肖宇鵬

摘 要：在初一階段的學(xué)生已經(jīng)學(xué)過一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)實(shí)際題干條件來設(shè)出未知數(shù)，列出一元一次方程求解來解答問題，但有的實(shí)際問題所列出的方程不是一元一次方程，而是一元二次方程，這就是本節(jié)課所要研究的一元二次方程的應(yīng)用——關(guān)于面積和體積方面的實(shí)際問題。班級學(xué)生整體學(xué)習(xí)氛圍較為濃厚，有著良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。

關(guān)鍵詞：變式教學(xué);初中數(shù)學(xué);一元二次方程

在本節(jié)課中，學(xué)生要經(jīng)歷和體會以一元二次方程來解答生活中的問題，認(rèn)識到一元二次方程的重要性，發(fā)展自身邏輯思維能力、分析和解決問題的能力。

一、 復(fù)習(xí)鞏固，引入話題

在前期的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)學(xué)過為一元二次方程鋪墊的知識，教師不妨引導(dǎo)他們先進(jìn)行復(fù)習(xí)，再自然引入本節(jié)課話題，避免教學(xué)內(nèi)容的突兀，使班級學(xué)生自然過渡到本節(jié)課之中。

師：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了與一元二次方程相關(guān)知識（概念、定理和運(yùn)算法則等），大家思考下它與一元一次方程之間有著怎樣的區(qū)別和聯(lián)系？

生：二者間都有一個未知數(shù)，一元一次方程未知數(shù)最高次數(shù)為1次，另外一個為2次，一元一次方程解只有1個，另外一個有2個解。

師：概念不同，解法不一樣，解的情況也有所不同，這就說明一元二次方程的解法較為復(fù)雜，在選擇解法過程中要注意方法。那么，它們之間又存在著怎樣的聯(lián)系呢？

生：一元二次方程均可以化為一元一次方程。

師：我們學(xué)習(xí)新知識要基于舊知識，那么，一元二次方程實(shí)際問題解題步驟是什么？

生：審題、根據(jù)題干材料來設(shè)未知數(shù)、列出等式方程、運(yùn)用所學(xué)知識解方程、最后驗(yàn)證答案是否符合要求。

師：其中，最關(guān)鍵的步驟是什么？

生：根據(jù)題干信息來尋找等量關(guān)系。

師：認(rèn)真審題非常重要，那么，我們今天就來研究如何利用一元二次方程求解與面積和體積相關(guān)的問題。

【設(shè)計(jì)意圖】：知識復(fù)習(xí)和引入簡單明了，從一元一次方程以類比學(xué)習(xí)方法來總結(jié)得到一元二次方程解決問題的步驟，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入本節(jié)課學(xué)習(xí)主題。

二、 問題探究，變式訓(xùn)練

問題一：一根長度為22cm的鐵絲。（1）假設(shè)王叔叔要把鐵絲做成一個面積為30cm2矩形，求取矩形的長與寬。（2）如果要把矩形面積設(shè)計(jì)為32cm2，是否可以完成上述要求？

教師引導(dǎo)學(xué)生分析題干信息中的已知量和未知量，找到已知量為矩形的面積和周長，未知量為矩形邊的長度。

學(xué)生閱讀題干信息，找到已知量和未知量，設(shè)矩形的邊長為xcm，另外一邊長為（11-x）cm，找到其中的相等關(guān)系，在練習(xí)本上列出方程，判定解是否存在。針對班級學(xué)生可能出現(xiàn)的問題，教師在練習(xí)時到臺下巡視、指導(dǎo)，師生共同完成試題。在完成問題基礎(chǔ)上，教師再布置一些變式試題，既能鞏固所學(xué)知識，又能發(fā)散數(shù)學(xué)思維。

變式問題一：要想建立一個面積為20cm2的長方形場地，如果一邊靠著長6m的墻，其余三條邊用長度為13m的圍欄圍成，那么，這個圍成的長方形場地邊分別為多少？

（學(xué)生獨(dú)立完成后，教師選擇具有小組代表到講臺進(jìn)行講解。）

組1：假設(shè)長方形的寬度為xm，那么長度為（13-2x）m。

組2：假設(shè)與墻平行四邊形的長度為xm，那么它的寬度為13-x2m。

變式問題二：如圖2，假設(shè)其他條件不變，要在長方形長邊上開出一道1m的門，那么，圍成的長方形場地長和寬各位多少？

（學(xué)生獨(dú)立完成后，教師選擇具有代表性的小組代表進(jìn)行回答。）

組1：設(shè)長方形的寬度為xm，那么長度為（13+1-2x）m，長方形面積為x（13+1-2x）=20。

組2：設(shè)長方形的寬度為xm，那么長度為（14-2x）m，長方形面積為x（14-2x）=20。

組3：設(shè)長方形的長度為xm，那么寬度為14-x2m，長方形面積為x14-x2=20。

歸納環(huán)節(jié)：

師：在解決問題過程中，大家回憶一元一次方程的解法，探討如何來類比應(yīng)用，在學(xué)習(xí)中有何收獲。

生1：要認(rèn)真閱讀題干信息，找到隱藏在其中的等量關(guān)系。

生2：一元二次方程的求解要比一元一次方程復(fù)雜，解出答案后要對解進(jìn)行驗(yàn)證，看是否符合題干要求。

生3：本題是與面積相關(guān)的試題，假設(shè)未知量時要與長度和寬度有關(guān)。

生4：對未知量進(jìn)行假設(shè)是本道試題解題的關(guān)鍵所在。

總結(jié)：閱讀題干—找到等量關(guān)系→做出假設(shè)—設(shè)未知量→進(jìn)行求解—選擇恰當(dāng)解法→注重檢驗(yàn)→關(guān)注題干條件。

【設(shè)計(jì)意圖】：精心設(shè)計(jì)關(guān)于鐵絲圍長方形試題，以變式教學(xué)來注重培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)方程思維，使他們能夠靈活應(yīng)用思維來學(xué)習(xí)，在課堂中引導(dǎo)其進(jìn)行數(shù)學(xué)思考，幫助個體掌握解決的方法。在試題練習(xí)的過程中，教師在教室中來回巡視，強(qiáng)調(diào)解答一元二次方程的注意事項(xiàng)，指導(dǎo)解題方法，使學(xué)生認(rèn)識到一元二次方程重要性，借助一元一次方程的解法來提升他們的類比遷移能力，拓展其數(shù)學(xué)思維，達(dá)到高效率的課堂教學(xué)效果。

問題二：某塊長方形鐵皮，長度是寬度的兩倍，四個角各自截掉一塊正方形，制作出高度為5cm、容積為500cm3的無蓋長方體容器，那么，求這塊鐵皮的長度和寬度。出示試題后，學(xué)生用教具來演示長方體折疊過程。

學(xué)生對照教具，找到題干材料中隱藏的等量關(guān)系。

生1：長方體體積為500cm3，即，長乘寬乘高。

生2：長方形鐵皮長度是寬度的兩倍。

生3：設(shè)鐵皮的寬度為xcm，那么長度為2xcm，列出方程：5（x-10）（2x-10）=500。

變式問題一：（1）如圖3所示，長方形草坪長度為30，寬度為15，在草坪的四周是等寬的路，如果包含路在內(nèi)的長方形面積為544，那么，道路寬度為多少。

（2）已知包含等寬路在內(nèi)的長方形草坪長度為30，寬度為15，其中，草坪的面積為364，那么，道路寬度為多少。

生1：假設(shè)道路寬度為x，根據(jù)題干信息得：（30+2x）（20+2x）=544。

生2：假設(shè)道路寬度為x，根據(jù)題干信息得：（30-2x）（20-2x）=544。

師：那么，根據(jù)上述知識，我們在生活中是否能得到以上述方程為模型的實(shí)際問題嗎？班級學(xué)生積極回應(yīng)，踴躍回答問題。

生1：家里裝照片的相框。

生2：屋里的窗戶中間是玻璃，外面有等寬的密封條。

生3：桌面上的桌布。

師：大家回答非常棒，可否根據(jù)上述方程來編寫一道數(shù)學(xué)考題呢？

生4：為了讓講臺變得更美，我們用班費(fèi)買了一塊講臺桌布，桌布的一邊和講臺等齊，另外三邊垂下等寬的寬度，求這個寬度為多少。班級學(xué)生紛紛根據(jù)題意來假設(shè)方程，列出方程式。

變式問題二：如圖4所示，在長度為40m、寬度為22m的矩形地面內(nèi)，有兩條寬度相同且垂直的路，路之外鋪設(shè)草坪，要使草坪面積達(dá)到760m2，那么路的寬度為多少？學(xué)生根據(jù)題目來獨(dú)立完成，列出方程式。

師生共同總結(jié)用一元二次方程在解決面積和體積問題時的步驟、注意點(diǎn)，學(xué)會應(yīng)用知識來解決與之相關(guān)的問題，從中體會到類比、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。

【設(shè)計(jì)意圖】：根據(jù)長方形基本圖形進(jìn)行改變，設(shè)計(jì)出其他圖形來進(jìn)行變式教學(xué)，根據(jù)教學(xué)設(shè)計(jì)來與學(xué)生實(shí)際學(xué)情緊密結(jié)合，激發(fā)他們求知欲望，引導(dǎo)其把數(shù)學(xué)知識進(jìn)行一般化思考，拓寬數(shù)學(xué)思維。小組合作引發(fā)個體對一元二次方程知識興趣，活躍課堂氛圍，引導(dǎo)學(xué)生當(dāng)堂設(shè)計(jì)問題、當(dāng)堂解答，加強(qiáng)對數(shù)學(xué)知識的理解和掌握，提升課堂學(xué)習(xí)質(zhì)量和效率。

三、 教學(xué)反思

（一）明確變式目的

變式教學(xué)目的在于讓學(xué)生在問題的變化中找到內(nèi)在的本質(zhì)，發(fā)散數(shù)學(xué)思維，從“不變”的規(guī)律中來探索規(guī)律，從而更加透徹的理解問題背后的本質(zhì)，學(xué)會用“不變”的知識來應(yīng)對“變化”的題目。在問題發(fā)展的過程中，教師要幫助學(xué)生在理解基礎(chǔ)上來掌握如何解決問題，然后運(yùn)用方法來解決數(shù)學(xué)問題，注重他們知識遷移能力的培養(yǎng)，拓寬個體的數(shù)學(xué)思維。

就本節(jié)課而言，教師展開變式教學(xué)目的在于運(yùn)用一元二次方程來解決關(guān)于面積、容積的問題，在設(shè)計(jì)變式過程中通過改變題干信息、變換問題情境來創(chuàng)造出多種類型的變式，為學(xué)生練習(xí)創(chuàng)造更多機(jī)會，使他們從多個角度和層次對一元二次方程模型有更加深入理解，發(fā)散其數(shù)學(xué)思維，加強(qiáng)思維的變態(tài)。

（二）注重知識的生成

在實(shí)踐教學(xué)中，教師往往注重例題自身的變式，忽視了知識形成過程中的變式，課堂教學(xué)效果不夠理想。針對這一問題，教師不妨基于知識形成過程來思考如何對某個基本問題進(jìn)行變式設(shè)計(jì)，引導(dǎo)班級學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思維來進(jìn)行探究，使他們經(jīng)歷知識的生成過程，體會到一元二次方程的數(shù)學(xué)本質(zhì)。

本節(jié)課授課的重點(diǎn)是一元二次方程解決面積和體積問題，如果不精心設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)問題，課堂訓(xùn)練很容易變得機(jī)械、枯燥，試題講解也只注重重復(fù)性訓(xùn)練。于是，從基本圖形入手設(shè)計(jì)具有一定梯度的變式試題，把問題變成“問題串”，層層遞進(jìn)來推進(jìn)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)。

（三）提升課堂參與度

課堂教學(xué)效果在很大程度上取決于班級學(xué)生的課堂參與熱情，沒有了積極參與，哪怕再熱情，教學(xué)效率也會大打折扣。精心設(shè)計(jì)的變式能夠營造出一種寬松的課堂氛圍，使每個人都能掌握最基本的數(shù)學(xué)知識，培養(yǎng)他們的應(yīng)變能力，開拓學(xué)習(xí)思路。數(shù)學(xué)教師設(shè)計(jì)問題來激發(fā)班級學(xué)生學(xué)習(xí)好奇心，使他們產(chǎn)生濃厚求知欲，提升課堂參與程度。在設(shè)計(jì)問題時，入口問題相對較為簡單，更容易被接受，借助于梯度問題來循序漸進(jìn)展開教學(xué)，拓展數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)個體知識遷移能力。就本節(jié)課教學(xué)而言，設(shè)計(jì)的問題層層遞進(jìn)且貼近學(xué)生生活，還讓他們現(xiàn)場編寫試題、現(xiàn)場解答，取得了良好數(shù)學(xué)課堂教學(xué)效果。

總之，教師在教學(xué)實(shí)踐中要注重變式的授課，依據(jù)教材和班級實(shí)際學(xué)情來合理安排講課內(nèi)容，因材施教開展數(shù)學(xué)教學(xué)活動，為班級學(xué)生設(shè)計(jì)出一節(jié)精彩的變式課，有效提升個體數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，使每個人都能樂在其中。

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