到一級(jí)極值點(diǎn)；二級(jí)和二級(jí)以上的極值點(diǎn)由Voronoi多邊形內(nèi)節(jié)點(diǎn)與相鄰多邊形內(nèi)節(jié)點(diǎn)比較得到，雖具有對(duì)信號(hào)自適應(yīng)的特點(diǎn)，但隨著極值點(diǎn)級(jí)數(shù)的增加，極值點(diǎn)數(shù)快速減少，很快出現(xiàn)極值點(diǎn)稀疏情況，不利于挖掘信號(hào)內(nèi)部包含的眾多頻率模式分量。因此本文給出基于一維多尺度極值點(diǎn)集的二維多尺度點(diǎn)集的生成方法。二維多尺度極值點(diǎn)集的建立方法具體步驟如下：
（1）如圖2所示將圖像I分別沿水平方向和垂直方向蛇形展開(kāi)，生成兩個(gè)一維信號(hào)f1和f2。圖中實(shí)心圓點(diǎn)代表一維/二維局部極小值點(diǎn)；空心圓圈代表一維/二維局部極大值點(diǎn)。
（2）對(duì)f1和f2分別使用文獻(xiàn)[11]中的方法建立多尺度極值點(diǎn)集S′和S″，設(shè)S′和S″的最高級(jí)數(shù)表示為n′和n″。
（3）將一維多尺度極值點(diǎn)集S′和S″中的各極值點(diǎn)子集按照各像素在原圖像I中的位置生成對(duì)應(yīng)的方向分離的2維極值點(diǎn)子集圖，其中i=1,2,… ,n;j=1,2,… ,2i；n=min(n′,n″)為二維極值點(diǎn)最高級(jí)數(shù)。
圖2 由方向分離的極值點(diǎn)圖合成的最終二維極值點(diǎn)圖Fig.2 2-D MSE-scale extrema based on 1-D MSE-scale extrema
采用此方法生成的二維多尺度極值點(diǎn)在效果上相當(dāng)于各級(jí)極值點(diǎn)在不同尺度的4鄰域上查找獲得。該方法生成二維多尺度極值點(diǎn)集的優(yōu)點(diǎn)是速度快、可減弱大尺度級(jí)別上極值點(diǎn)稀疏的情況、自適應(yīng)性強(qiáng)以及物理意義直觀。
2 改進(jìn)的快速自適應(yīng)二維經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸夥椒?/h2>2.1 快速自適應(yīng)二維經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸夥椒?/h3>
文獻(xiàn)[11]提出的快速自適應(yīng)二維經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸夥椒?，即FABEMD方法在獲得較好的分解效果的同時(shí)具有較快的分解速度，主要原因在于采用了一種新的求解局部均值的方法，基本思想是：用鄰域窗口（通常是3×3鄰域）比較方法找到圖像I的局部極大值點(diǎn)集和極小值點(diǎn)集，由2個(gè)極值點(diǎn)間最小距離矩陣依據(jù)某種原則確定出濾波窗口尺寸wen作為圖像I分解濾波的尺度。圖像I上下包絡(luò)的估計(jì)方法是FABEMD方法的核心：由極大值和極小值統(tǒng)計(jì)排序?yàn)V波器分別作用于I，生成圖像I的上下2個(gè)包絡(luò)曲面；但曲面并不光滑，因此再用算數(shù)平均濾波器對(duì)2個(gè)包絡(luò)曲面進(jìn)行平滑，得到最終的圖像I的上下包絡(luò)估計(jì)。
圖3 FABEMD算法流程圖Fig.3 Flow diagram of FABEMD
FABEMD方法的具體步驟如圖3所示。其中BIMFi為第i級(jí)二維內(nèi)蘊(yùn)模式分量，Ires為余量，Ri為分解過(guò)程中間變量。wen的確定方法是：計(jì)算極值點(diǎn)最近距離矩陣dadj-max和dadj-min，兩者都以降序排列，可以選用不同的準(zhǔn)則從dadj-max和dadj-min中選擇出濾波器窗口的尺寸wen。
然而，F(xiàn)ABEMD方法中各級(jí)濾波窗口尺寸的計(jì)算效率不高，需要反復(fù)查找圖像極值點(diǎn)、計(jì)算極值點(diǎn)間距離矩陣，不能自適應(yīng)確定分解級(jí)數(shù)。文獻(xiàn)[11]中提供的4種計(jì)算窗口尺寸的準(zhǔn)則無(wú)法在得到分解結(jié)果前確定哪種是最佳的，即濾波窗口尺寸的確定具有很大的靈活性，也缺乏對(duì)信號(hào)的自適應(yīng)性。
2.2 基于多尺度極值的改進(jìn)FABEMD方法
針對(duì)FABEMD方法存在的不足，本文利用二維多尺度極值的各級(jí)極值點(diǎn)密度作為新的指標(biāo)確定濾波窗口尺寸，提出一種改進(jìn)的快速自適應(yīng)BEMD算法，即IFABEMD方法，流程如圖4所示，其具體步驟如下：
圖4 改進(jìn)的FABEMD算法流程圖Fig.4 Flow diagram of IFABEMD
（1）由1.3節(jié)方法求出圖像I的二叉樹(shù)結(jié)構(gòu)的多尺度極值點(diǎn)集S={Si}={S〈i,j〉},i=1,2,…,n;j=1,2,…,2i，其中n為多尺度極值點(diǎn)集最高級(jí)數(shù)。
（2）計(jì)算各極值點(diǎn)子集S〈i,j〉的極值點(diǎn)數(shù)目NSij，由此得到各級(jí)極值點(diǎn)的數(shù)目NSi為
（3）計(jì)算各級(jí)極值點(diǎn)的平均密度為
式中Np為圖像I的像素總數(shù)。
（4）確定各級(jí)濾波窗口尺寸為
（5）設(shè)Ires=I，k=1。
（6）利用與FABEMD方法中相同的最大值/最小值統(tǒng)計(jì)排序?yàn)V波和平滑濾波方法，估計(jì)Ires的局部均值信號(hào)Imean。
（7）BIMFk=Ires-Imean，Ires=Ires-BIMFk。
（8）如果k＜n-1，則k=k+1，轉(zhuǎn)到步驟（6），否則轉(zhuǎn)到步驟（9）。
（9）分解結(jié)束。
由圖3和圖4的比較可以看出，IFABEMD算法的極值點(diǎn)查找和各級(jí)窗口尺寸計(jì)算不需要迭代，且各級(jí)濾波窗口尺寸隨各級(jí)特征尺度的增加而自適應(yīng)增大，與FABEMD分解結(jié)果相比減少了特征尺度不顯著的多余分量，提高了分解的自適應(yīng)性和效率。
3 仿真結(jié)果與性能分析
本文通過(guò)對(duì)典型的自然圖像與合成紋理圖像的實(shí)驗(yàn)仿真來(lái)驗(yàn)證上文介紹的二維多尺度極值查找方法和改進(jìn)FABEMD方法的有效性。實(shí)驗(yàn)所用硬件配置為：Intel Core i5-7200U CPU，主頻2.5 GHz和2.7 GHz，內(nèi)存8 GB。所用代碼均用Matlab語(yǔ)言實(shí)現(xiàn)。
3.1 3種二維多尺度極值點(diǎn)集建立方法的比較
不失一般性，以圖5(a)Lena圖像的多尺度極值點(diǎn)集為例，通過(guò)與基于p-鄰域比較法和基于Voronoi多邊形的鄰域比較法進(jìn)行對(duì)比，證明基于一維多尺度極值點(diǎn)集的二維多尺度點(diǎn)集生成方法的優(yōu)點(diǎn)。3種方法所得Lena圖像的1～4級(jí)極大值點(diǎn)集圖如圖5（b）―（d）所示，得到的各級(jí)極值點(diǎn)數(shù)及算法計(jì)算性能比較如表1，2所示。
圖5 3種方法查找Lena圖像的1～4級(jí)極大值點(diǎn)比較（白色點(diǎn)為極大值像素位置）Fig.5 Comparison of three methods for finding the maximum points of Lena image at levels 1―4(white points are the location of maximum pixels)
表1 3種多級(jí)極值點(diǎn)查找方法各級(jí)極值點(diǎn)數(shù)目比較Table 1 Comparison of the number of extrema at each level by three methods
表2 3種多級(jí)極值點(diǎn)查找方法計(jì)算性能比較Table 2 Comparison of computational performance of three methods
由圖5及表1，2可以直觀看出，基于一維多尺度極值點(diǎn)集的二維多尺度點(diǎn)集生成方法既能自適應(yīng)反映出信號(hào)的內(nèi)蘊(yùn)模式特征尺度，又能減弱極值點(diǎn)數(shù)目隨極值點(diǎn)級(jí)數(shù)增加而過(guò)快稀疏，并且速度更快。
3.2 改進(jìn)FABEMD方法分解實(shí)驗(yàn)結(jié)果
為了驗(yàn)證和分析改進(jìn)FABEMD方法，即IFABEMD方法的有效性，下面分別給出原FABEMD方法和IFABEMD方法對(duì)典型的自然圖像與合成紋理圖像的分解對(duì)比結(jié)果。其中，F(xiàn)ABEMD方法選用極值點(diǎn)最近距離矩陣dadj-max和dadj-min最小值中的最小值作為濾波窗口尺寸，并且篩選次數(shù)為1，迭代次數(shù)以分解效果與本文分解的最高級(jí)分量相當(dāng)時(shí)為標(biāo)準(zhǔn)；IFABEMD方法不需要篩選過(guò)程，迭代次數(shù)為多尺度極值點(diǎn)集最高級(jí)數(shù)n-1（避免濾波窗口尺寸過(guò)大使分解速度快速下降）。實(shí)驗(yàn)圖像如圖6,7所示，圖像參數(shù)如表3所示。FABEMD方法和IFABEMD方法的分解結(jié)果如圖8—11所示。分解速度如表4所示。
由圖8—11可以看出，不論對(duì)于自然圖像還是合成紋理圖像，F(xiàn)ABEMD方法和IFABEMD方法分解結(jié)果均看不到偽像，并且各分量的物理意義更明顯（FABEMD方法分解出的相互之間只有細(xì)微差別的多余分量在圖中沒(méi)有列出）。
圖6 自然圖像Fig.6 Natural images
圖7 合成紋理圖像及其組成分量Fig.7 Synthetic texture image and its components
表3 實(shí)驗(yàn)所用圖像Table 3 Test images
圖8 Barbara圖像分解結(jié)果比較Fig.8 Decomposition results by different methods for Barbara image
圖9 Harbour圖像分解結(jié)果比較Fig.9 Decomposition results by different methods for Harbour image
圖10 D101紋理圖像分解結(jié)果比較Fig.10 Decomposition results by different methods for D101 texture
圖11 合成紋理圖像分解結(jié)果比較Fig.11 Decomposition results by different methods for synthetic texture image
表4 不同方法分解速度比較Table 4 Comparison of decomposition speeds by different methods s
從圖11與圖7的對(duì)比可看出，F(xiàn)ABEMD方法分解出的BIMF2是實(shí)際分量中不存在的一個(gè)頻率分量，在IFABEMD方法中沒(méi)有這個(gè)尺度的假分量。由表4可看出IFABEMD方法分解速度較FABEMD方法有明顯提高，并且由表5可以看出IFABEMD方法分解出的內(nèi)蘊(yùn)模式分量數(shù)比FABEMD方法有明顯減少。由表6可以看出當(dāng)IFABEMD方法和FABEMD方法分解出的對(duì)應(yīng)分量效果相同或相近時(shí)，有著相近的濾波窗口特征尺度，并且IFABEMD方法的濾波窗口特征尺度與分量效果的直觀尺度更符合。
表5 不同圖像中分解的最高層數(shù)Table 5 The highest levels of decomposition of different images
表6 濾波窗口特征尺度（像素寬度）Table 6 Feature sizes of filter windows（pixel width）
4 結(jié)束語(yǔ)
為了進(jìn)一步提高現(xiàn)有FABEMD方法的信號(hào)自適應(yīng)性與分解效率，本文提出了一種基于多尺度極值的改進(jìn)FABEMD方法——IFABEMD方法。IFABEMD方法一方面提高了FABEMD方法在濾波窗口尺寸選擇上的自適應(yīng)性和該參數(shù)與分量特征尺度趨勢(shì)的一致性，另一方面使分解速度更快、分解出的分量構(gòu)成在視覺(jué)上更加合理。最后通過(guò)實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了本文方法的有效性和正確性。本文提出的基于尺度極值點(diǎn)集的IFABEMD方法為傳統(tǒng)經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸夥椒ǖ难芯刻峁┝艘粋€(gè)新的思路。該方法也為圖像分析、圖像融合和圖像增強(qiáng)等應(yīng)用提供了新的手段。然而對(duì)多尺度極值點(diǎn)集的構(gòu)建方法和特性及其在BEMD方法中的應(yīng)用還有待進(jìn)一步深入研究。
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（1.大連東軟信息學(xué)院智能與電子工程學(xué)院，大連，116023；2.海軍大連艦艇學(xué)院軍事海洋系，大連，116018；3.大連醫(yī)科大學(xué)基礎(chǔ)醫(yī)學(xué)院，大連，116044）
引 言
經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸鈁1]是近20年來(lái)發(fā)展起來(lái)的一種新型強(qiáng)大的自適應(yīng)多分辨率信號(hào)時(shí)頻處理方法，特別適用于非線性非平穩(wěn)信號(hào)的分析處理，因此經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸馑枷朐谝痪S、二維、多維和多變量信號(hào)處理方面得到持續(xù)的關(guān)注和深入的研究[2-5]。傳統(tǒng)二維經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸猓˙idimensional empirical mode decomposition,BEMD）方法因其無(wú)需預(yù)定義任何基函數(shù)、完全數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)且信號(hào)分析能力強(qiáng)，在圖像等二維信號(hào)的分析處理中體現(xiàn)出許多優(yōu)勢(shì)和巨大潛力[6-8]，然而B(niǎo)EMD方法在求解上下包絡(luò)插值過(guò)程中非常耗時(shí)，并且由于離散點(diǎn)插值存在過(guò)沖和欠沖情況，使得分解出的分量中會(huì)存在比較明顯的偽像[9-10]。2008年，Bhuiyan等提出了一種新的快速自適應(yīng)二維經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸夥椒?，即FABEMD方法[11]。該方法利用統(tǒng)計(jì)排序平滑濾波代替了離散點(diǎn)插值，極大地提高了分解效率，改善了分解效果，顯著地促進(jìn)了二維經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸夥椒ㄔ趫D像融合、圖像增強(qiáng)、圖像配準(zhǔn)以及圖像運(yùn)動(dòng)估計(jì)等領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用[12-15]。文獻(xiàn)[16-17]通過(guò)實(shí)驗(yàn)指出，基于BEMD和FABEMD的圖像處理方法比對(duì)比度金字塔和小波變換等傳統(tǒng)多尺度分解方法具有更好的效果。然而，包括FABEMD方法在內(nèi)的現(xiàn)有二維經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸馑惴ㄔ跇O值點(diǎn)查找、內(nèi)蘊(yùn)模式篩選以及迭代分解過(guò)程中效率比較低，自適應(yīng)性依賴于一些參數(shù)的人工選擇。如果對(duì)FABEMD方法進(jìn)行改進(jìn)，將能夠進(jìn)一步促進(jìn)經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸庠趫D像處理領(lǐng)域的應(yīng)用。
信號(hào)的多尺度極值點(diǎn)蘊(yùn)含了存在于不同尺度上的豐富信息，成為近年來(lái)提高信號(hào)處理技術(shù)的一個(gè)研究方向。2013年，筆者提出了一維信號(hào)多尺度極值二叉樹(shù)結(jié)構(gòu)的概念，研究了其特性，并將其用于一維信號(hào)趨勢(shì)項(xiàng)的快速提取[18-19]，為一維非線性非平穩(wěn)信號(hào)的快速分析提供了一個(gè)新的思路。本文通過(guò)將一維多尺度極值二叉樹(shù)概念推廣到二維信號(hào)中，提出了一種高效的二維多尺度極值二叉樹(shù)建立方法，并在此基礎(chǔ)之上提出一個(gè)新的分解層數(shù)和濾波窗口大小的自適應(yīng)確定原則，結(jié)合基于統(tǒng)計(jì)排序的平滑濾波方法實(shí)現(xiàn)了基于多尺度極值的二維信號(hào)經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸夥椒?Improved fast and adaptive BEMD，IFABEMD)，從而顯著提高了二維信號(hào)多尺度分解的自適應(yīng)性及分解效率。
1 二維信號(hào)多尺度極值點(diǎn)集的二叉樹(shù)結(jié)構(gòu)及其生成方法
1.1 一維信號(hào)多尺度極值的二叉樹(shù)結(jié)構(gòu)
文獻(xiàn)[18]提出了如圖1所示的一維信號(hào)極值點(diǎn)的二叉樹(shù)結(jié)構(gòu)及其生成方法，具體過(guò)程總結(jié)如下：
（1）對(duì)于一個(gè)給定的一維多分量信號(hào)f(t)，其支撐為[0,T]，找出該信號(hào)所有的局部極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，得到集合S〈1,1〉,S〈1,2〉，形成代表最小時(shí)間尺度的一級(jí)極值點(diǎn)集合S1={S〈1,1〉,S〈1,2〉}。
圖1 信號(hào)極值點(diǎn)的二叉樹(shù)結(jié)構(gòu)Fig.1 Binary tree of multi-level signal extrema
（2）再分別將S〈1,1〉,S〈1,2〉作為新的序列分別找出它們的局部極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，得到集合S〈2,1〉,S〈2,2〉，S〈2,3〉和S〈2,4〉，從而得到第二級(jí)極值點(diǎn)集S2={S〈2,1〉,S〈2,2〉，S〈2,3〉,S〈2,4〉}。
（3）依此類推，迭代上述操作，直到某一級(jí)極值點(diǎn)子集S〈i,j〉的元素?cái)?shù)小于3停止迭代，此時(shí)的i等于n，被稱為多尺度極值的最高級(jí)數(shù)，而上述迭代過(guò)程得到的各級(jí)極值點(diǎn)集合和子集就形成了如圖1所示的一維信號(hào)極值點(diǎn)的二叉樹(shù)結(jié)構(gòu)。該二叉樹(shù)結(jié)構(gòu)的多尺度極值點(diǎn)集的獲得，有助于對(duì)信號(hào)進(jìn)行進(jìn)一步的多尺度分析。
1.2 二維信號(hào)多尺度極值的二叉樹(shù)結(jié)構(gòu)
將一維多尺度極值二叉樹(shù)概念推廣到二維信號(hào)中可以得到：
（1）設(shè)I為一個(gè)多分量構(gòu)成的二維信號(hào)，F(xiàn)為某種二維局部極值點(diǎn)查找操作，S為其多尺度極值點(diǎn)集合，Si為S的第i級(jí)子集。對(duì)I進(jìn)行一次F操作，可以得到I的局部極大值點(diǎn)集S〈1,1〉和局部極小值點(diǎn)集S〈1,2〉，即：F(I)→(S〈1,1〉,S〈1,2〉)，由極值點(diǎn)集S〈1,1〉,S〈1,2〉形成第一級(jí)極值點(diǎn)子集S1，即S1={S〈1,1〉,S〈1,2〉}。
（2）再分別對(duì)S〈1,1〉,S〈1,2〉進(jìn)行F操作，可以得到第二級(jí)極值點(diǎn)子集S2={S〈2,1〉,S〈2,2〉,S〈2,3〉,S〈2,4〉}，其中F(S〈1,1〉)→(S〈2,1〉,S〈2,2〉)，F(xiàn)(S〈1,2〉)→(S〈2,3〉,S〈2,4〉)。
（3）依此類推，每一個(gè)極值點(diǎn)集合又可進(jìn)一步劃分為下一級(jí)的兩個(gè)極值點(diǎn)子集，即第i級(jí)（i=1，2，…，n，其中n為最高級(jí)極值點(diǎn)的級(jí)數(shù)）極值點(diǎn)集Si可劃分為2i個(gè)極值點(diǎn)子集，因此，信號(hào)I的多級(jí)極值點(diǎn)集可表示為S[m]={Si}={S〈i,j〉},i=1,2,…,n;j=1,2,…,2i。其中，S〈i,j〉表示第i級(jí)極值點(diǎn)集中的第j個(gè)極值點(diǎn)子集。由此可建立二維信號(hào)極值點(diǎn)的二叉樹(shù)結(jié)構(gòu)，也可用圖1表示。
1.3 基于一維多尺度極值點(diǎn)集的二維多尺度點(diǎn)集的生成方法
利用基于窗口的p-鄰域比較法和基于Voronoi多邊形的鄰域比較法可以將二維信號(hào)局部極值點(diǎn)的查找直接推廣到二維多級(jí)極值點(diǎn)。但前者窗口尺寸p的選擇缺乏自適應(yīng)性，無(wú)法反映出信號(hào)內(nèi)在頻率模式的信息，而后者是以8-鄰域比較方法得到一級(jí)極值點(diǎn)；二級(jí)和二級(jí)以上的極值點(diǎn)由Voronoi多邊形內(nèi)節(jié)點(diǎn)與相鄰多邊形內(nèi)節(jié)點(diǎn)比較得到，雖具有對(duì)信號(hào)自適應(yīng)的特點(diǎn)，但隨著極值點(diǎn)級(jí)數(shù)的增加，極值點(diǎn)數(shù)快速減少，很快出現(xiàn)極值點(diǎn)稀疏情況，不利于挖掘信號(hào)內(nèi)部包含的眾多頻率模式分量。因此本文給出基于一維多尺度極值點(diǎn)集的二維多尺度點(diǎn)集的生成方法。二維多尺度極值點(diǎn)集的建立方法具體步驟如下：
（1）如圖2所示將圖像I分別沿水平方向和垂直方向蛇形展開(kāi)，生成兩個(gè)一維信號(hào)f1和f2。圖中實(shí)心圓點(diǎn)代表一維/二維局部極小值點(diǎn)；空心圓圈代表一維/二維局部極大值點(diǎn)。
（2）對(duì)f1和f2分別使用文獻(xiàn)[11]中的方法建立多尺度極值點(diǎn)集S′和S″，設(shè)S′和S″的最高級(jí)數(shù)表示為n′和n″。
（3）將一維多尺度極值點(diǎn)集S′和S″中的各極值點(diǎn)子集按照各像素在原圖像I中的位置生成對(duì)應(yīng)的方向分離的2維極值點(diǎn)子集圖，其中i=1,2,… ,n;j=1,2,… ,2i；n=min(n′,n″)為二維極值點(diǎn)最高級(jí)數(shù)。
圖2 由方向分離的極值點(diǎn)圖合成的最終二維極值點(diǎn)圖Fig.2 2-D MSE-scale extrema based on 1-D MSE-scale extrema
采用此方法生成的二維多尺度極值點(diǎn)在效果上相當(dāng)于各級(jí)極值點(diǎn)在不同尺度的4鄰域上查找獲得。該方法生成二維多尺度極值點(diǎn)集的優(yōu)點(diǎn)是速度快、可減弱大尺度級(jí)別上極值點(diǎn)稀疏的情況、自適應(yīng)性強(qiáng)以及物理意義直觀。
2 改進(jìn)的快速自適應(yīng)二維經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸夥椒?/h2>2.1 快速自適應(yīng)二維經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸夥椒?/h3>
文獻(xiàn)[11]提出的快速自適應(yīng)二維經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸夥椒?，即FABEMD方法在獲得較好的分解效果的同時(shí)具有較快的分解速度，主要原因在于采用了一種新的求解局部均值的方法，基本思想是：用鄰域窗口（通常是3×3鄰域）比較方法找到圖像I的局部極大值點(diǎn)集和極小值點(diǎn)集，由2個(gè)極值點(diǎn)間最小距離矩陣依據(jù)某種原則確定出濾波窗口尺寸wen作為圖像I分解濾波的尺度。圖像I上下包絡(luò)的估計(jì)方法是FABEMD方法的核心：由極大值和極小值統(tǒng)計(jì)排序?yàn)V波器分別作用于I，生成圖像I的上下2個(gè)包絡(luò)曲面；但曲面并不光滑，因此再用算數(shù)平均濾波器對(duì)2個(gè)包絡(luò)曲面進(jìn)行平滑，得到最終的圖像I的上下包絡(luò)估計(jì)。
圖3 FABEMD算法流程圖Fig.3 Flow diagram of FABEMD
FABEMD方法的具體步驟如圖3所示。其中BIMFi為第i級(jí)二維內(nèi)蘊(yùn)模式分量，Ires為余量，Ri為分解過(guò)程中間變量。wen的確定方法是：計(jì)算極值點(diǎn)最近距離矩陣dadj-max和dadj-min，兩者都以降序排列，可以選用不同的準(zhǔn)則從dadj-max和dadj-min中選擇出濾波器窗口的尺寸wen。
然而，F(xiàn)ABEMD方法中各級(jí)濾波窗口尺寸的計(jì)算效率不高，需要反復(fù)查找圖像極值點(diǎn)、計(jì)算極值點(diǎn)間距離矩陣，不能自適應(yīng)確定分解級(jí)數(shù)。文獻(xiàn)[11]中提供的4種計(jì)算窗口尺寸的準(zhǔn)則無(wú)法在得到分解結(jié)果前確定哪種是最佳的，即濾波窗口尺寸的確定具有很大的靈活性，也缺乏對(duì)信號(hào)的自適應(yīng)性。
2.2 基于多尺度極值的改進(jìn)FABEMD方法
針對(duì)FABEMD方法存在的不足，本文利用二維多尺度極值的各級(jí)極值點(diǎn)密度作為新的指標(biāo)確定濾波窗口尺寸，提出一種改進(jìn)的快速自適應(yīng)BEMD算法，即IFABEMD方法，流程如圖4所示，其具體步驟如下：
圖4 改進(jìn)的FABEMD算法流程圖Fig.4 Flow diagram of IFABEMD
（1）由1.3節(jié)方法求出圖像I的二叉樹(shù)結(jié)構(gòu)的多尺度極值點(diǎn)集S={Si}={S〈i,j〉},i=1,2,…,n;j=1,2,…,2i，其中n為多尺度極值點(diǎn)集最高級(jí)數(shù)。
（2）計(jì)算各極值點(diǎn)子集S〈i,j〉的極值點(diǎn)數(shù)目NSij，由此得到各級(jí)極值點(diǎn)的數(shù)目NSi為
（3）計(jì)算各級(jí)極值點(diǎn)的平均密度為
式中Np為圖像I的像素總數(shù)。
（4）確定各級(jí)濾波窗口尺寸為
（5）設(shè)Ires=I，k=1。
（6）利用與FABEMD方法中相同的最大值/最小值統(tǒng)計(jì)排序?yàn)V波和平滑濾波方法，估計(jì)Ires的局部均值信號(hào)Imean。
（7）BIMFk=Ires-Imean，Ires=Ires-BIMFk。
（8）如果k＜n-1，則k=k+1，轉(zhuǎn)到步驟（6），否則轉(zhuǎn)到步驟（9）。
（9）分解結(jié)束。
由圖3和圖4的比較可以看出，IFABEMD算法的極值點(diǎn)查找和各級(jí)窗口尺寸計(jì)算不需要迭代，且各級(jí)濾波窗口尺寸隨各級(jí)特征尺度的增加而自適應(yīng)增大，與FABEMD分解結(jié)果相比減少了特征尺度不顯著的多余分量，提高了分解的自適應(yīng)性和效率。
3 仿真結(jié)果與性能分析
本文通過(guò)對(duì)典型的自然圖像與合成紋理圖像的實(shí)驗(yàn)仿真來(lái)驗(yàn)證上文介紹的二維多尺度極值查找方法和改進(jìn)FABEMD方法的有效性。實(shí)驗(yàn)所用硬件配置為：Intel Core i5-7200U CPU，主頻2.5 GHz和2.7 GHz，內(nèi)存8 GB。所用代碼均用Matlab語(yǔ)言實(shí)現(xiàn)。
3.1 3種二維多尺度極值點(diǎn)集建立方法的比較
不失一般性，以圖5(a)Lena圖像的多尺度極值點(diǎn)集為例，通過(guò)與基于p-鄰域比較法和基于Voronoi多邊形的鄰域比較法進(jìn)行對(duì)比，證明基于一維多尺度極值點(diǎn)集的二維多尺度點(diǎn)集生成方法的優(yōu)點(diǎn)。3種方法所得Lena圖像的1～4級(jí)極大值點(diǎn)集圖如圖5（b）―（d）所示，得到的各級(jí)極值點(diǎn)數(shù)及算法計(jì)算性能比較如表1，2所示。
圖5 3種方法查找Lena圖像的1～4級(jí)極大值點(diǎn)比較（白色點(diǎn)為極大值像素位置）Fig.5 Comparison of three methods for finding the maximum points of Lena image at levels 1―4(white points are the location of maximum pixels)
表1 3種多級(jí)極值點(diǎn)查找方法各級(jí)極值點(diǎn)數(shù)目比較Table 1 Comparison of the number of extrema at each level by three methods
表2 3種多級(jí)極值點(diǎn)查找方法計(jì)算性能比較Table 2 Comparison of computational performance of three methods
由圖5及表1，2可以直觀看出，基于一維多尺度極值點(diǎn)集的二維多尺度點(diǎn)集生成方法既能自適應(yīng)反映出信號(hào)的內(nèi)蘊(yùn)模式特征尺度，又能減弱極值點(diǎn)數(shù)目隨極值點(diǎn)級(jí)數(shù)增加而過(guò)快稀疏，并且速度更快。
3.2 改進(jìn)FABEMD方法分解實(shí)驗(yàn)結(jié)果
為了驗(yàn)證和分析改進(jìn)FABEMD方法，即IFABEMD方法的有效性，下面分別給出原FABEMD方法和IFABEMD方法對(duì)典型的自然圖像與合成紋理圖像的分解對(duì)比結(jié)果。其中，F(xiàn)ABEMD方法選用極值點(diǎn)最近距離矩陣dadj-max和dadj-min最小值中的最小值作為濾波窗口尺寸，并且篩選次數(shù)為1，迭代次數(shù)以分解效果與本文分解的最高級(jí)分量相當(dāng)時(shí)為標(biāo)準(zhǔn)；IFABEMD方法不需要篩選過(guò)程，迭代次數(shù)為多尺度極值點(diǎn)集最高級(jí)數(shù)n-1（避免濾波窗口尺寸過(guò)大使分解速度快速下降）。實(shí)驗(yàn)圖像如圖6,7所示，圖像參數(shù)如表3所示。FABEMD方法和IFABEMD方法的分解結(jié)果如圖8—11所示。分解速度如表4所示。
由圖8—11可以看出，不論對(duì)于自然圖像還是合成紋理圖像，F(xiàn)ABEMD方法和IFABEMD方法分解結(jié)果均看不到偽像，并且各分量的物理意義更明顯（FABEMD方法分解出的相互之間只有細(xì)微差別的多余分量在圖中沒(méi)有列出）。
圖6 自然圖像Fig.6 Natural images
圖7 合成紋理圖像及其組成分量Fig.7 Synthetic texture image and its components
表3 實(shí)驗(yàn)所用圖像Table 3 Test images
圖8 Barbara圖像分解結(jié)果比較Fig.8 Decomposition results by different methods for Barbara image
圖9 Harbour圖像分解結(jié)果比較Fig.9 Decomposition results by different methods for Harbour image
圖10 D101紋理圖像分解結(jié)果比較Fig.10 Decomposition results by different methods for D101 texture
圖11 合成紋理圖像分解結(jié)果比較Fig.11 Decomposition results by different methods for synthetic texture image
表4 不同方法分解速度比較Table 4 Comparison of decomposition speeds by different methods s
從圖11與圖7的對(duì)比可看出，F(xiàn)ABEMD方法分解出的BIMF2是實(shí)際分量中不存在的一個(gè)頻率分量，在IFABEMD方法中沒(méi)有這個(gè)尺度的假分量。由表4可看出IFABEMD方法分解速度較FABEMD方法有明顯提高，并且由表5可以看出IFABEMD方法分解出的內(nèi)蘊(yùn)模式分量數(shù)比FABEMD方法有明顯減少。由表6可以看出當(dāng)IFABEMD方法和FABEMD方法分解出的對(duì)應(yīng)分量效果相同或相近時(shí)，有著相近的濾波窗口特征尺度，并且IFABEMD方法的濾波窗口特征尺度與分量效果的直觀尺度更符合。
表5 不同圖像中分解的最高層數(shù)Table 5 The highest levels of decomposition of different images
表6 濾波窗口特征尺度（像素寬度）Table 6 Feature sizes of filter windows（pixel width）
4 結(jié)束語(yǔ)
為了進(jìn)一步提高現(xiàn)有FABEMD方法的信號(hào)自適應(yīng)性與分解效率，本文提出了一種基于多尺度極值的改進(jìn)FABEMD方法——IFABEMD方法。IFABEMD方法一方面提高了FABEMD方法在濾波窗口尺寸選擇上的自適應(yīng)性和該參數(shù)與分量特征尺度趨勢(shì)的一致性，另一方面使分解速度更快、分解出的分量構(gòu)成在視覺(jué)上更加合理。最后通過(guò)實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了本文方法的有效性和正確性。本文提出的基于尺度極值點(diǎn)集的IFABEMD方法為傳統(tǒng)經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸夥椒ǖ难芯刻峁┝艘粋€(gè)新的思路。該方法也為圖像分析、圖像融合和圖像增強(qiáng)等應(yīng)用提供了新的手段。然而對(duì)多尺度極值點(diǎn)集的構(gòu)建方法和特性及其在BEMD方法中的應(yīng)用還有待進(jìn)一步深入研究。
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